2025屆北京師范大學附中高二數學第一學期期末質量檢測試題含解析

2025屆北京師范大學附中高二數學第一學期期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與圓：相切，則（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或22．已知，那么函數在x＝π處的瞬時變化率為（）A. B.0C. D.3．江西省重點中學協(xié)作體于2020年進行了一次校際數學競賽，共有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結論錯誤的是（）A.得分在之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在的概率為0.5C.這100名參賽者得分的中位數為65D.可求得4．已知數列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1045．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.6．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.7．若數列滿足，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.8．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或159．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5010．雙曲線的左焦點到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.11．在的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則（）A.5 B.6C.7 D.812．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次國際會議為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了50名記者擔任對外翻譯工作，在如表“性別與會外語”的列聯(lián)表中，______.會外語不會外語合計男ab20女6d合計185014．設是數列的前項和，且，則_____________.15．函數，若，則的值等于_______16．若a，b，c都為正數，，且，，成等比數列，則的最大值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.18．（12分）已知數列中，，（）.（1）求證：是等比數列，并求的通項公式；（2）數列滿足，求數列的前項和為.19．（12分）已知數列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當時，過點的直線與的另一個交點為，與的另一個交點為，若恰好是的中點，求直線的方程.21．（12分）已知等差數列的前n項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）若，求k的值22．（10分）已知在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點F的位置；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出的值.【詳解】圓心為，半徑為，由題意得：，解得：或6.故選：B2、A【解析】利用導數運算法則求出，根據導數的定義即可得到結論【詳解】由題設，，所以，函數在x＝π處瞬時變化率為，故選：A3、C【解析】根據給定的頻率分布直方圖，結合直方圖的性質，逐項計算，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖，可得A中，得分在之間共有人，所以A正確；B中，從100名參賽者中隨機選取1人，其得分在中的概率為，所以B正確；D中，由頻率分布直方圖的性質，可得，解得，所以D正確.C中，前2個小矩形面積之和為0.4，前3個小矩形面積之和為0.7，所以中位數在[60，70]，這100名參賽者得分的中位數為，所以C不正確；故選：C.4、D【解析】根據等比數列的定義，結合等比數列的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以有，因此數列是公比的等比數列，因為，所以，故選：D5、B【解析】根據橢圓方程及其性質有，求解即可.【詳解】由題設，，整理得，可得.故選：B6、C【解析】由題設寫出雙曲線的方程,對比系數,求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設的方程為,所以,即設AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C7、D【解析】由，分兩步，當求出，當時得到，兩式作差即可求出數列的通項公式；【詳解】解：因為①，當時，，當時②，①②得，所以，當時也成立，所以；故選：D8、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.9、A【解析】根據系統(tǒng)抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A10、A【解析】求出雙曲線焦點坐標與漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得結果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點坐標為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點到漸近線的距離為.故選：A11、B【解析】當n為偶數時，展開式中第項二項式系數最大，當n為奇數時，展開式中第和項二項式系數最大.【詳解】因為只有一項二項式系數最大，所以n為偶數，故，得.故選：B12、B【解析】根據向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解析】根據題意列方程組求解即可【詳解】由題意得所以，，.故答案為：2414、【解析】根據題意可知，再利用裂項相消法，即可求出結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.15、【解析】對函數進行求導，把代入導函數中，化簡即可求出的值.【詳解】函數.故答案為：.16、【解析】由等比數列性質知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，，成等比數列，得，即又，則，所以，即，即所以，當且僅當時，等號成立，故的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.18、（1）（2）【解析】由已知式子變形可得是以為首項，為公比的等比數列，由等比數列的通項公式易得利用錯位相減法，得到數列的前項和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項，為公比的等比數列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點睛：本題主要考查數列的證明，錯位相減法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力，轉化能力和計算能力．第一問中將已知的遞推公式進行變形，轉化為的形式來證明，還可以根據等比數列的定義來證明；第二問，將第一問中得到的結論代入，先得到的表達式，利用錯位相減法，即可得到數列的前項和為19、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數、奇數兩種情況討論，結合并項求和法以及等比數列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數列是首項為，公比為的等比數列，，故；若選②，，所以，，且，故數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當為偶數時，；當為奇數時，.綜上所述，.20、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關系，在雙曲線中方程是非標準的方程，注意套公式時容易出錯.（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點的橫坐標，利用中點坐標公式即可解得斜率值.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因為，.【小問2詳解】當時,橢圓，雙曲線.當過點的直線斜率不存在時，點P,Q恰好重合，坐標為，所以不符合條件；當斜率存在時，設直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達定理得，所以由于是的中點，所以,所以，即，化簡得，所以直線方程為或.21、（1）（2）10【解析】(1)設等差數列的公差為d，利用已知建立方程組，解之可求得數列的通項公式；(2)利用等差數列的前項和公式，化簡即可求解.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為d，由已知，，得，解得，則；小問2詳解】解：由（1）得，則由，得或（舍去），所以的值為10.22、（1）證明見解析（2）點F為線段AC的中點【解析】（1）由平面幾何知識證得CE⊥BE，再根據面面垂直的性質，線面垂直的判定和性質可得證；（2）取BE的中點O，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，假設在線段AC上存在點F，設=λ，運用二面角的向量求解方法可求得，可得點F的位置.【小問1詳解】證明：因為在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小問2詳解】解：存在點F，F(xiàn)為線段AC的中點.由（1）得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形，取BE的中點O，則，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O為原