2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(知識+真題+10類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)

第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 2第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） 3高頻考點二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) 4高頻考點三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 5高頻考點四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào) 5高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 6高頻考點六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小 8高頻考點七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式 9高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性（一次型） 9高頻考點九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型） 10高頻考點十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型） 12第四部分：典型易錯題型 13備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號” 13備注：解不等式時容易忽視定義域 13第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.3、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間，則②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間，則（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得4、含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2023·全國·乙卷理）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.3．（2023·全國·乙卷文）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）典型例題1．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．2．（2024·遼寧·一模）已知.(1)求在處的切線方程；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.練透核心考點1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．， B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．高頻考點二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)典型例題1．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為．練透核心考點1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是：.2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.高頻考點三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間典型例題1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．3．（2023高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為.練透核心考點1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．e3．（23-24高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.高頻考點四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)典型例題1．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練透核心考點1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性典型例題1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為．練透核心考點1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（

）A． B．C． D．函數(shù)在上單調(diào)遞減3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（

）

A． B． C． D．高頻考點六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小典型例題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）下列不等關(guān)系中，正確的是（為自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（

）A． B．C． D．練透核心考點1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（

）A． B．C． D．高頻考點七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域為為的導(dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·福建莆田·開學(xué)考試）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（

）A． B． C． D．透核心考點1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為.高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性（一次型）典型例題1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性3．（2024高二·上海·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；高頻考點十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型）典型例題1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論的單調(diào)性.練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），討論的單調(diào)性.2．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．(1)若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)討論的單調(diào)性．第四部分：典型易錯題型備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號”1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建南平·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西長治·期末）若函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.備注：解不等式時容易忽視定義域1．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州貴陽·一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 5高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參） 5高頻考點二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) 7高頻考點三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 9高頻考點四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào) 12高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性 14高頻考點六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小 17高頻考點七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式 20高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性（一次型） 23高頻考點九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型） 24高頻考點十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型） 29第四部分：典型易錯題型 32備注：已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，求解時容易忽視“等號”而存在單調(diào)區(qū)間卻容易誤加了“等號” 32備注：解不等式時容易忽視定義域 34第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)2、求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.3、由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間，則②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間，則（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得4、含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·全國·乙卷理）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023·全國·乙卷文）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）典型例題1．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)，定義域為，，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B2．（2024·遼寧·一模）已知.(1)求在處的切線方程；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，寫出切線方程即可；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求出其導(dǎo)函數(shù)滿足不等式的解集即可.【詳解】（1）由于，其導(dǎo)函數(shù)為：，得：，，所以在處的切線方程為：，即；（2）由于，得：，若，則，即，由于，則，只需即可，解得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.練透核心考點1．（23-24高二下·重慶黔江·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．， B． C． D．【答案】C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于零并結(jié)合定義域即可得解.【詳解】因為，定義域為，所以，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.2．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】（或）【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（或）.故答案為：（或）高頻考點二：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)典型例題1．（22-23高二下·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒大于或等于0，可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，則，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，則，解得.故選：B2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值為．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求得即.【詳解】因為，所以．由的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知不等式即在區(qū)間上恒成立．令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故實數(shù)a的取值范圍為，則a的最小值為．故答案為：練透核心考點1．（23-24高三上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是：.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求解.【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為.故a的取值范圍是.故答案為：2．（22-23高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到函數(shù)在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.高頻考點三：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間典型例題1．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，，所以，故選：D．2．（23-24高二·安徽六安·期末）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【分析】先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．故選C.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.3．（2023高二·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由題意知，存在使得，利用參變量分離法得出，利用基本不等式在時的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，定義域為，，由題意可知，存在使得，即.當(dāng)時，，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.練透核心考點1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，不等式在上有解，即在上有解，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C2．（多選）（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．e【答案】CD【分析】求得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即在有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，即在有解，即在有解，設(shè)，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，結(jié)合選項，可得選項C、D符合題意.故選：CD.3．（23-24高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，遞減小于0，再解含參數(shù)的不等式分類討論即可.【詳解】，由題意知，在上有實數(shù)解，即有實數(shù)解，當(dāng)時，顯然滿足，當(dāng)時，只需綜上所述故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，及含參數(shù)的不等式有解求參數(shù)的取值范圍問題.高頻考點四：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)典型例題1．（22-23高二下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，則有，對函數(shù)求導(dǎo)后，令求出極值點，使極值點在內(nèi)，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，即，，令，得或（舍去），因為在定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：A2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因為，且當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A練透核心考點1．（23-24高二上·河南許昌·期末）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】由題意求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，列出不等式組即可求解.【詳解】由題意單調(diào)遞增，且，所以若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則，解得.故答案為：.高頻考點五：函數(shù)單調(diào)性之導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性典型例題1．（22-23高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性，特殊點的函數(shù)值排除求解即可.【詳解】易得，而，故，故是奇函數(shù)，排除A,D，而，排除B，故C正確.故選：C2．（22-23高二下·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結(jié)論．【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，或，所以或，解集即為．故選：D．3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為．【答案】【分析】由函數(shù)圖象的單調(diào)性可得其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可解出該不等式.【詳解】由的圖象可得在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，當(dāng)x∈時，，因為，所以或，即或或，解得或，所以原不等式的解集為．故答案為：.練透核心考點1．（23-24高二上·山西長治·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)知識從而得到的圖像，從而求解.【詳解】由題意知與軸有三個交點，不妨設(shè)為，當(dāng)，，當(dāng)，,當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，故A、C錯誤；在區(qū)間,單調(diào)遞增，故B錯誤，故D正確.故選：D.2．（多選）（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖，且在與處取得極值，給出下列判斷，其中正確的是（

