2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(知識+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 3高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 5高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 5高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 7高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 8高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù) 10第四部分：典型易錯題型 11備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案 11第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱極值.注：極大（小）值點(diǎn)，不是一個點(diǎn)，是一個數(shù).2、函數(shù)的最大（?。┲狄话愕?，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.第二部分：高考真題回顧1．（多選）（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)2．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個極值點(diǎn)C．在區(qū)間上最多有4個零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)例題2．（多選）（23-24高二·全國·單元測試）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處切線的斜率小于零練透核心考點(diǎn)1．（多選）（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下列說法正確的為（）A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的B．函數(shù)在處取得極大值C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值2．（多選）（23-24高二·江蘇南京·期中）已知函數(shù)定義域?yàn)?，部分對?yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的極大值點(diǎn)有個B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．若時，的最大值是，則的最大值為4D．當(dāng)時，函數(shù)有個零點(diǎn)高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為（

）A． B． C． D．例題2．（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．為極大值點(diǎn) B．為極大值點(diǎn)C．為極小值點(diǎn) D．無極值點(diǎn)例題3．（23-24高三上·北京東城·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣西南寧·三模）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二·天津?yàn)I海新·期中）函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)是（

）A．0 B． C． D．3．（23-24高二·陜西·開學(xué)考試）函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值為．高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)典型例題例題1．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（

）A．1 B．2 C． D．3例題3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題4．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)在時取得極大值4，則．3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點(diǎn)；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為4，則在上的最小值為（

）A．0 B． C． D．2例題3．（23-24高二下·上海青浦·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.例題4．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．2．（23-24高二下·山東泰安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為．3．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.例題4．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的極值；(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·河北·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則.2．（22-23高二下·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）．求在區(qū)間上的最小值．3．（23-24高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．4．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題2．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）己知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.例題3．（23-24高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.2．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若函數(shù)有最小值2，求a的值.3．（2023·四川瀘州·一模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求的值；(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．第四部分：典型易錯題型備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案1．（23-24高二·湖北黃岡·期末）已知函數(shù)在處有極小值，則常數(shù)的值為（

）A．1 B．2或6 C．2 D．62．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知函數(shù)，若時，取極值0，則ab的值為（

）A．3 B．18 C．3或18 D．不存在第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 5高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 5高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 9高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 12高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 17高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 21高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù) 27第四部分：典型易錯題型 32備注：已知函數(shù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)，忽視了回代檢驗(yàn)答案 32第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱極值.注：極大（?。┲迭c(diǎn)，不是一個點(diǎn)，是一個數(shù).2、函數(shù)的最大（小）值一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.第二部分：高考真題回顧1．（多選）（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因?yàn)?，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.2．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時，利用，換元放縮；2.當(dāng)時，利用，換元放縮.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系典型例題例題1．（多選）（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個極值點(diǎn)C．在區(qū)間上最多有4個零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)【答案】CD【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)性，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而逐一對選項(xiàng)辨析即可.【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負(fù)，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯誤；在區(qū)間上有3個零點(diǎn)，且零點(diǎn)附近左右兩邊的值一正一負(fù)，故有3個極值點(diǎn)，故B錯誤；在區(qū)間，為負(fù)，單調(diào)遞減，在區(qū)間，為正，單調(diào)遞增，則在與時取得極小值，在時取得極大值，則當(dāng)與時，，且時，在區(qū)間上最多有4個零點(diǎn),故C正確；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負(fù)，單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，故D正確；故選：CD.例題2．（多選）（23-24高二·全國·單元測試）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（

