人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題15.2解分式方程(壓軸題專項講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題15.2解分式方程【典例1】已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3（1）當(dāng)a=2，b=1時，求分式方程的解；（2）當(dāng)a=1時，求b為何值時分式方程a2x+3（3）若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程a2x+3?b?x【思路點撥】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【解題過程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：2(x?5)?(1?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，解得：x=?1檢驗：把x=?15代入∴原分式方程的解為：x=?1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：(x?5)?(b?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，去括號，得：x?5+2x移項、合并同類項，得：(11?2b)x=3b?10，①當(dāng)11?2b=0時，即b=11②當(dāng)11?2b≠0時，得x=3b?10Ⅰ.x=?3即3b?1011?2b此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即3b?1011?2b此時b=5；綜上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：3b(x?5)+(x?b)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，整理得：(10+b)x=18b?15解得：x=18b?15∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知關(guān)于x的方程xx?1?1=mx2?1的解為A．y=?3 B．y=?37 C．y=132．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）關(guān)于方程1x?3+m+1x+3=m+2xA．10個 B．11個 C．12個 D．13個3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）方程1y?24．（2023·山東菏澤·校考一模）已知關(guān)于x的分式方程12x+3?a?x5．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程：（1）3?12?x=3?x6．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解分式方程（1）32?17．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）解分式方程：（1）1?xx?2?1=22?x8．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）解方程：x+59．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：x+2005x+200410．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程（1）16x?134x?3+（2）1(x+1)(x+2)+11．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）當(dāng)m為何值時，分式方程xx+312．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的分式方程x?a（1）若分式方程的根是x=5，求a的值（2）若分式方程有增根，求a的值（3）若分式方程有無解，求a的值13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┯^察下列各式：12=11×2=1?12，1（1）請猜想出表示上面各式的特點的一般規(guī)律，用含n（n表示正整數(shù)）的等式表示出來___．（2）請利用上述規(guī)律計算：12+1（3）請利用上述規(guī)律，解方程：1x?214．（2023秋·廣東珠?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）李華在計算時，探究出了一個“裂項”的方法，如：11×2（1）求15×6（2）證明：11×2（3）解方程：13x15．（2023春·八年級課時練習(xí)）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14…（1）觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+1x=6+（2）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+1x=a+（3）由（2）可知，在解方程y+y+2y+1=（4）利用（2）的結(jié)論解方程：2x?1x+216．（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x?1解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：都是方程y?4∴當(dāng)y=2時，x?1x=2，解得x=?1；當(dāng)y=?2時，x?1x經(jīng)檢驗：x=?1或x=1∴原分式方程的解為x=?1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程中x?1x+xx?1=52，設(shè)=y（2）模仿上述換元法解方程：x?1x+217．（2022秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對x,y定義一種新運算T，規(guī)定T(x,y)=ax2+by2x+y（其中a,b（1）填空：T(4,?1)=（用含a,b的代數(shù)式表示）；（2）若T(?2,0)=?2，且T(5,?1)=6．①求a與b的值；②若T(3m?10,?3m)=T(?3m,3m?10)，求m的值．18．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）我們定義：形如x+mnx=m+n（m，n不為零），且兩個解分別為x例如x+6x=5為十字分式方程，可化為x+2×3x再如x+7x=?8為十字分式方程，可化為x+?1×應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：（1）若x+12x=?7為十字分式方程，則x（2）若十字分式方程x?6x=?5的兩個解分別為x1=a（3）若關(guān)于x的十字分式方程x?2023k?2022k2x?1=2023k?2022的兩個解分別為x1，x2

