2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.1生活中的變量關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE其次章函數(shù)§1生活中的變量關(guān)系內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解生活中兩個(gè)變量之間的依靠關(guān)系現(xiàn)象．2.了解生活中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系現(xiàn)象．3.能辨析依靠關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的區(qū)分和聯(lián)系.精確數(shù)學(xué)概念加強(qiáng)邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第15頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一依靠關(guān)系eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P23－25，思索并完成以下問題)某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則他的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依靠關(guān)系嗎？當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了多少分鐘？提示：該人的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間有依靠關(guān)系．當(dāng)他位于摩天輪一半高度時(shí)，摩天輪轉(zhuǎn)了2分鐘或6分鐘．學(xué)問梳理依靠關(guān)系一般地，在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個(gè)變量具有依靠關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)關(guān)系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)某人坐摩天輪一圈用時(shí)8分鐘．若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若把摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t當(dāng)自變量，他的海拔高度h為因變量，則每取一個(gè)t值，有幾個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)？提示：每取一個(gè)t值，有唯一一個(gè)h值與之對(duì)應(yīng)．學(xué)問梳理函數(shù)關(guān)系一般地，當(dāng)變量x每取一個(gè)值，另一個(gè)變量y總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，變量x、y之間具有函數(shù)關(guān)系，并且y是x的函數(shù)．學(xué)問點(diǎn)三依靠關(guān)系與函數(shù)關(guān)系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)在學(xué)問點(diǎn)二的思索中，h是t的函數(shù)嗎？t是h的函數(shù)嗎？h，t有依靠關(guān)系嗎？提示：h是t的函數(shù)；t不是h的函數(shù)；h，t有依靠關(guān)系．(2)某天的感冒人數(shù)與天氣之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？提示：某天的感冒人數(shù)與天氣之間有肯定的依靠關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系，因感冒人數(shù)除與天氣有關(guān)外還與個(gè)人的體質(zhì)、所處環(huán)境等有關(guān)．學(xué)問梳理依靠關(guān)系與函數(shù)關(guān)系一般地，函數(shù)關(guān)系肯定是依靠關(guān)系，而依靠關(guān)系不肯定是函數(shù)關(guān)系．要確定變量的函數(shù)關(guān)系，需先分清誰是自變量，誰是因變量．[自我檢測(cè)]1．下列各量間不存在依靠關(guān)系的是()A．扇形的圓心角與它的面積 B．某人的體重與其飲食狀況C．水稻的畝產(chǎn)量與施肥量 D．某人的衣著價(jià)格與視力答案：D2．一人騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；圖中與這件事正好吻合的圖像是(其中x軸表示時(shí)間，y軸表示路程)()解析：騎著車一路勻速行駛，此時(shí)函數(shù)圖像為遞增的直線，在途中遇到一次交通堵塞，則這段時(shí)間與家的距離必為肯定值，故應(yīng)選圖像A.答案：A3．給出下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)寶之間的關(guān)系；②拋物線上的點(diǎn)與該點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④某同學(xué)在6次考試中的數(shù)學(xué)成果與他的考試號(hào)之間的關(guān)系．其中不是函數(shù)關(guān)系的有________(填序號(hào))．解析：①③中兩者存在依靠關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系，②中兩者是函數(shù)關(guān)系；④中兩者不存在依靠關(guān)系，更不是函數(shù)關(guān)系．答案：①③④授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁探究一依靠關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的辨析[例1]下列各組中兩個(gè)變量之間是否存在依靠關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？①球的體積和它的半徑；②速度不變的狀況下，汽車行駛的路程與行駛時(shí)間；③家庭收入愈多，其消費(fèi)支出也有增長(zhǎng)的趨勢(shì)；④正三角形的面積和它的邊長(zhǎng)．[解析]①中球的體積V與半徑r間存在V＝eq\f(4,3)πr3的關(guān)系；②中在速度不變的狀況下，行駛路程s與行駛時(shí)間t之間存在正比例關(guān)系；③中家庭收入與其消費(fèi)支出間存在依靠關(guān)系，但具有不確定性；④中正三角形的面積S與其邊長(zhǎng)a間存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的關(guān)系．綜上可知①②③④中兩個(gè)變量間都存在依靠關(guān)系，其中①②④是函數(shù)關(guān)系．