）A． B．C． D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AC【分析】根據(jù)圖象確定極值點的范圍，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，由圖知時，單調(diào)遞增，可知，所以，故B錯誤；又，，故A正確；，故C正確；，其圖象開口向上，對稱軸小于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D錯誤．故選：AC.3．（多選）（22-23高二下·廣西桂林·期末）設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時，圖象如圖所示，則可以使成立的x的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時的圖象，判斷函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)情況，繼而可判斷其單調(diào)性，從而判斷的正負(fù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；由于是定義域為R的奇函數(shù)，故當(dāng)時，；當(dāng)時，；又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合是定義域為R的奇函數(shù)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故可以使成立的x的取值范圍是，，，故選：ABD高頻考點六：函數(shù)單調(diào)性之比較大小典型例題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）下列不等關(guān)系中，正確的是（為自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可對選項一一判斷即得.【詳解】設(shè)則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對于A項，由，因在上單調(diào)遞減，故，故A項錯誤；對于B項，由，因在上單調(diào)遞減，故，故B項錯誤；對于C項，由，因在上單調(diào)遞減，故，故C項錯誤；對于D項，由，因在上單調(diào)遞減，故，故D項正確.故選：D.2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，，因為，所以，即.故選：D3．（2024·江西贛州·一模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，可得，即，再由作差法比較的大小，即可得出答案.【詳解】令,,當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以可得，故，因為，所以，故.故選：D.練透核心考點1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.【詳解】對，因為，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，且時，，則，即，所以，因為且，所以，又，所以.故選：B2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷，構(gòu)造，比較的大小.【詳解】因為，而，所以b最大，構(gòu)造函數(shù)，因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，所以，即，故.故選：B．高頻考點七：函數(shù)單調(diào)性之構(gòu)造函數(shù)解不等式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知函數(shù)的定義域為為的導(dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集為.故選：D.2．（23-24高二下·福建莆田·開學(xué)考試）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性逐項判斷即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，對于AB選項，，即，可得，A錯B對；對于CD選項，，即，D對，C無法判斷.故選：BD.3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因為，且，則且，所以不等式，即為在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，當(dāng)時，可得，所以，解得，即，結(jié)合選項，可得選項C、D符合題意.故選：CD.練透核心考點1．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故由得，所以，解得.故選：B.2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，等價于，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性（一次型）典型例題1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，結(jié)合不等式，求出單調(diào)性；【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．練透核心考點1．（2024·廣西來賓·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【分析】（1）求導(dǎo)，分和討論正負(fù)，得解；【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.高頻考點九：含參問題討論單調(diào)性（可因式分解二次型）典型例題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)增區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）將函數(shù)求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)大于0求得，即得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)求導(dǎo)分解因式，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)時，，因，由可得，則的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由求導(dǎo)得，由可得或.①當(dāng)時，由可得，由可得；②當(dāng)時，在上恒成立；③當(dāng)時，由可得，由可得.故當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.2．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出導(dǎo)數(shù)即為斜率，根據(jù)點斜式寫出直線方程；（2）由題意得，討論根據(jù)判定其單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）當(dāng)時，，，，所以切線方程為：；（2）由題，可得由于，的解為，①當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；③當(dāng)，即時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求導(dǎo)得，分、、、討論可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，①當(dāng)，即時，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)，即時，恒成立，因此在上單調(diào)遞增；④當(dāng)，即時，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且①當(dāng)時，因為，所以，所以.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.2．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】見解析.【分析】對求導(dǎo)后按照兩根的大小及函數(shù)定義域分類討論，由此即可得解.【詳解】，令得，當(dāng)即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（2024高二·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，寫出方程即可.（2）含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，故，此時函數(shù)在處的切線方程為：.（2）由題意，的定義域為，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.高頻考點十：含參問題討論單調(diào)性（不可因式分解二次型）典型例題1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；【詳解】（1）由題意知的定義域為，

，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，，故方程有兩個不同的實數(shù)根，分別為，，且，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上