2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講：第六章數(shù)列章節(jié)總結(jié)(精講)(學(xué)生版+解析)

第05講：第六章數(shù)列章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法 1題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法 3題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法 6題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法 8題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法 10題型六：數(shù)列求和之倒序相加法 12題型七：數(shù)列求和之分組求和法 14題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法 17題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 20題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和 23題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和 27第二部分：新定義題 29第一部分：典型例題講解題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2．（24-25高三上·福建·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列an中且，其中為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列an3．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；4．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，則（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023·浙江·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求與的通項(xiàng)公式；題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法1．（2024·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則．2．（23-24高一下·上?！て谀┰跀?shù)列中，已知，且，則．3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，則．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式=題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式為.2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．3．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．4．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式．題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則.4．（23-24高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和．題型六：數(shù)列求和之倒序相加法1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（

）A．2023 B．2024 C． D．10123．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.題型七：數(shù)列求和之分組求和法1．（2024高二下·四川宜賓·競(jìng)賽）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家用于數(shù)學(xué)研究的課堂和例子.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示某種規(guī)則下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，記的前項(xiàng)和為，則；．2．（22-23高三上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，.(1)求，，；(2)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和.3．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和3．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法1．（23-24高二下·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.2．（24-25高二上·福建龍巖·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和3．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足；等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)；(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；50項(xiàng)和.2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的通項(xiàng)，求的前項(xiàng)和；(3)在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．第二部分：新定義題1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)是否存在首項(xiàng)為?2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列bn是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．2．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，共有項(xiàng)．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一項(xiàng)，表示中最小的一項(xiàng)，則稱為有界數(shù)列．(1)判斷是否為有界數(shù)列，判斷是否為有界數(shù)列，說(shuō)明理由；(2)若共有4項(xiàng)，，且為單調(diào)遞增數(shù)列，寫(xiě)出所有的，使得為有界數(shù)列；(3)若為有界數(shù)列，證明：．3．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.(1)已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)已知.（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”.（ii）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.第05講：第六章數(shù)列章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 1題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法 1題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法 3題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法 6題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法 8題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法 10題型六：數(shù)列求和之倒序相加法 12題型七：數(shù)列求和之分組求和法 14題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法 17題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 20題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和 23題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和 27第二部分：新定義題 29第一部分：典型例題講解題型一：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)和法1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，故可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以.故答案為：2．（24-25高三上·福建·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列an中且，其中為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列an【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等比中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】（1）由，求得，進(jìn)而得出；【詳解】（1）在數(shù)列an中，又，且，兩式相除得，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為；3．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由Sn求通項(xiàng)公式【分析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，代入題干表達(dá)式可得，通過(guò)計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和的表達(dá)式，最后結(jié)合公式，即可計(jì)算出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由，得，即；又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，又an是正項(xiàng)數(shù)列，所以．當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，不符合時(shí)的形式．所以4．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，作差即可求解，【詳解】（1）因?yàn)?，①故?dāng)時(shí)，．②①②得，所以．又當(dāng)時(shí)，符合，從而的通項(xiàng)公式為．（2）記的前n項(xiàng)和為，由（1）知，則．題型二：數(shù)列求通項(xiàng)之前項(xiàng)積法1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】由前n項(xiàng)積，求出通項(xiàng)，得解.【詳解】，，又，，..故選：C.2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，易知，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則，所以.3．（2023·浙江·二模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.【詳解】（1）由可得，，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2），所以.4．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求與的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，．【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，．題型三：數(shù)列求通項(xiàng)之累加法；累乘法1．（2024·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，上式相加，得，所以，又符合上式，可知，所以．故答案為：2．（23-24高一下·上?！て谀┰跀?shù)列中，已知，且，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由可得：，．故答案為：.3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列滿足，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】將代入可得，解得，由可得，兩式相減得即，所以，也滿足，故對(duì)任意的，，故答案為：4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式=【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】由條件可得，化簡(jiǎn)得，再由遞推即可得到所求通項(xiàng).【詳解】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又滿足上式，∴.故答案為：.題型四：數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法1．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】給兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)，構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解an的通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)，即，所以，解得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，將，經(jīng)化簡(jiǎn)可知新的數(shù)列是等差數(shù)列，在變形可求得.【詳解】由題意知將等式兩邊同時(shí)除以，可得，因?yàn)椋钥芍?，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：3．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)，變形得出，對(duì)比題干中的等式，求出、的值，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，其中、，整理可得，所以，，解得，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，所以，，解得.故答案為：.4．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】由遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，由此可得.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則.故答案為：.題型五：數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，得解.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：D．2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)【分析】利用取倒數(shù)法可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，得，所以.故選：A3．（23-24高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、判斷等差數(shù)列、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】將變形可得數(shù)列為等差數(shù)列，再借助等差數(shù)列求解即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，取倒數(shù)得，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，因此，所以.故答案為：.4．（23-24高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和．【答案】502【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)取倒數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】由，取倒數(shù)得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的前8項(xiàng)和.故答案為：502題型六：數(shù)列求和之倒序相加法1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】利用倒序相加法計(jì)算求解.【詳解】，則兩式相加得所以，所以.故選：A.2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（