方法技巧推斷兩個(gè)變量有無依靠關(guān)系，主要看其中一個(gè)變量改變時(shí)，是否會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)變量隨之改變．而推斷兩個(gè)具有依靠關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否具有確定性，即考察對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．跟蹤探究1.下列過程中，各變量之間是否存在依靠關(guān)系？若存在依靠關(guān)系，則其中哪些是函數(shù)關(guān)系？(1)將保溫瓶中的熱水倒入茶杯中緩慢冷卻，并將一溫度計(jì)放入茶杯中，每隔一段時(shí)間，視察溫度計(jì)示數(shù)的改變，冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)的關(guān)系；(2)家庭的食品支出與電視價(jià)格之間的關(guān)系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間的關(guān)系．解析：(1)冷卻時(shí)間與溫度計(jì)示數(shù)具有依靠關(guān)系，依據(jù)函數(shù)定義知，二者之間是函數(shù)關(guān)系(一一對(duì)應(yīng))；(2)家庭的食品支出與電視價(jià)格之間沒有依靠關(guān)系；(3)在高速馬路上行駛的汽車所走的路程與時(shí)間這兩個(gè)變量存在依靠關(guān)系，且具有確定性，是函數(shù)關(guān)系(一一對(duì)應(yīng))．綜上可知，(1)(3)中的變量間具有依靠關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系；(2)中兩個(gè)變量不存在依靠關(guān)系．探究二變量關(guān)系的表示[例2]聲音在空氣中傳播的速度簡(jiǎn)稱音速，試驗(yàn)測(cè)得音速與氣溫的一些數(shù)據(jù)如下表：氣溫x/℃05101520音速y(米/秒)331334337340343(1)依據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)作圖，由圖可看出變量________隨________的改變．(2)用x表示y的關(guān)系式為________．(3)氣溫為22℃[答案](1)音速氣溫(2)y＝eq\f(3,5)x＋331(3)1721方法技巧本類題目主要考查學(xué)生接受信息及學(xué)問的遷移實(shí)力．解答此類題目的關(guān)鍵在于借助變量間的圖像，分析實(shí)際問題中所隱含的東西，然后結(jié)合已學(xué)學(xué)問加以綜合分析，從而把問題解決．跟蹤探究2.心理學(xué)家發(fā)覺，學(xué)生對(duì)概念的接受實(shí)力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間有如下關(guān)系：(其中0≤x≤20)提出概念所用時(shí)間(x)257101213141720對(duì)概念的接受實(shí)力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？(2)當(dāng)提出概念所用時(shí)間是10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力是多少？(3)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為提出概念幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力最強(qiáng)？(4)從表格中可知，當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步增加？當(dāng)時(shí)間x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步降低？解析：(1)畫出圖如圖所示：反映了提出概念所用的時(shí)間x和對(duì)概念接受實(shí)力y兩個(gè)變量之間的關(guān)系；其中x是自變量，y是因變量．(2)由題中表格可知，當(dāng)提出概念所用時(shí)間為10分鐘時(shí)，學(xué)生接受實(shí)力是59.(3)由題中表格可知，提出概念所用的時(shí)間為13分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力最強(qiáng)．(4)當(dāng)x在2分鐘至13分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步增加；當(dāng)x在13分鐘至20分鐘的范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步降低.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁[課后小結(jié)]1．依靠關(guān)系和非依靠關(guān)系在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生改變，那么就稱這兩個(gè)變量具有依靠關(guān)系．在某改變過程中有兩個(gè)變量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個(gè)變量具有非依靠關(guān)系．2．函數(shù)關(guān)系假如變量x，y具有依靠關(guān)系，對(duì)于其中一個(gè)變量x的每一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值時(shí)，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系．3．借助圖表可使兩個(gè)變量間的關(guān)系直觀化，從而更便于我們從中發(fā)覺規(guī)律．[素養(yǎng)培優(yōu)]對(duì)變量關(guān)系理解不透致誤易錯(cuò)案例：下列關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是()A．乘坐出租車時(shí)，所付車費(fèi)和乘車距離的關(guān)系B．某同學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間與其學(xué)習(xí)成果的關(guān)系C．人的睡眠質(zhì)量與身體狀況的關(guān)系D．樹木的高度與土壤的關(guān)系易錯(cuò)分析：對(duì)改變過程中的兩個(gè)量，假如其中一個(gè)變量的值發(fā)生了改變，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之改變，則這兩個(gè)變量存在依靠關(guān)系，進(jìn)一步說，假如這兩個(gè)的值的改變存在一一對(duì)應(yīng)，就構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系．關(guān)鍵在理解依靠關(guān)系和