青海西寧二十一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

青海西寧二十一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．若，則的面積為（）A. B.C. D.2．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.4．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.5．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.7．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.48．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B.或C. D.10．中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則（）A. B.C. D.11．已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12．已知條件，條件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若和或都是假命題，則的范圍是__________14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線右支上，若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，且直線PF的斜率為，則該雙曲線的離心率是______15．某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該班本次測(cè)試平均分為_(kāi)_____16．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，若橢圓E上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q滿足，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率20．（12分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請(qǐng)按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問(wèn)題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q，求∠PFQ的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先由拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為，故選：D2、B【解析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D4、A【解析】根據(jù)或且非命題的真假進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng),故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A5、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進(jìn)行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.6、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.7、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.8、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D9、D【解析】“”是“”的充分不必要條件，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】∵“”是“”的充分不必要條件∴或∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，根據(jù)充要條件求解參數(shù)的范圍時(shí)，可把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，由此得到不等式（組）后再求范圍.解題時(shí)要注意，在利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.10、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.11、C【解析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得m，再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題12、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因?yàn)闂l件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：14、3【解析】如圖利用條件可得，，然后利用雙曲線的定義可得，即求.【詳解】如圖設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，線段PF的中點(diǎn)為M，連接，則，又直線PF的斜率為，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.15、【解析】將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測(cè)試平均分為.故答案為：.16、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意.故直線PQ過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.18、（1）；（2）.【解析】（1）由遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再由累加法求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】由可得：，又，，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，∴∴.19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值、頻率的關(guān)系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直，即可證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線與平面所成角，設(shè)直線與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線與平面所成角正弦值為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）說(shuō)明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形是矩形，則E為的中點(diǎn).因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌媸堑冗吶切?，D是的中點(diǎn)，所以，由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點(diǎn)F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則，令x=2，得，同理平面的一個(gè)法向量為，則cosm由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值為.22、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y