人教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.1有理數(shù)的混合運(yùn)算(壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練)專(zhuān)題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題2.1有理數(shù)的混合運(yùn)算典例分析典例分析【典例1】問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：11×2=1?12，12×3（1）利用規(guī)律計(jì)算：11×2（2）問(wèn)題拓展：求11×3（3）問(wèn)題解決：求11+2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)字的變化類(lèi)，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個(gè)加數(shù)拆成兩個(gè)分子是1，分母是原數(shù)分母的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相鄰的兩個(gè)互為相反數(shù)相加即可；（2）把各個(gè)算式寫(xiě)成12乘以分母中的兩個(gè)數(shù)為分母，分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式，然后提取公因數(shù)1（3）把各個(gè)加數(shù)的分母計(jì)算后都乘以12【解題過(guò)程】（1）解：依題意，∵11×2=1?12，12×3∴1=1?=1?=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題（1）?1（2）?2（3）?5（4）100÷(?2)（5）?2（6）(?3)22．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）計(jì)算（1）?1（2）?（3）1（4）?3．（23-24七年級(jí)下·重慶南岸·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：（1）?2（2）?370×（3）999+(?999)×(?999)+999?999999；（4）124．（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期中）計(jì)算：2755．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）11126．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8?（5）2005×2006?1（6）97．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）用靈活而合理的方法計(jì)算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）1008．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算題．（1）522÷522（2）1（3）5（4）29．（23-24七年級(jí)上·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）簡(jiǎn)便計(jì)算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×10．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）12（2）1911．（23-24七年級(jí)上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）下列各題要寫(xiě)出主要計(jì)算過(guò)程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+212．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算題：（1）1（2）1?（3）5（4）113．（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）脫式簡(jiǎn)算：（1）18×3（2）411（3）1114．（23-24六年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）計(jì)算：（1）1（2）115．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）觀察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+316．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）觀察下列等式．11×2=1?12，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2（1）猜想并寫(xiě)出：1n（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①11×2②11×2（3）探究并計(jì)算：①11×3②11×317．（23-24七年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）觀察下列式子：1將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2（1）直接寫(xiě)出結(jié)果：11×2（2）請(qǐng)用上述方法計(jì)算（寫(xiě)出具體過(guò)程）：11×3（3）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：11+2（4）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：11×2×318．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等．類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷．．．÷an個(gè)(a≠0)記作a?，讀作“【初步探究】（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：?3④=【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那有理數(shù)的除方運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算．（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．5⑤=；(?1（3）將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式：a?=（4）利用（3）的結(jié)論計(jì)算：619．（23-24六年級(jí)上·山東威海·期末）如圖，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類(lèi)推．（1）陰影部分的面積是______；（2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=1甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S乙同學(xué)的方法：S=12S=1+1②－①即可．根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認(rèn)為S=______；（3）12（4）計(jì)算：12（5）請(qǐng)借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出1420．（23-24七年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）請(qǐng)閱讀以下材料完成以下題目．