3扭轉(zhuǎn)應(yīng)力及強(qiáng)度

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第五章剪切與扭轉(zhuǎn)第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力

要解決圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度問題，在求出橫截面上的扭矩后，還要知道應(yīng)力的分布情況，以便確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)。

本節(jié)將通過簡要的分析、研究，建立圓軸受扭時(shí)橫截面上的應(yīng)力公式。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

為觀察圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形，在圓軸表面畫上一些間距相等的縱線和圓周線，形成許多小的矩形網(wǎng)格，如圖a所示。(a)受扭后的變形如圖b所示。mm(b)

可觀察到如下現(xiàn)象：

(1)各圓周線的形狀、大小和間距都保持不變，僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)各縱向線都傾斜了相同的角度γ，且仍保持直線，原來矩形方格變成平行四邊形。γ

通過以上現(xiàn)象，可作出以下假設(shè)和推斷：

(1)平面假設(shè)

代表橫截面的圓周線，變形前后均保持平面，其形狀、大小都不改變，只是繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度；

(2)兩相鄰橫截面之間的距離也保持不變。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

為進(jìn)一步弄清圓軸橫截面上應(yīng)力的分布情況，用相鄰兩截面截取受扭圓軸一微段dx，如圖a所示。OγdφmTabdx(a)

由于橫截面的間距保持不變，未發(fā)生軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力；圓軸橫截面上的半徑Oa

，受扭后其位置轉(zhuǎn)至Ob

，同時(shí)產(chǎn)生切應(yīng)變

γ，且切應(yīng)變與點(diǎn)到圓心的距離成正比。由剪切胡克定律可以推測：切應(yīng)力也與點(diǎn)到圓心的距離成正比。

由以上分析可知：扭轉(zhuǎn)圓軸的橫截面上只存在切應(yīng)力，方向與半徑垂直，指向與截面的扭矩相一致，且呈線性分布。TOτmax(b)τmax分布規(guī)律如圖b所示。

據(jù)此，我們直接給出圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力的計(jì)算公式τρτ

=TρIP山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)IP

——τ

=TρIPTOτmaxτmaxτρR截面對(duì)圓心的極慣性矩，與圓截面的尺寸有關(guān)，單位為

mm4。

對(duì)于一個(gè)指定截面，扭矩T與極慣性矩IP

是定值，ρmax=R時(shí)，切應(yīng)力τ

取得最大值，即τmax=TRIP令WP=RIPτmax=WPT

式中WP與圓截面的尺寸有關(guān)，稱為抗扭截面系數(shù)，是反映圓軸抗扭的幾何量，單位為mm3。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)截面形狀實(shí)心圓形空心圓形有關(guān)尺寸DdD極慣性矩抗扭截面系數(shù)IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)α=d/D實(shí)心圓、空心圓的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例5-4

實(shí)心圓軸的直徑

d=40mm，傳遞扭矩

T=628Nm。試計(jì)算距離圓心

ρ

=15mm

處某點(diǎn)的切應(yīng)力以及截面上的最大切應(yīng)力。628Nmτmaxτρ1520O解(1)計(jì)算極慣性矩和抗扭截面系數(shù)IP=32πD4=32π×404(mm4)WP=16πD3=16π×403(mm3)(2)計(jì)算15mm點(diǎn)的切應(yīng)力。代入式(5-8)可得τ

=TρIP=×15628×103×32π×404=37.5()MPa(3)計(jì)算截面上的最大切應(yīng)力。代入式(5-10)可得τmax=WPT=×16628×103π×403=50()MPa山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)滿足：圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，即≤

[τ]

上式稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。τmax=WPT

應(yīng)用上式可以解決圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的三類強(qiáng)度問題，即進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核、圓軸截面設(shè)計(jì)及確定許用荷載。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例5-5

某傳動(dòng)軸橫截面上的最大扭矩T=1.5

kNm，材料的許用切應(yīng)力[τ]=50MPa。試求：(1)若用實(shí)心軸，確定其直徑D1

；0.9，確定其內(nèi)徑d和外徑D；(3)比較實(shí)心軸和空心軸的重量。(2)若改用空心軸，且a=解這屬于圓軸截面設(shè)計(jì)問題。由強(qiáng)度條件可得圓軸所需的抗扭截面系數(shù)為WP

≥T[τ]=1.5×10650=30000()mm3(1)確定實(shí)心軸的直徑D1。由Wp=πD13/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=53.5()mm取D1

=54mm(2)確定空心軸的外徑D和內(nèi)徑d。由Wp=πD3(1-a4)/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=76.0()mm(1-0.94)(1-

a4)d

=76×0.9=68.4(mm)取d

=?mm68山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)(3)比較兩軸的重量。重量比即面積比，即A空A實(shí)=-

682762=0.395542

上例表明：當(dāng)兩軸具有相同的承載能力時(shí)，空心軸比實(shí)心軸輕得多。選用空心軸既可節(jié)省材料，又能減輕自重。因?yàn)椴捎脤?shí)心軸時(shí)，只有橫截面邊緣處的切應(yīng)力達(dá)到許用切應(yīng)力，圓心附