2025屆上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.82．幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)、是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大的．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過、兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決一下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）A.B.C.或D.或3．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.4．如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.7．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.98．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.99．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1411．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16C.32 D.6412．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若，，則_________14．用秦九韶算法求函數(shù)，當(dāng)時(shí)的值時(shí)，___________15．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高二被抽取的人數(shù)為__.16．等軸（實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等）雙曲線的離心率_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對(duì)于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.18．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值19．（12分）已知兩動(dòng)圓：和：，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，取曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足：且點(diǎn)與點(diǎn)均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；20．（12分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知數(shù)列滿足,，設(shè).（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.2、A【解析】根據(jù)米勒問題的結(jié)論，點(diǎn)應(yīng)該為過點(diǎn)、的圓與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，寫出圓的方程，并將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選：A.3、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)椋?，即故選：B4、D【解析】解：，設(shè)F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D5、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以.故選：B6、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A7、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)椋?，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C8、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)椋?，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B9、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.10、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?、，所以，所以；故選：B12、B【解析】對(duì)于①，由判斷，對(duì)于②，利用基本不等式可判斷，對(duì)于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對(duì)于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對(duì)于①，由，得異號(hào)，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對(duì)稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以由曲線的對(duì)稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2，所以②正確，對(duì)于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對(duì)稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個(gè)整點(diǎn)（0，0），所以④錯(cuò)誤，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而利用求方差公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，則，從而，解得：，所以故答案為：14、0【解析】利用秦九韶算法的定義計(jì)算即可.【詳解】故答案為:015、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).【詳解】高一年級(jí)抽取的人數(shù)為：人，則，則高二被抽取的人數(shù)，故答案為：.16、【解析】由題意可知，，由，化簡(jiǎn)可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時(shí)平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問1詳解】∵，E為AB中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則平面的法向量為，設(shè)平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.19、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因?yàn)椋杂?，把代入整理化?jiǎn)得，或舍，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)均不重合，所以直線恒過定點(diǎn)20、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項(xiàng)公式后，再由求得通項(xiàng)公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯(cuò)位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時(shí)，也適合所以；選②，由得，所以等差數(shù)列，公差為，又，所以；選③，由得，以下同選①，【小問2詳解】由（1），，，兩式相減得，所以21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）計(jì)算可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，則，因?yàn)?，則，