2025屆云南省賓川縣數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆云南省賓川縣數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．如圖為學生做手工時畫的橢圓(其中網格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為，則（）A. B.C. D.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.4．直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.5．在數(shù)列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當?shù)捻?，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8206．如圖所示，正方形邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.16cm B.cmC.8cm D.cm7．已知向量，，，若，則實數(shù)（）A. B.C. D.8．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現(xiàn)從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45]歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲9．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.10．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測.把這批公務員按001到780進行編號，若054號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.52211．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.12．已知為等腰直角三角形的直角頂點，以為旋轉軸旋轉一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：，總有．則為______14．已知，用割線逼近切線的方法可以求得___________.15．在等差數(shù)列中，，公差，則_________16．已知，則曲線在點處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，點在線段上.（1）當直線與平面所成角最大時，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，說明理由.18．（12分）已知圓，直線的斜率為2，且過點（1）判斷與的位置關系；（2）若圓，求圓與圓的公共弦長19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積20．（12分）某公司從2020年初起生產某種高科技產品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關系式；.（2）若企業(yè)希望經過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.21．（12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，M是PB的中點，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.22．（10分）已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為求橢圓的標準方程；過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.2、D【解析】根據圖知分別得到橢圓、、的半長軸和半短軸，再由求解比較即可.【詳解】由圖知橢圓的半長軸和半短軸分別為：，橢圓的半長軸和半短軸分別為：，橢圓的半長軸和半短軸分別為：，所以，，，所以，故選：D3、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C4、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點關于直線對稱點的坐標為，進而根據題意得所求直線過點，，進而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點為設直線的點關于直線對稱點的坐標為，所以，解得所以直線關于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C5、C【解析】先根據等比數(shù)列的通項公式得到，列出數(shù)列的前6項，將其中是數(shù)列的項的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，所以，則由，得，即數(shù)列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列的項，3、27、243不是數(shù)列的項，且，所以數(shù)列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.6、A【解析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長度與關系，然后計算可得【詳解】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長為故選：A7、C【解析】先根據題意求出，然后再根據得出，最后通過計算得出結果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，即，解得.故選：.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算及向量垂直的相關性質，熟記運算法則即可，屬于常考題型.8、C【解析】先根據頻率分布直方圖中頻率之和為計算出數(shù)據位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據位于的頻率為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【點睛】本題考查頻率分布直方圖的性質和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算，計算時要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算原理來計算，考查計算能力，屬于中等題9、B【解析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從中任取個不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，屬于基礎題.10、D【解析】根據題意，求得組數(shù)與抽中編號的對應關系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測，故需要分為組，每組人，設第組抽中的編號為，設，由題可知：，故可得，故可得.當時，.故選：.11、A【解析】由三角形內角及正弦函數(shù)的性質判斷、的真假，應用換元法令，結合對勾函數(shù)的性質確定的值域即知、的真假，根據各選項復合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.12、B【解析】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，使得【解析】全稱命題改否定，首先把全稱量詞改成特稱量詞，然后把后面結論改否定即可.【詳解】解：因為命題，總有，所以的否定為：，使得故答案為，使得【點睛】本題考查了全稱命題的否定，全稱命題（特稱命題）改否定，首先把全稱量詞（特稱量詞）改成特稱量詞（全稱量詞），然后把后面結論改否定即可.14、【解析】根據導數(shù)的定義直接計算即可【詳解】因為，所以，故答案為：15、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1516、【解析】求導，得到，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程是，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當NH最小時線面角最大，因為當P為中點時，,此時NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時.【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設=，，，設平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點為A1B1的四等分點，且A1P=.18、（1）與相切；（2）【解析】（1）求出圓C的圓心坐標，半徑和直線l的方程，根據圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關系；（2）圓與圓的方程相減，可求出公共弦所在的直線方程，然后根據圓M的圓心到公共弦所在直線的距離及圓M的半徑即可求出公共弦長.【小問1詳解】由圓，可得，所以圓心為，半徑，直線的方程為，即因為圓心到的距離為，所以與相切【小問2詳解】聯(lián)立方程可得，作差可得，即，即公共弦所在直線的方程為易知圓的半徑，圓心到直線的距離為，則公共弦長19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉化為證明AB⊥平面PAC，然后結合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結合已知先確定點M位置，然后轉化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以20、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據題意直接得，，進而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.21、（1）證明見解析（2）2【解析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據錐體的體積公式計算可得；【詳解】（1）證明:因為是半圓的直徑，所以.因為平面，平面，所以，又因為平面，平面，且所以平面.（2）解:因為，，所以，.連接.因為、分別是，的中點，所以，.又平面.所以平面.因此為三棱錐的高.所以.【點睛】本題考查線面垂直的證明，錐體的體積的計算，屬于中檔題.22、（1）（2）【解析】根據，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．列出關于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當兩條直線斜率都存在時，設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出的長度的表達式，然后利用相應的代換可求出的長度表達式，將兩線段長度表達式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標準方程為；當兩條直線中有一條斜