新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題41概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、不等式的綜合專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題41概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、不等式的綜合一、題型選講題型一、概率與函數(shù)的交匯例1、（2020屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大例2、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn)．（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求；（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？例3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）某公司準(zhǔn)備投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，已知每年生產(chǎn)萬件的該種產(chǎn)品所需要的總成本（萬元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質(zhì)可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種情況，隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品測(cè)量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到的頻率分布直方圖如圖所示.產(chǎn)品的品質(zhì)情況和相應(yīng)的價(jià)格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示.產(chǎn)品品質(zhì)立品尺寸的范圍價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，設(shè)不同品質(zhì)的產(chǎn)品價(jià)格為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；（3）估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司年利潤(rùn)最大，并求出最大值.例4、（廣東省2021屆高三上學(xué)期綜合能力測(cè)試）隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動(dòng)記載用戶每日健步的步數(shù)．某市大型企業(yè)為了了解其員工每日健步走的情況，從正常上班的員工中隨機(jī)抽取了2000人，統(tǒng)計(jì)了他們手機(jī)計(jì)步軟件上同一天健步的步數(shù)（單位：千步，假設(shè)每天健步的步數(shù)均在3千步至21千步之間）．將樣本數(shù)據(jù)分成[3，5），[5，7），[7，9），[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布．(1)求圖中a的值；(2)設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)（單位：千步）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算），取，若該企業(yè)恰有10萬人正常上班的員工，試估計(jì)這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88,15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人，其中有k名員工的日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的概率為，其中，當(dāng)最大時(shí)，求k的值，參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.題型二、概率與數(shù)列的交匯例5、【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．例6、（華南師大附中2021屆高三綜合測(cè)試）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．深受青少年的喜愛．(I)為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，由于報(bào)名人數(shù)較多，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點(diǎn)球一次，若踢進(jìn)，則被錄??；若沒踢進(jìn)，則繼續(xù)踢，直到踢進(jìn)為止，但是每人最多踢點(diǎn)球3次．下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率，為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；點(diǎn)球數(shù)203030252025進(jìn)球數(shù)101720161314(II)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1=1．(i)求P2，P3（直接寫出結(jié)果即可）；(ii)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，則的最大值為（）A． B． C． D．12、（2020屆浙江省杭州市第二中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的分布列如下：-101其中，，成等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．3、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1-x，若則（）A．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而增大B．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而增大C．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而減小D．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而減小4、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國(guó)城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中.項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國(guó)家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和.（1）若投資項(xiàng)目一，記為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求（用p表示）；（2）若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為百萬元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說明理由.5、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，，，為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動(dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．（1）分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率；（2）擲骰子次時(shí)，若以軸非負(fù)半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.6、某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天的進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每瓶4元，售價(jià)為每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？7、甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為eq\f(1,2).如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)．(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論．專題41概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、不等式的綜合一、題型選講題型一、概率與函數(shù)的交匯例1、（2020屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【解析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列，則＝＝由于函數(shù)的圖象為關(guān)于的開口方向向下的拋物線，且，函數(shù)的對(duì)稱軸為，故增大.例2、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn)．（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求；（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】（1）；（2）（i），（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．【解析】（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．因此．令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最大值點(diǎn)為．（2）由（1）知，．（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即．所以．（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元．由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．例3、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）某公司準(zhǔn)備投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，已知每年生產(chǎn)萬件的該種產(chǎn)品所需要的總成本（萬元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質(zhì)可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種情況，隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品測(cè)量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到的頻率分布直方圖如圖所示.產(chǎn)品的品質(zhì)情況和相應(yīng)的價(jià)格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示.產(chǎn)品品質(zhì)立品尺寸的范圍價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，設(shè)不同品質(zhì)的產(chǎn)品價(jià)格為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；（3）估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司年利潤(rùn)最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）見解析（3）年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為138萬.