【閱讀材料一】觀察下面三個(gè)特殊的等式：第①式：1×2=1第②式：2×3=1第③式：3×4=1將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=1讀完這段材料，請(qǐng)你思考后回答：（1）1×2+2×3+3×4+?+20×21=（2）1×2+2×3+3×4+?+nn+1=（用含【閱讀材料二】觀察下列幾個(gè)等式第①式：12第②式：12第③式：12第④式：12請(qǐng)你思考后解答下列問(wèn)題（1）12（2）12+22（3）計(jì)算：212【拓展應(yīng)用】直接寫(xiě)出下式的結(jié)果：233專(zhuān)題2.1有理數(shù)的混合運(yùn)算典例分析典例分析【典例1】問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：11×2=1?12，12×3（1）利用規(guī)律計(jì)算：11×2（2）問(wèn)題拓展：求11×3（3）問(wèn)題解決：求11+2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)字的變化類(lèi)，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵觀察已知條件，找出解題的方法和技巧．（1）把各個(gè)加數(shù)拆成兩個(gè)分子是1，分母是原數(shù)分母的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相鄰的兩個(gè)互為相反數(shù)相加即可；（2）把各個(gè)算式寫(xiě)成12乘以分母中的兩個(gè)數(shù)為分母，分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式，然后提取公因數(shù)1（3）把各個(gè)加數(shù)的分母計(jì)算后都乘以12【解題過(guò)程】（1）解：依題意，∵11×2=1?12，12×3∴1=1?=1?=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題（1）?1（2）?2（3）?5（4）100÷(?2)（5）?2（6）(?3)2【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．是解答此題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)算乘方和括號(hào)內(nèi)的減法，然根據(jù)有理數(shù)的除法可以解答本題；（2）先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算乘除，最后運(yùn)算加減解答本題；（3）運(yùn)用乘法分配律計(jì)算即可；（4）先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算乘除，最后運(yùn)算加減解答本題；（5）先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算乘除，最后運(yùn)算加減解答本題；（6）先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算乘除，最后運(yùn)算加減解答本題；【解題過(guò)程】（1）解：?=?1÷=6；（2）解：?=?4×=2+2=4；（3）?=5+8?9=4；（4）100÷=100÷4?(?2)×=25?3+(?8)=14；（5）?=?=2?=?93（6）(?3)=9×==712．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）計(jì)算（1）?1（2）?（3）1（4）?【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序．（1）先算乘方，再算乘法，最后算加減；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有絕對(duì)值，要先做絕對(duì)值內(nèi)的運(yùn)算；（3）除法變乘法，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算；（4）先算乘方，再算乘法，最后算加減；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．【解題過(guò)程】（1）解：?1=?1?=?1+=3（2）解：?=?4+3?24×=?1?=?11（3）解：1===?9+20+12?21=2；（4）解：?=?1?2×9?4+=?1?18?4+1=?22．3．（23-24七年級(jí)下·重慶南岸·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：（1）?2（2）?370×（3）999+(?999)×(?999)+999?999999；（4）12【思路點(diǎn)撥】（1）先算乘方，再算乘法，后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里，即可解答；（2）利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（4）利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，乘法分配律，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）解：原式=?4×5×5?100?7=?100?100?7=?207；（2）解：原式=370×1==100；（3）解：原式=999×(1+999+1?1001)=999×0=0；（4）解：原式====2475．4．（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期中）計(jì)算：275【思路點(diǎn)撥】利用拆項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和差形式，把整數(shù)與整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)部分分別加在一起，然后把每個(gè)分?jǐn)?shù)分別拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式，通過(guò)分?jǐn)?shù)的加減，相互抵消，求出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：275=====7005．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）1112【思路點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：（1）去括號(hào)，將除法化成乘法，再進(jìn)行加法運(yùn)算；（2）利用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；（3）將前面三個(gè)因數(shù)進(jìn)行分解，再進(jìn)行約分即可；（4）通過(guò)觀察可知分子分母的差為1，先寫(xiě)成1加減分?jǐn)?shù)單位，整數(shù)分組計(jì)算，分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)算時(shí)，根據(jù)裂項(xiàng)公式1a×【解題過(guò)程】（1）解：原式====21（2）解：原式==5+29=34；（3）解：原式==3×2×6=36；（4）解：原式===6?=6?=6?=576．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8?（5）2005×2006?1（6）9【思路點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的乘法公式運(yùn)算，有理數(shù)加減混合運(yùn)算，有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）62.5%化為分?jǐn)?shù)是5（2）根據(jù)除法的性質(zhì)，把算式改寫(xiě)成連除形式可進(jìn)行簡(jiǎn)算；（3）根據(jù)積不變的規(guī)律統(tǒng)一將其中一個(gè)因數(shù)轉(zhuǎn)換為20.23，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算．