河南省洛陽市名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

河南省洛陽市名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④2．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.63．若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.內(nèi)的所有直線均與直線a異面 B.直線a與平面有公共點C.內(nèi)不存在與a平行的直線 D.內(nèi)的直線均與a相交4．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.5．已知橢圓與直線交于A，B兩點，點為線段的中點，則a的值為（）A. B.3C. D.6．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個7．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.9．中國大運河項目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46個世界遺產(chǎn)項目，隨著對大運河的保護(hù)與開發(fā)，大運河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順?biāo)械乃俣葹?，在逆水中的速度為，則游船此次行程的平均速度V與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標(biāo)原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.12．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，左、右焦點分別是，，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍是______.14．已知雙曲線C：的兩焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，若，則=___________.15．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項公式__________16．圓的圓心坐標(biāo)為___________；半徑為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線和，設(shè)a為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）18．（12分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表：若抽取了名學(xué)生，成績分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個等級，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績與物理成績，例如：表中物理成績?yōu)锳等級的共有（人），數(shù)學(xué)成績?yōu)锽等級且物理成績?yōu)镃等級的共有8人，已知與均為A等級的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績?yōu)锳等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率19．（12分）已知對于，函數(shù)有意義，關(guān)于k的不等式成立.（1）若為假命題，求k的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線交橢圓于M、N兩點，已知直線MA，NA分別交直線于點P，Q，求的值.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當(dāng)點A關(guān)于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由22．（10分）已知數(shù)列與滿足（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第k項是數(shù)列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數(shù)列的最小項；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設(shè)，則動點到坐標(biāo)原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設(shè)，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當(dāng)時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A2、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D3、B【解析】根據(jù)題意可得直線a與平面相交或在平面內(nèi)，結(jié)合線面的位置關(guān)系依次判斷選項即可.【詳解】若直線a不平行與平面，則直線a與平面相交或在平面內(nèi).A：內(nèi)的所有直線均與直線a異面錯誤，也可能相交，故A錯誤；B：直線a與平面相交或直線a在平面內(nèi)都有公共點，故B正確；C：平面內(nèi)不存在與a平行的直線，錯誤，當(dāng)直線a在平面內(nèi)就存在與a平行的直線，故C錯誤；D：平面內(nèi)的直線均與a相交，錯誤，也可能異面，故D錯誤.故選：B4、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D5、A【解析】先聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合中點公式及點可求a的值.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，因為點為線段的中點，所以，即，解得，因為，所以.故選：A.6、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.8、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】求出平均速度V，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】易知，設(shè)奧運公園碼頭到漕運碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時間為，逆流而上的時間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，兩個不等式都取得“=”，而根據(jù)題意，于是.故選：A.10、C【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：因為拋物線方程為，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為；故選：C11、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設(shè)左焦點為,因為,所以不妨設(shè),則離心率故選:D12、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題,也可以進(jìn)行分情況討論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)的面積和短軸長得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案【詳解】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為點睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，函數(shù)最值的計算，熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題14、18或2##2或18【解析】先由雙曲線的方程求出，再利用雙曲線的定義列方程求解即可【詳解】由，得，則，因為雙曲線C：的兩焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，所以，即，所以或，因為，所以或都符合題意，故答案為：18或215、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.16、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=4或a=-2（2）a=【解析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問1詳解】解：因為，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當(dāng)時，a=4或a=-2；【小問2詳解】因為，所以4a=-2(a-2），解得a=檢驗：此時，，成立所以當(dāng)時，a=.18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)與均為A等級的概率是0.07，求得值，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是30％求得值，最后利用抽取的總?cè)藬?shù)求出值即可；（2）根據(jù)，，，寫出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問2詳解】由，，，可知，則試驗的樣本空間，共9個樣本點其中包含的樣本點有共4個，故所求概率19、（1）（2）【解析】（1）由與的真假相反，得出為真命題，將定義域問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，討論參數(shù)的取值，得出答案；（2）由必要不充分條件的定義得出，討論的取值結(jié)合包含關(guān)系得出的范圍.【詳解】解：（1）因為為假命題，所以為真命題，所以對恒成立.當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，則有，則.綜上，k的取值范圍為.（2）由，得.由（1）知，當(dāng)為真命題時，則令令因為p是q的必要不充分條件，所以當(dāng)時，，，解得當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；所以的取值范圍是【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題以及根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)范圍，屬于中檔題.20、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點P，Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【小問1詳解】由題意，點橢圓上，有，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不符；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l為：聯(lián)立方程得：由，設(shè)，有又由直線AM：，令x=-4得，將代入得：，同理得：.很明顯，且，注意到，，而，故所以.【點睛】本題考查求橢圓的方程，解題關(guān)鍵是利用離心率與橢圓上的點，找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系求解a與b．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，．表示出，，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比值關(guān)系．考查了學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題21、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關(guān)于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因為直線PB的方程為,且點D在直線PB上,所以則，所以，則,故，因為k≠0,所以，則直線l的方程為，所以直線恒過定點.22、（1）（2）證明見解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項公式；（2）由已