）A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的最小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在處切線的斜率小于零【答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、切線的斜率，由此判斷出命題錯誤的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈（﹣∞,﹣3）時，，在時，，∴函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；則﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)，故A正確；∵在上單調(diào)遞增，∴﹣1不是函數(shù)y＝f（x）的最小值點(diǎn)，故B不正確；∵函數(shù)y＝f（x）在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；故選：AC練透核心考點(diǎn)1．（多選）（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下列說法正確的為（）A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的B．函數(shù)在處取得極大值C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】ABD【分析】根據(jù)圖象，先判斷出在和上大于0，在和上小于0，從而可得的單調(diào)性和極值點(diǎn).【詳解】從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，，于是，故在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，A正確；當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，故函數(shù)在處取得極大值，B正確；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，C錯誤；當(dāng)時，，于是，故在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，而在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)在處取得極小值，D正確．故選：ABD2．（多選）（23-24高二·江蘇南京·期中）已知函數(shù)定義域?yàn)?，部分對?yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的極大值點(diǎn)有個B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．若時，的最大值是，則的最大值為4D．當(dāng)時，函數(shù)有個零點(diǎn)【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；取，結(jié)合函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、，B選項(xiàng)正確；函數(shù)有個極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時，函數(shù)最大值是，而最大值不是，C選項(xiàng)錯誤；作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由下圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)之間的關(guān)系，由圖象判斷零點(diǎn)個數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值點(diǎn).【詳解】易知函數(shù)的定義域是，由題意，，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是．故選：A.例題2．（22-23高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．為極大值點(diǎn) B．為極大值點(diǎn)C．為極小值點(diǎn) D．無極值點(diǎn)【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值點(diǎn).【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，即為極大值點(diǎn).故選：B例題3．（23-24高三上·北京東城·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).【答案】(1)(2)見解析.【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，把點(diǎn)代入，再根據(jù)在點(diǎn)處與直線相切，求出，的值；（2）由題意先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點(diǎn)，然后再根據(jù)極值點(diǎn)的值討論函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間.【詳解】（1），曲線在點(diǎn)處與直線相切，，∴（2），當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點(diǎn)．當(dāng)時，由，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；此時是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．練透核心考點(diǎn)1．（2023·廣西南寧·三模）函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值點(diǎn).【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，令得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值．故選：D2．（23-24高二·天津?yàn)I海新·期中）函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而確定極小值點(diǎn).【詳解】由題設(shè)，所以在上，遞減，在上，遞增，所以極小值點(diǎn)為.故選：B3．（23-24高二·陜西·開學(xué)考試）函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值為．【答案】18【分析】求導(dǎo)，即可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】由得，令，解得或，令，解得，故在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在處取極小值，在處取極大值，故，，故答案為：，18，高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)典型例題例題1．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，又函?shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，由，所以方程有兩個不同的正實(shí)數(shù)，所以，即.故選：B例題2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得.故選：B例題3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得在上有變號零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?，要函?shù)在上有極值，則在上有變號零點(diǎn)，即在上有實(shí)數(shù)根，且不能為相等實(shí)根.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上沒有極值，故.故答案為：.例題4．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無極值，不合題意，所以的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不相等實(shí)根，即有兩個不同的交點(diǎn)，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【詳解】解：，則，要使函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，只需方程在有兩個不相等實(shí)根．即，令，則．當(dāng)，，當(dāng)，，在遞增，在遞減，當(dāng)，，，其圖象如下：，．故選：D．2．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù)在時取得極大值4，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，待定系數(shù)計(jì)算并驗(yàn)證即可.【詳解】由題意可知，因?yàn)楹瘮?shù)在時取得極大值4，所以，解之得，檢驗(yàn)，此時，令或，令，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即滿足題意，故.故答案為：3．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點(diǎn)；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）當(dāng)時，對求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定圖象，可證明曲線與直線只有一個交點(diǎn).（2）將既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)換為有兩個變號零點(diǎn)問題，討論零點(diǎn)位置可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，求導(dǎo)得：，令，得；令，得；則函數(shù)在上遞增，在上遞減，故，所以曲線與直線只有一個交點(diǎn).（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)，令，解得，.因?yàn)榧却嬖跇O大值，又存在極小值，即在有兩個變號零點(diǎn)，則，解得且，綜上所述：的取值范圍為.高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（23-24高二下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析的性質(zhì)，從而求得在的極大值與端點(diǎn)值，由此得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得或；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，而，所以在上的最大值為.故選：B.例題2．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為4，則在上的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷得在上單調(diào)遞增，從而列式得解.【詳解】因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為，即，所以在上的最小值為.故選：A.例題3．（23-24高二下·上海青浦·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【答案】0【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是0.故答案為：0例題4．（22-23高二下·河南·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求的值，再根據(jù)切線過切點(diǎn)求的值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值.【詳解】（1）因?yàn)樗?，由題意可得，，解得:，.（2）由(1)可得，所以，且，易得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，且，即最大值為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，求導(dǎo)可得，即可得到在單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，則，由可得，

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以時，有最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】，2．（23-24高二下·山東泰安·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】求導(dǎo)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值為.【詳解】由可得，令可得，又，所以，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；易知；因此的最大值為.故答案為：3．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）易判斷在時單增，在時單減，進(jìn)而求出.【詳解】（1），令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.4．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【詳解】（1），因?yàn)樵谔幦O小值5，所以，得，此時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參）典型例題例題1．（22-23高二下·天津和平·階段練習(xí)）函數(shù)，若恒有，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知的最小值大于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】由題可得，由，可得，此時單調(diào)遞減，由，可得，此時單調(diào)遞增，∴，∴.故選：C.例題2．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.求的最小值；【答案】0【分析】求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】，令，解得，由為增函數(shù)知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為.例題3．（23-24高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，且與函數(shù)的圖象相切，求的值；(2)若對成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得解.（2）根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，按，分類討論求解.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，于是，而，，解得，又，解得，所以.（2）依題意，對恒成立，設(shè)，顯然，恒成立，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，求導(dǎo)得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，于是，解得，因此；所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題4．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的極值；(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求解極值，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解.【詳解】（1），，.因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當(dāng)時，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，的最小值為，不滿足題意；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍時.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·河北·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則.【答案】【分析】求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】因?yàn)?，所?若，則在上單調(diào)遞減，無最小值.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：2．（22-23高二下·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）．求在區(qū)間上的最小值．【答案】【分析】根據(jù)得出在上的增減性，再分類討論即可得出在區(qū)間上的最小值．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)變化時，的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增①當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．②當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，綜上，．3．（23-24高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入計(jì)算出縱坐標(biāo)即得切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先由導(dǎo)數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得出零點(diǎn)．【詳解】（1）由題意，，由得，此時，所以切點(diǎn)為；（2），時，，在上是增函數(shù)，無最小值，所以，，時，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點(diǎn)，所以由得．4．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系，結(jié)合的不同取值范圍，分類討論求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，則．當(dāng)時，在上恒成立，故此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得,由，得，故此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，(i)若，即時，在上單調(diào)遞增，此時，；(ii)若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，；(iii)若，即時，在上單調(diào)遞減，此時，．綜上所述，．高頻考點(diǎn)六：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)分析的性質(zhì)，再結(jié)合在內(nèi)存在最小值，得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，得或，令，得或；令，得，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在內(nèi)存在最小值，則，解得.故答案為：.例題2．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）己知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求出參數(shù)值.（2）含參分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，分別求解即可得到參數(shù)值.【詳解