河南省新鄉(xiāng)七中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)七中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－22．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點(diǎn)O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交3．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.4．若，，且，則（）A. B.C. D.5．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則（）A.10 B.C. D.386．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.27．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.28．已知?jiǎng)t是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.12．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則______.14．已知數(shù)列，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前10項(xiàng)和是______15．若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則______.16．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，滿足，證明.18．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若F為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值19．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍20．（12分）已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)E，連接EP并延長交橢圓于另一點(diǎn)F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程22．（10分）設(shè)關(guān)于x的不等式的解集為A，關(guān)于x的不等式的解集為B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D2、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.3、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D4、A【解析】由于對數(shù)函數(shù)的存在，故需要對進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進(jìn)而得解.【詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A5、A【解析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱性易得線段長【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A6、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D7、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是故選：A8、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關(guān)系確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋允堑某浞植槐匾獥l件，選A.【點(diǎn)睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關(guān)系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】求出函數(shù)圖象的對稱中心，結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，函?shù)圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象向下平移個(gè)單位長度，可得到奇函數(shù)的圖象，即函數(shù)為奇函數(shù).故選：A10、A【解析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.11、A【解析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.12、A【解析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，而，則，即，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過焦點(diǎn)作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進(jìn)行分類討論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，不妨令則，故當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，直線方程可設(shè)為，令由整理得則，綜上，故答案為：14、【解析】將點(diǎn)代入可得，從而得，再由裂項(xiàng)相消法可求解.【詳解】由題意有，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為：.故答案為：15、【解析】由題意寫出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由弦長公式可得答案.【詳解】設(shè)，則直線的方程為由，得所以所以故答案為：16、①..②..【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）由題意可知，，，因?yàn)椋?，所以，故設(shè)平面的法向量為，則，令，得因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無遞減區(qū)間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而判斷其正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進(jìn)而變形為，然后換元令，將證明的問題轉(zhuǎn)換為成立的問題，從而構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進(jìn)而證明不等式成立.【小問1詳解】時(shí)，，,令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則，故是單調(diào)遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設(shè)，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在時(shí)為增函數(shù)，故，即，所以在時(shí)為增函數(shù)，即，即，故，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及涉及到零點(diǎn)的不等式的證明問題，解答時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)極值或最值，解答的關(guān)鍵時(shí)對函數(shù)式或者不等式進(jìn)行合理的變形，進(jìn)而能構(gòu)造新的函數(shù)，利用新的函數(shù)的單調(diào)性或最值達(dá)到證明不等式成立的目的m.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接OD，通過三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】解法1：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)樵谌庵校倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以O(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面解?：因?yàn)樵谌庵?，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋訠（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】當(dāng)軸時(shí)，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當(dāng)軸時(shí)，由（1）知：，所以，當(dāng)AB斜率為k時(shí)，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.20、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因?yàn)?，所以【小?詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，，所以面積的最大值為21、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關(guān)系，短軸求出，結(jié)合關(guān)系式解出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，結(jié)合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達(dá)定理可求，進(jìn)而得解；【小問1詳解】由題