）A．2023 B．2024 C． D．1012【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、倒序相加法求和、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由題意可得出，由倒序相加法可求出答案.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，且，所以，由可得，所以，所以設(shè)，則，所以兩式相加可得：，故，故選：A.3．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【答案】46【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，，相加得所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.題型七：數(shù)列求和之分組求和法1．（2024高二下·四川宜賓·競(jìng)賽）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家用于數(shù)學(xué)研究的課堂和例子.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示某種規(guī)則下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，記的前項(xiàng)和為，則；．【答案】341【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和、累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)遞推式，逐項(xiàng)列出奇數(shù)項(xiàng)相鄰項(xiàng)相減，然后運(yùn)用累加法可求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可求出，再計(jì)算出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，然后綜合可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法可求得.【詳解】由題意可知，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，……，，所以，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，……，，所以，所以，所以故答案為：341，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的問(wèn)題，考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，考查累加法、分組求和，解題的關(guān)鍵是分為奇數(shù)和偶數(shù)結(jié)合已知的遞推式求出通項(xiàng)公式，考查分類討論的思想、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.2．（22-23高三上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，.(1)求，，；(2)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式求出前3項(xiàng)即可.（2）由題意可知，數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，利用分組求和即可，注意對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶的討論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?（2）因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以.3．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）利用等差數(shù)列的概念計(jì)算公差，再求通項(xiàng)即可；（2）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，分組求和計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知，所以，設(shè)的公差為d，則，所以；（2）由題意知，，易知，故.題型八：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法1．（23-24高二下·上海寶山·期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且是3與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，.因?yàn)?，即，所以為?yán)格增數(shù)列，所以時(shí)，有最小值.2．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得當(dāng)時(shí)，，，再利用累加法求出的通項(xiàng).（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，于是，，因此，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）利用結(jié)合題意求解；（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，解得或，當(dāng)時(shí)，則，得，所以，，所以，即，所以，若，則由，得，不合題意，舍去，所以，所以，所以數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以舍去，所以；（2）由（1）可知，所以題型九：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法1．（23-24高二下·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）求出、，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程，令可得；（2）由（1）可得.方法一，利用錯(cuò)位相減求和可得答案；方法二，利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，則切線方程為，即，令，解得，所以；（2）由（1）可得，.方法一：所以，則，兩式相減得，故，所以由可得，故；方法二：，所以..所以由可得，故.2．（24-25高二上·福建龍巖·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由定義判定等比數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求解；（2）根據(jù)條件得到，從而有是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即可求解；（3）根據(jù)條件，利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)?，所以，則，解得，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2），即，所以，所以是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，得到.（3），所以①，則②，①②，得.則.3．（23-24高二下·山東淄博·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足；等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的最大項(xiàng)；(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，【答案】(1)，(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系、錯(cuò)位相減法求和【分析】（1）由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比性質(zhì)得出的通項(xiàng)公式；（2）由作差法得出單調(diào)性，進(jìn)而得出最值；（3）由錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1），且，，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，解得：(舍)，或，所以.（2）由(1)可知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.經(jīng)分析可知當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為.（3）由（1）可知，，設(shè)，則，兩式相減得故.題型十：數(shù)列求和之奇偶項(xiàng)討論求和1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）退位相減求得數(shù)列an（2）由（1）可得，從而求出前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，又，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，.2．（23-24高三上·江蘇蘇州·期中）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）法一：根據(jù)得到，從而得到，可得的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，得到答案；法二：變形得到，結(jié)合，得到，利用求出答案；（2）變形得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，求和，得到答案.【詳解】（1）法一:當(dāng)時(shí)，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項(xiàng)公式是．法二：因?yàn)?，所以，同理可得，故，因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，①、②兩式相減得：，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.3．（23-24高二上·福建漳州·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)；(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意求出的值，即可得答案；（2）由題意可得，再采用分組求和即可得答案；（3）由題意可得，分為奇數(shù)、偶數(shù)分別求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即，即，則，解得，所以；（2）由（1）可得：所以（3）解：因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.題型十一：數(shù)列求和之插入新數(shù)列混合求和1．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，在和中插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，求的前50項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）由遞推關(guān)系求出，轉(zhuǎn)化為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）先確定在新數(shù)列bn前50項(xiàng)中，有an的前9項(xiàng)，新插入的等差數(shù)列【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，即．（2）由題意得，在新數(shù)列bn中，從到，共插入了項(xiàng)，共項(xiàng).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在新數(shù)列bn前50項(xiàng)中，有an的前9項(xiàng)，新插入的等差數(shù)列．2．（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的通項(xiàng)，求的前項(xiàng)和；(3)在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)作差計(jì)算可得；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；（3）根據(jù)已知確定前36項(xiàng)的元素構(gòu)成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，所以，所以，則，所以；（3）由題意，數(shù)列元素依次為，在到之間的個(gè)數(shù)為，故到處共有個(gè)元素，所以前項(xiàng)中含及個(gè)，故.第二部分：新定義題1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)是否存在首項(xiàng)為?2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列bn是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、數(shù)列新定義、數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意得到，且，，再解不等式組即可；（2）首先假設(shè)存在等差數(shù)列an符合要求，從而得到成立，再分類討論和的情況，即可得到答案.（3）首先設(shè)數(shù)列an的公比為q，則，根據(jù)題意得到，從而得到為最小項(xiàng)，同理得到為最小項(xiàng)，再利用“數(shù)列”的定義得到，或，，再分類討論即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（2）不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列an符合要求，設(shè)公差為d，則，由得．由題意，得對(duì)均成立，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)列an（3）設(shè)數(shù)列an的公比為q，則．因?yàn)閍n的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，所以在中，為最小項(xiàng).同理，中，為最小項(xiàng).由an為“K數(shù)列”，只需，即．又因?yàn)椴皇恰皵?shù)列”，且為最小項(xiàng)，所以，即．由數(shù)列an的每一項(xiàng)均為正整