專題15.2解分式方程【典例1】已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3（1）當(dāng)a=2，b=1時，求分式方程的解；（2）當(dāng)a=1時，求b為何值時分式方程a2x+3（3）若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程a2x+3?b?x【思路點撥】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【解題過程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：2(x?5)?(1?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，解得：x=?1檢驗：把x=?15代入∴原分式方程的解為：x=?1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：(x?5)?(b?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，去括號，得：x?5+2x移項、合并同類項，得：(11?2b)x=3b?10，①當(dāng)11?2b=0時，即b=11②當(dāng)11?2b≠0時，得x=3b?10Ⅰ.x=?3即3b?1011?2b此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即3b?1011?2b此時b=5；綜上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x?5)，得：3b(x?5)+(x?b)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，整理得：(10+b)x=18b?15解得：x=18b?15∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知關(guān)于x的方程xx?1?1=mx2?1的解為A．y=?3 B．y=?37 C．y=13【思路點撥】將x=2代入關(guān)于x的方程中，求出m=3，再將m=3，代入關(guān)于y的方程中，求出y=3，再進行檢驗即可得出答案．【解題過程】解：∵關(guān)于x的方程xx?1?1=m∴xx+12×3?4?1∴m=3，當(dāng)m=3時，關(guān)于y的方程是：3y∴3+2y（∴3+2y∴y=3，經(jīng)檢驗：y=3是關(guān)于y的方程my故選：D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）關(guān)于方程1x?3+m+1x+3=m+2xA．10個 B．11個 C．12個 D．13個【思路點撥】根據(jù)題意將分式方程解出來，再根據(jù)其解滿足?4<x<72，可得【解題過程】解：1x+3+x+3+m+2x=4m+2當(dāng)m+2≠0即m≠?2時，x=4m+2∵?4<x<7∴?4<4m+2m+2<72，且x=當(dāng)m>?2時，m+2>0，?4m+2解得?5此時，滿足條件的整數(shù)m共有?1、0、1、2、3、5、6、7、8、9，共10個；當(dāng)m<?2時，m+2<0，72此等式無解，綜上所述，滿足條件的整數(shù)m有10個，故選A．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）方程1y?2【思路點撥】此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.觀察此方程可以發(fā)現(xiàn)，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法來解.【解題過程】解：移項，得：1y?2方程兩邊通分，得：(y?4)?(y?2)(y?2)(y?4)即?2(y?2)(y?4)方程的兩邊同乘以(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)，即y解得：y=5，經(jīng)檢驗，y=5是原方程的根.∴原方程的解為：y=5.4．（2023·山東菏澤·校考一模）已知關(guān)于x的分式方程12x+3?a?x【思路點撥】根據(jù)分式方程的解法步驟，結(jié)合分式方程無解的情況即可得到參數(shù)a的值．【解題過程】解：12x+3去分母得x?5?∴11?2ax=3a?10∵關(guān)于x的分式方程12x+3∴①當(dāng)11?2a=0時，即a=112，此時②當(dāng)11?2a≠0時，即a≠112，解11?2ax=3a?10此時分式方程無解，必須有x=?32或x=5，則x=3a?10i當(dāng)x=3a?10ii當(dāng)x=3a?1011?2a=5綜上所述，a的值為5或112故答案為：5或1125．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程：（1）3?1（2）x+14【思路點撥】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可．【解題過程】（1）解：左右兩邊都乘以x?2，得3x?2去括號，得3x?6+1=3?x，移項，得3x+x=6?1+3，合并同類項，得4x=8，系數(shù)化為1，得x=2，將x=2代入x?2中，x?2=2?2=0所以x=2是增根，原方程無解．（2）左右兩邊都乘以2x?12x+1，得x+1=3去括號，得x+1=6x?3?4x?2，移項，得x?6x+4x=?3?2?1，合并同類項，得?x=?6，系數(shù)化為1，得x=6，經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，所以原方程的解是x=6．6．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解分式方程（1）3（2）5x?4【思路點撥】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可．【解題過程】（1）解：方程兩邊同乘6x?2，得：33x?1去括號，得：9x?3?2=5，移項，合并，得：9x=10，系數(shù)化1，得：x=10檢驗，當(dāng)x=109時，∴x=10（2）解：方程兩邊同乘3x?6，得：35x?4去括號，得：15x?12=4x+10?3x+6，移項，合并，得：14x=28，系數(shù)化1，得：x=2；檢驗，當(dāng)x=2時，3x?6=0，∴x=2是原方程的增根，舍去；∴原方程無解．7．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）解分式方程：（1）1?xx?2（2）2xx【思路點撥】（1）先去分母，然后求解檢驗即可；（2）將分式方程去分母，然后求解檢驗即可．【解題過程】解：（1）方程兩邊同時乘x?2，得1?x?x?2化簡，得2x?5=0解得：x=5經(jīng)檢驗，x=5所以x=5（2）解：去分母得2xx+3整理得，2x移項、合并同類項得，24x=36，解得x=3檢驗：當(dāng)x=32時，∴x=3所以x=38．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）解方程：x+5【思路點撥】先將原方程變形1+1【解題過程】解：原方程可變形為，1+1化簡得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=?5檢驗，把x=?52代入(x+4)(x+1)∴原方程的解為x=?59．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：x+2005x+2004【思路點撥】原方程變形為1x+2004【解題過程】解：原方程可化為1x+2004即1x+2006x+2007?1x+2006x+2006x+2007x26x=?12030，x=?2005.