晉城市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

晉城市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.2．已知拋物線(xiàn)，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.4．“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A B.C. D.47．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．直線(xiàn)在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.9．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線(xiàn)的斜率為（）A.1 B.C. D.11．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公比為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.14．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________15．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，3)，且它的一個(gè)方向向量為(2，1)，則直線(xiàn)l的一般式方程為_(kāi)_________.16．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值18．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，當(dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相切，且交圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)方程.19．（12分）某工廠(chǎng)為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠(chǎng)認(rèn)定產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級(jí)產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量哪一條更好，并說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠(chǎng)樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的概率.20．（12分）在①，②，③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，，，_____________.（1）請(qǐng)寫(xiě)出你選擇條件的序號(hào)____________；并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求和.21．（12分）若雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若F是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線(xiàn)l的斜率22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線(xiàn)C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C2、B【解析】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，求得直線(xiàn)的方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得出，進(jìn)而可得出直線(xiàn)的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第一象限，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點(diǎn).為等腰直角三角形，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得出，則直線(xiàn)的斜率為，即，解得.因此，以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B4、A【解析】方程表示雙曲線(xiàn)則，解得，是“方程表示雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件.故選：A5、C【解析】由全稱(chēng)命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫(xiě)出原命題p的否定.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，∴是“，”.故選：C.6、B【解析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，化為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】解：根據(jù)題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B7、C【解析】把雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.8、A【解析】把直線(xiàn)方程由一般式化成斜截式，即可得到直線(xiàn)在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線(xiàn)在軸上的截距為.故選：A9、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡(jiǎn)得到，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，由，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C10、C【解析】作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于，垂直準(zhǔn)線(xiàn)于，作于，結(jié)合拋物線(xiàn)定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于，垂直準(zhǔn)線(xiàn)于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線(xiàn)的定義可知：，，，所以，直線(xiàn)斜率為：.故選：C.11、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A12、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問(wèn)題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類(lèi)：第一類(lèi)是2，4，4，第二類(lèi)是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205014、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：15、【解析】根據(jù)直線(xiàn)方向向量求出直線(xiàn)斜率即可得直線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的一個(gè)方向向量為(2，1)，所以其斜率，所以l方程為：，即其一般式方程為：.故答案為：.16、##【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直得，即可求出答案.【詳解】由直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直得，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點(diǎn)M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為18、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓相切，求得，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值是1，得，因?yàn)楫?dāng)垂直長(zhǎng)軸時(shí)，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知切線(xiàn)的斜率一定存在，否則不能形成，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，整理得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，即，故的面積為，因?yàn)?，可得，即，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即面積的最大值為.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以直線(xiàn)的方程為.【點(diǎn)睛】對(duì)于直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的處理方法：1、判定與應(yīng)用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，一把轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn)方程與橢圓組成的方程組的解得個(gè)數(shù)，結(jié)合判別式求解；2、對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，判定直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.19、（1）甲更好，詳細(xì)見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根據(jù)古典概型計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】解：甲生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因?yàn)?，所以甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平高于乙生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量的平均水平，故甲生產(chǎn)線(xiàn)所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量更好.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中優(yōu)等品有件，從甲生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線(xiàn)的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F(xiàn)），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F(xiàn)），（c，d），（c，E），（c，F(xiàn)），（d，E），（d，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種；其中符合條件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種.故抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的概率為：20、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項(xiàng)與公差可得通項(xiàng)公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設(shè)直線(xiàn)后，由條件求出坐標(biāo)后代入雙曲線(xiàn)方程求解【小問(wèn)1詳解