河北省張家口市涿鹿中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

河北省張家口市涿鹿中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交2．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.3．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或5．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確6．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.7．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.8．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.9．如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．若向量，，，則（）A. B.C. D.12．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列中，，，則_______.14．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________15．經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________16．在△ABC中，，AB=3，，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍18．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)x=2是函數(shù)f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）2020年3月20日，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》中確定了勞動教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗，開展服務(wù)性勞動、參加生產(chǎn)勞動，使學(xué)生熟練掌握一定勞動技能，理解勞動創(chuàng)造價值，具有勞動自立意識和主動服務(wù)他人、服務(wù)社會的情懷．我市某中學(xué)鼓勵學(xué)生暑假期間多參加社會公益勞動，在實踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識技能，服務(wù)他人和社會，強化社會責(zé)任感，為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動的情況，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計得到他們參加公益勞動的總時間均在15~65小時內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計這100名學(xué)生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)（同一組中的每一個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）學(xué)校要在參加公益勞動總時間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進(jìn)行感受交流，再從這5人中隨機抽取2人進(jìn)行感受分享，求這2人來自不同組的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B3、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故只需即可.故選：C4、D【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線的關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，漸近線為，故離心率為；當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，漸近線為，故離心率為；故選：D.5、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C6、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A7、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B8、C【解析】利用古典概型計算公式計算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C9、D【解析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，則為的中點，，則.故選：D10、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導(dǎo)數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當(dāng)時，取最小值-1，故，故選：D11、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A12、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計算得解.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)遞推公式一一計算即可；【詳解】解：因為，所以，，，故答案為：14、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：15、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：16、3【解析】計算得出，可得出，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】∵，，，∴故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)實數(shù)a的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)a≤0時，在(0，＋∞)上恒成立；當(dāng)a＞0時，令得；令得；綜上：a≤0時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點睛】關(guān)鍵點睛：運用常變量分離法利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18、（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；【解析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，即證，，又，所以即證，令，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：（1）因為，定義域為，所以，因為是函數(shù)的極值點，所以，所以，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以上單調(diào)遞增，綜上可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：依題意即證，即證，令，則，所以即證，因為，所以即證，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，所以，所以當(dāng)時，19、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值，∴k的取值范圍為20、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡即得切線的方程為：.【小問2詳解】，其定義域為，，∵，∴ax＋1＞0，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出值，求導(dǎo)后通過導(dǎo)數(shù)的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到過P點的切線方程，化簡后構(gòu)造m的函數(shù)，求新函數(shù)的極大值極小值即可.【小問1詳解】因為，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問2詳解】設(shè)曲線與過點，的切線相切于點，則切線的斜率為，所以切線方程為因為點，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.22、（1），；平均數(shù)為40.2；（2）【解析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因為，所以，所求平均數(shù)為（小時）所以估計這100名學(xué)生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動