2025屆湖北省黃岡市浠水實驗高中高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

2025屆湖北省黃岡市浠水實驗高中高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.2．設實數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.83．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D4．下列說法正確的有（）個.①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項.A.1 B.2C.3 D.05．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.26．已知點，點關(guān)于原點對稱點為，則（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.108．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知直線過點，當直線與圓有兩個不同的交點時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.11．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1512．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.14．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________15．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分16．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的三個頂點是，，（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程18．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點圖.根據(jù)散點圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計產(chǎn)品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和為.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和為21．（12分）現(xiàn)將兩個班的藝術(shù)類考生報名表分別裝進2個檔案袋，第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內(nèi)有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一個檔案袋，然后從中隨機抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率22．（10分）已知，p：，q：（1）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應用，注意根據(jù)題設條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.2、A【解析】作出不等式組的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.【詳解】畫出約束條件的平面區(qū)域，如下圖所示：目標函數(shù)可以化為，函數(shù)可以看成由函數(shù)平移得到，當直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，則，故選：3、A【解析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.4、A【解析】由向量數(shù)量積為實數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯誤；對于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項，故③錯誤故選：A5、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題6、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結(jié)合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項和的基本量運算，屬于基礎題型.8、A【解析】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點，因為當時，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時，，當趨向于負無窮時，趨向于0，但始終小于0，當時，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個零點，則.故選：A9、A【解析】設直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點故選：A10、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.11、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而求出結(jié)果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D12、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當時，，即因此，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；15、證明過程見解析【解析】選①②作條件證明③時，可設出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：因為，所以，，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結(jié)論.16、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中點坐標，再利用兩點式求出直線的方程；（2）先求出BC邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出直線的方程.【詳解】（1）設線段的中點為因為，，所以的中點，所以邊上的中線所在直線的方程為，即（2）因為，，所以邊所在直線的斜率，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，即【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎題.18、（1）（2）該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)公式計算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當時，，此時毛利率為×100％≈34％；當時，，此時毛利率為=40％，因為40％>34％，所以該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）對遞推公式進行變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】因為，且，所以即，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.又，所以即；【小問2詳解】由（1）得，所以.故.20、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當時，兩式作差整理得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運用錯位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因為，……①，所以當時，，當時……②，則①-②可得，所以，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，即，因為所以，則……①，①得……②，①-②得，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內(nèi)有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：22、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)命題對應的集合是命題對應的集合的真子集列式解得結(jié)果即可得解；（2）“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，等價于與一真一假，分兩種情況列式可得結(jié)果