2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.2命題及其關(guān)系充分條件與必要條件知識(shí)點(diǎn)講解文科版含解析

專題1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【核心素養(yǎng)分析】1.理解命題的概念。2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系。3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。4.重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理實(shí)力的核心素養(yǎng)?！緦W(xué)問(wèn)梳理】學(xué)問(wèn)點(diǎn)一命題及其關(guān)系1．命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，推斷為假的語(yǔ)句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二充分條件與必要條件1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p【特殊提示】1．充要條件的兩個(gè)結(jié)論(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件．2．一些常見(jiàn)詞語(yǔ)及其否定詞語(yǔ)是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一個(gè)是不等于不大于【典例剖析】高頻考點(diǎn)一四種命題及其相互關(guān)系例1、（2024·福建三明一中模擬）命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1【答案】D【解析】命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的學(xué)問(wèn)，可知其逆否命題為“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”．故選D.【規(guī)律方法】由原命題寫(xiě)出其他三種命題的方法由原命題寫(xiě)出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將原命題的條件與結(jié)論互換即得逆命題，將原命題的條件與結(jié)論同時(shí)否定即得否命題，將原命題的條件與結(jié)論互換的同時(shí)進(jìn)行否定即得逆否命題?！咀兪教骄俊浚?024·浙江杭州十四中模擬）有下列四個(gè)命題，其中真命題是()①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題；③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題．A．①② B．①②③④C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】①“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題為“若lgx＋lgy＝0，則xy＝1”，該命題為真命題；②“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題為“若a·b≠a·c，則a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，據(jù)此可知a不垂直(b－c)，該命題為真命題；③若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實(shí)根，為真命題，則其逆否命題為真命題；④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題．綜上可得，真命題是①②③④.故選B.高頻考點(diǎn)二充分條件與必要條件的推斷例2、(1)(2024·高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2024·高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．(2)b＝0時(shí)，f(x)＝cosx，明顯f(x)是偶函數(shù)，故“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分條件；f(x)是偶函數(shù)，則有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，又cos(－x)＝cosx，sin(－x)＝－sinx，所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，則2bsinx＝0對(duì)隨意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的必要條件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【規(guī)律方法】充要條件的推斷方法(1)定義法：依據(jù)p?q，q?p進(jìn)行推斷.(2)集合法：依據(jù)使p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行推斷.這個(gè)方法特殊適合以否定形式給出的問(wèn)題.【變式探究】（2024·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬）設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據(jù)此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件．高頻考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用例3、（2024·湖南株洲二中模擬）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥坑蓌2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又∵S為非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.綜上，m的取值范圍是[0，3].【方法技巧】依據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn)(1)先合理轉(zhuǎn)化條件,常通過(guò)有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題等,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),肯定要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式是否能夠取等號(hào)確定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)簡(jiǎn)單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【變式探究】（2024·山西平遙中學(xué)模擬）若關(guān)于x的不等式|x－1|<a成立的充分條件是0<x<4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)>3 D．a(chǎn)≥3【答案】D【解析】|x－1|<a?－a<x