【解析】（1）由題意得，解得；（2）當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為優(yōu)時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為中時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為差時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；以頻率作為概率，可得隨機(jī)變量的分布列為：0.50.20.3（3）設(shè)公司年利潤(rùn)為，則整理得，顯然當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，取得最大值.估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為138萬.例4、（廣東省2021屆高三上學(xué)期綜合能力測(cè)試）隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動(dòng)記載用戶每日健步的步數(shù)．某市大型企業(yè)為了了解其員工每日健步走的情況，從正常上班的員工中隨機(jī)抽取了2000人，統(tǒng)計(jì)了他們手機(jī)計(jì)步軟件上同一天健步的步數(shù)（單位：千步，假設(shè)每天健步的步數(shù)均在3千步至21千步之間）．將樣本數(shù)據(jù)分成[3，5），[5，7），[7，9），[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布．(1)求圖中a的值；(2)設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)（單位：千步）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算），取，若該企業(yè)恰有10萬人正常上班的員工，試估計(jì)這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88,15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人，其中有k名員工的日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的概率為，其中，當(dāng)最大時(shí)，求k的值，參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【解析】(1)由，解得，(2，，則10000×0.8186=8186（人），所以日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88,15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)約為8186人．(3)設(shè)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的員工有X人，則，其中有k名員工的概率為，其中.記，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以當(dāng)時(shí)，最大，題型二、概率與數(shù)列的交匯例5、【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．【答案】（1）分布列見解析；（2）(i)證明見解析，(ii)，解釋見解析．【解析】X的所有可能取值為．，，，所以的分布列為（2）（i）由（1）得．因此，故，即．又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得．由于，故，所以．表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理．例6、（華南師大附中2021屆高三綜合測(cè)試）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．深受青少年的喜愛．(I)為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，由于報(bào)名人數(shù)較多，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點(diǎn)球一次，若踢進(jìn)，則被錄?。蝗魶]踢進(jìn)，則繼續(xù)踢，直到踢進(jìn)為止，但是每人最多踢點(diǎn)球3次．下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率，為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；點(diǎn)球數(shù)203030252025進(jìn)球數(shù)101720161314(II)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到，記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1=1．(i)求P2，P3（直接寫出結(jié)果即可）；(ii)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大．【解析】：(I)這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為，則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率p=0.6，由題意，可能取1，2，3，則P（=1）=0.6，P（=2）=0.4×0.6=0.24，P（=3）=0.4×0.4=0.16，的分布列為：123p0.60.240.16即E（）=l×0.6+2×0.24+3×0.16=1.56(II)(i)由題意P2=0，P3=．(ii)第n次觸球者是甲的概率記為Pn，則當(dāng)n≥2時(shí)，第n-1次觸球者是甲的概率為Pn-1，第n-1次觸球者不是甲的概率為1-Pn-1，則，從而，又是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列則，故第19次觸球者是甲的概率大．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，則的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】隨機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，，可得：，由，可得所以．，當(dāng)時(shí)，的最大值為1．故選：D．2、（2020屆浙江省杭州市第二中學(xué)高三3月月考）隨機(jī)變量的分布列如下：-101其中，，成等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列，，.則的最大值為3、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1-x，若則（）A．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而增大B．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而增大C．E(ξ)隨著x的增大而減小，D(ξ)隨著x的增大而減小D．E(ξ)隨著x的增大而增大，D(ξ)隨著x的增大而減小【答案】B【解析】依題意，在區(qū)間上是減函數(shù).，注意到函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，也即在區(qū)間上是增函數(shù).故選：B4、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國(guó)城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中.項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國(guó)家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和.（1）若投資項(xiàng)目一，記為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求（用p表示）；（2）若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為百萬元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）解：由題意則盈利的天坑院數(shù)的均值.（2）若投資項(xiàng)目二，則的分布列為2-1.2盈利的均值.（3）若盈利，則每個(gè)天坑院盈利（百萬元），所以投資建設(shè)20個(gè)天坑院，盈利的均值為（百萬元）.①當(dāng)時(shí)，，解得..故選擇項(xiàng)目一.②當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)一.③當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)二.5、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，，，為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動(dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．（1）分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率；（2）擲骰子次時(shí)，若以軸非負(fù)半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，.【解析】（1），，，，綜上，棋子位置擲骰子次數(shù)23（2）隨機(jī)變量的可能數(shù)值為1，.綜合（1）得，，故隨機(jī)變量的分布列為.（3）易知，因此，而當(dāng)時(shí)，，又，即.因此，故即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以，又故.6、某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天的進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每瓶4元，售價(jià)為每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】（1）由題意知，X可能取值為200，300，500，P（X＝200）＝eq\f(2＋16,90)＝0.2，P（X＝300）＝eq\f(36,90)＝0.4，P（X＝500）＝eq\f(25＋7＋4,90)＝0.4，所以X的分布列為X200300500P0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300＋2（n－300）－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n，所以E（Y）＝2n×0.4＋（1200－2n）×0.4＋（800－2n）×0.2＝640－0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n，所以E（Y）＝2n×（0.4＋0.4）＋（800－2n）×0.2＝160＋1.2n，所以當(dāng)n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.7、甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N*)局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為eq\f(1,2).如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)．(1)求P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，∴P(2)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(5,16)，同理P(3)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋Ceq\o\al(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＋Ceq\o\al(6,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(11,32).(2)在2n局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n＋1局，故P(n)＝Ceq\o\al(n＋1,2n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2n＋Ceq\o\al(n＋2,2n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\