經(jīng)檢驗，x=?2005是原方程的根.∴原方程的解是x=?2005.10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）解方程（1）16x?134x?3+（2）1(x+1)(x+2)+【思路點撥】（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通過化簡，觀察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法來解．（2）此方程不能直接去分母，由1(x+1)(x+2)【解題過程】（1）解：方程化簡，得：4?128x?92(8x?9+8x?7)(8x?9)(8x?7)4(8x?8)(8x?9)(8x?7)當(dāng)x=1時，等式成立；當(dāng)x≠1時，轉(zhuǎn)化為整式方程為：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7），整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立．經(jīng)檢驗，x=1是方程的解．（2）方程化簡，得：1x+11x+12001(x+1)(x+2002)（x+1）（x+2002）=3x+6006，x2+2003x+2002=3x+6006，解得：x=-2002或x=2，經(jīng)檢驗，x=-2002是增根，x=2是原方程的根．11．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）當(dāng)m為何值時，分式方程xx+3【思路點撥】先給方程兩邊乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出關(guān)于m的不等式，通過解不等式來求m的取值范圍．【解題過程】解：由原方程得：xx?2整理得：?7x=3?2m，解得：x=2m?3∵分式方程xx+3?x+1x?2=∴2m?37解得：m≥5，且m≠1712．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的分式方程x?a（1）若分式方程的根是x=5，求a的值（2）若分式方程有增根，求a的值（3）若分式方程有無解，求a的值【思路點撥】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，則xx?2=0，得到x=0（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0【解題過程】（1）解：把x=5代入x?ax?25?a5?2解得a=?1；（2）x?ax?2兩邊都乘以xx?2xx?a整理得，a+3x=10由分式有增根，則xx?2∴x=0或x=2，把x=0代入a+3x=10，a把x=2代入2a+3=10，解得綜上可知，a=2；（3）由（2）可知，a+3x=10當(dāng)a+3=0時，方程無解，即a=?3，當(dāng)a+3≠0時，要使方程無解，則分式方程有增根，由（2）知a=2，綜上可知，a=?3或a=2．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┯^察下列各式：12=11×2=1?12，1（1）請猜想出表示上面各式的特點的一般規(guī)律，用含n（n表示正整數(shù)）的等式表示出來___．（2）請利用上述規(guī)律計算：12+1（3）請利用上述規(guī)律，解方程：1x?2【思路點撥】（1）根據(jù)給出的式子，寫出用n表示的一般規(guī)律即可；（2）利用找出的一般規(guī)律進行計算即可；（3）根據(jù)找出的規(guī)律將方程變形為1x?2【解題過程】（1）解：∵1216112120130…，∴1n故答案為：1n（2）解：1=1?===n（3）解：分式方程整理得：1x?2即1x?2方程兩邊同時乘x?2x?1，得x+1=2解得：x=5，檢驗：把x=5代入x?2x?1得：x?2∴x=5是原分式方程的解，∴原方程的解為：x=5．14．（2023秋·廣東珠海·八年級統(tǒng)考期末）李華在計算時，探究出了一個“裂項”的方法，如：11×2（1）求15×6（2）證明：11×2（3）解方程：13x【思路點撥】（1）根據(jù)“裂項”的方法，計算即可；（2）根據(jù)“裂項”的方法，計算證明即可；（3）首先根據(jù)“裂項”的方法化簡方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計算即可．【解題過程】（1）解：1===3（2）證明：1=1?=1?=n∵n<n+1，∴nn+1∴11×2（3）解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4檢驗：x=4∴原方程的解為x=415．（2023春·八年級課時練習(xí)）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14…（1）觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+1x=6+（2）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+1x=a+（3）由（2）可知，在解方程y+y+2y+1=（4）利用（2）的結(jié)論解方程：2x?1x+2【思路點撥】（1）根據(jù)已知材料即可得出答案；（2）根據(jù)已知材料即可得出答案；（3）把方程轉(zhuǎn)化成y+1+1y+1=3+1（4）利用換元法，轉(zhuǎn)化為材料中的規(guī)律解答．【解題過程】（1）解：關(guān)于x的方程x+1x=6+16故答案為：x1=6，（2）關(guān)于x的方程x+1x=a+1a故答案為：x1=a，（3）y+y+2y+y+1+1y+1+即y+1=3，y+1=1解得：y1=2，（4）令2x?1x+2=m，則方程2x?1x+2由（2）規(guī)律可得，m1=4，即2x?1x+2=4或解得x1=?916．（2023春·八年級課時練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x?1解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：都是方程y?4∴當(dāng)y=2時，x?1x=2，解得x=?1；當(dāng)y=?2時，x?1x經(jīng)檢驗：x=?1或x=1∴原分式方程的解為x=?1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程中x?1x+xx?1=52，設(shè)=y（2）模仿上述換元法解方程：x?1x+2【思路點撥】（1）根據(jù)換元法，可得答案；（2）根據(jù)分式的加減，可得x?1x+2【解題過程】（1）設(shè)x?1x=y，則原方程化為：方程兩邊同時乘以2y得：2y2?5y+2=0經(jīng)檢驗：y=12和2都是方程當(dāng)y=12時，x?1x當(dāng)y=2時，x?1x=2，解得：經(jīng)檢驗：x=2和x=?1是原分式方程的解，故答案為：x?1x，y+1y=5（2）原方程化為：x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，則原方程化為：方程兩邊同時乘以y得：y2?1=0，解得：經(jīng)檢驗：y=±1都是方程y?1當(dāng)y=1時，x?1x+2當(dāng)y=?1時，x?1x+2=?1，解得：經(jīng)檢驗x=?1∴原分式方程的解為x=?117．（2022秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對x,y定義一種新運算