（4）15.8?718+15?1118，先根據(jù)帶符號(hào)搬家，將算式變?yōu)椋?）仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)分子中2005×2006可變形為2004+1×2006=2004×2006+2006?1，同時(shí)發(fā)現(xiàn)2006?1=2005（6）在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65，除數(shù)提取公因數(shù)5，再把17和1【解題過(guò)程】（1）62.5=====1（2）3.8÷=3.8÷0.25÷0.38=3.8÷0.38÷0.25=10÷0.25=40；（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390=20.23×25+20.23×36+20.23×39=20.23×=20.23×100=2023；（4）15.8?＝＝=(15.8+0.2)?=16?1=15；（5）2005×2006?1===1（6）9===65÷5=137．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）用靈活而合理的方法計(jì)算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）100【思路點(diǎn)撥】本題考查了乘法公式的有理數(shù)混合運(yùn)算，含乘方有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)的方法，將算式變?yōu)?000÷2000×2001+20002001+2003×20012002，再將算式變?yōu)?000÷2000×2001+2000×12001+2003×20012002，根據(jù)乘法分配律，將算式變?yōu)椋?）先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，除法化為乘法，然后根據(jù)積不變性質(zhì)，將算式變?yōu)?4×17.6+36×54+26.4×1.25（3）先把382拆分為381+1，然后根據(jù)乘法分配律，將算式變?yōu)?98×381+382381×498＋1×498?116，1×498=498（4）兩個(gè)相鄰的數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和，也就是n+1?n=n+12?n2（【解題過(guò)程】（1）解：2000÷2000=2000÷=2000÷=2000×=======1=1=20021000（2）1=====100；（3）498×381+382======1；（4）100=100+99+98+97+?+2+1===101×50=5050．8．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算題．（1）522÷522（2）1（3）5（4）2【思路點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)算與技巧：（1）觀察式子，先轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)，但是不要將數(shù)的答案算出得數(shù)．這樣就可以能約分的要約分；（2）觀察分子和分母，發(fā)現(xiàn)分子和分母經(jīng)過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，可以先約分；（3）根據(jù)式子a+ba×b（4）有小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)計(jì)算；根據(jù)式子的特點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）解：522÷522＝522÷＝522×＝522×＝522×＝523＝523＝523＝523＝523262（2）解：1＝5＝5＝13（3）解：5＝2+3＝2＝1＝1＝511（4）解：2＝128＝25＝1＝1÷＝18．9．（23-24七年級(jí)上·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）簡(jiǎn)便計(jì)算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)1n（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先計(jì)算括號(hào)里面的，再計(jì)算最后計(jì)算乘法即可；（4）把原式轉(zhuǎn)化為2014+1×【解題過(guò)程】（1）解：1=1?=1?=（2）4.44÷4=4.44×=4.44×=4.44×1=4.44（3）7=(=(=(==1（4）2015×==2014×=201310．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）簡(jiǎn)便計(jì)算：（1）12（2）19【思路點(diǎn)撥】（1）利用有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算律解答即可；（2）根據(jù)先將19【解題過(guò)程】（1）解：1===2+==40442022（2）解：1=19=19====111．（23-24七年級(jí)上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）下列各題要寫(xiě)出主要計(jì)算過(guò)程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+2【思路點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）利用交換律以及乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用有理數(shù)加法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)四則混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可；（5）將原式變換為2×31×4【解題過(guò)程】（1）解：56×=56×32×=56×32×=192+560=752；（2）解：42==1=1==100；（3）解：3==7+=7127（4）解：1+2×1=====1001；（5）解：1+2==50×=7512．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算題：（1）1（2）1?（3）5（4）1【思路點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）觀察算式可得2+11×2+（2）利用a+ba×b（3）利用公式“1a×b（4）先分別計(jì)算出整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分的和，再相加即可，整數(shù)部分的和是1023，觀察分?jǐn)?shù)部分發(fā)現(xiàn)：12=1?12、14=1【解題過(guò)程】（1）12==2×2012+=4024+=4024+=40242012（2）1?=1?=1?===31（3）5=5×=5×=5×=49（4）1==1023+=1023+=1023102313．（23-24七年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）脫式簡(jiǎn)算：（1）18×3（2）411（3）11【思路點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確使用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．（2）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)后，可進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．（3）根據(jù)所給算式的特點(diǎn)，將其分母轉(zhuǎn)化為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)積的形式即可簡(jiǎn)便計(jì)算．【解題過(guò)程】（1）解∶原式=18×==1471（2）解∶原式==31+41+51=123；（3）解∶原式==2×=2×=20014．（23-24六年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）計(jì)算：（1）1（2）1【思路點(diǎn)撥】本題考查了分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）把同分母的組合在一起，然后分別計(jì)算即可；（2）隔項(xiàng)分母有相同兩項(xiàng)，因此應(yīng)該先分組，將分母為奇數(shù)的一組，分母為偶數(shù)的一組，再組內(nèi)進(jìn)行裂項(xiàng)消項(xiàng)即可．【解題過(guò)程】（1）解∶1==1+2+3+?+2023==2047276；（2）解：1==14====206115．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）觀察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+3【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)乘方的定義計(jì)算即可求解；（2）由題意找到個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，求出所求算式的個(gè)位數(shù)字之和，即可求解；本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)算式的結(jié)果找到個(gè)位數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）解：①33故答案為：91；②34故答案為：337；（2）解：∵3+4=7，32+42=25，33+43=91，∴個(gè)位數(shù)字按照7，又∵99÷4=24?3，∴3+37+5+1+7×24+7+5+1=493∴3+32+16．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）觀察下列等式．11×2=1?12，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2（1）猜想并寫(xiě)出：1n（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①11×2②11×2（3）探究并計(jì)算：①11×3②11×3【思路點(diǎn)撥】此題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用規(guī)律計(jì)算即可解決問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】（1）解：1n(n+1)故答案為1n（2）①11×2②1故答案為20222023，n（3）①1=②1=(====17．（23-24七年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）觀察下列式子：1將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2（1）直接寫(xiě)出結(jié)果：11×2（2）請(qǐng)用上述方法計(jì)算（寫(xiě)出具體過(guò)程）：11×3（3）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：11+2（4）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：11×2×3【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有理數(shù)的規(guī)律直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的規(guī)律直接求解即可得到答案；（3）根據(jù)題意得到1+2+3+...（4）根據(jù)有理數(shù)的規(guī)律直接求解即可得到答案；【解題過(guò)程】（1）解：由題意可得，原式=1?=1?=5故答案為：56（2）解：由題意可得，11×3=12(1?由此可得，1(2n?1)×(2n+1)∴原式===1011（3）解：由題意得到，1+2+3+...∴原式===2×(=2×(=2×9=9（4）解：由題意可得，原式=====494918．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等0)的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等．類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷．．．÷an個(gè)(a≠0)記作a?，讀作“【初步探究】（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：?3④=【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那有理數(shù)的除方運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算．（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．5⑤=；(?（3）將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式：a?=（4）利用（3）的結(jié)論計(jì)算：6【思路點(diǎn)撥】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題中所給的新定義運(yùn)算；（1）根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算直接進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給運(yùn)算可進(jìn)行求解；（3）由（1）（2）可求解；（4）根據(jù)（3）中結(jié)論及有理數(shù)的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【解題過(guò)程】解：（1）?3=?3×=1故答案為19（2）5⑤?==?2故答案為153，（3）an故答案為1a（4）6=36÷=36×=16+9=25．19．（23-24六年級(jí)上·山東威海·期末）如圖，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類(lèi)推．（1）陰影部分的面積是______；（2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=1甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=1?S乙同學(xué)的方法：S=12S=1+1②－①即可．根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認(rèn)為S=______；（3）12（4）計(jì)算：12（5）請(qǐng)借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出14【思路點(diǎn)撥】本題考查了圖形規(guī)律的探究，有理數(shù)的運(yùn)算．熟練掌握?qǐng)D形規(guī)律的探究，有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)S陰影（2）甲同學(xué)：S=1?S陰影=1?164（3）設(shè)T=12+12（4）同理（3）計(jì)算求解即可；（5）甲同學(xué)：如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形四等分，