廣東省2024屆高三下學(xué)期百日沖刺聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（一模） 數(shù)學(xué) 含解析

廣東省2024屆高三“百日沖刺”聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合，則（）A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B.C. D.5.已知點(diǎn)分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.四邊形可能是菱形B.四邊形一定是正方形C.四邊形不可能是直角梯形D.平面不一定與平面垂直6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足是偶函數(shù)，，若，則（）A202 B.204 C.206 D.208二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象先向右平移個(gè)單位，再把圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則 D.若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則11.將圓柱的下底面圓置于球的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（）A.可以取到中任意一個(gè)值B.C.的值可以是任意小的正數(shù)D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的系數(shù)為，則的值為______．13.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為______．14.已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若點(diǎn)在上（與不重合），且，求的值．16.如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．17.某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過(guò)大量后期出廠檢測(cè)發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯(cuò)檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏檢率時(shí)，求臨界值和錯(cuò)檢率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求解析式，并求在區(qū)間的最小值．18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)（與不重合），直線的斜率分別為，且．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若直線與圓相切，求直線的方程．19.已知函數(shù)．（1）判斷是否成立，并給出理由；（2）①證明：當(dāng)時(shí)，；②證明：當(dāng)時(shí)，．

廣東省2024屆高三“百日沖刺”聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，其?duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A.3.已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、期望和方差公式，結(jié)合充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若，則，得，故充分性滿足；若，則，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則或，故必要性不滿足.故選：A.4.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點(diǎn)到直線的距離.故選：B.5.已知點(diǎn)分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.四邊形可能是的菱形B.四邊形一定是正方形C.四邊形不可能是直角梯形D.平面不一定與平面垂直【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得到面，且四邊形有外接圓，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗睦忮F與四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)均為2，可得點(diǎn)在底面上的投影都是四邊形的外心，所以兩射影重合，即有面，且四邊形有外接圓，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形是的菱形時(shí)，此時(shí)四邊形沒有有外接圓，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，顯然滿足題意，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)橹苯翘菪螞]有外接圓，一定不合題意，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槊妫置?，所以平面，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件解出，，根據(jù)焦半徑的取值范圍即可解出離心率范圍，再結(jié)合橢圓離心率，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以有，故，，因?yàn)椋扔?，，解得，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.故選：7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用余弦的二倍角及積化和差公式，得到，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋玫?，又，所以，所以，故選：B8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足是偶函數(shù)，，若，則（）A.202 B.204 C.206 D.208【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，再根據(jù)條件得出，，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋寓?，即有②，由①②得到，所以函?shù)的周期為，又是偶函數(shù)，所以，得到，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，得到，，，又，所以，故，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象先向右平移個(gè)單位，再把圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由圖像可知：，周期，從而利用周期公式可求出的值，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出的值，從而可得函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由圖像可知：，周期，∴；由解得：故函數(shù)對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào)．故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得到，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，可得的圖象，故D正確．故選：ABD10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則 D.若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)拋物線和直線方程可知直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，利用焦半徑公式可知可判斷A錯(cuò)誤；聯(lián)立直線和拋物線方程利用向量數(shù)量積公式可知，恒成立，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)可知A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，解得其交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，即C正確；由直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，可知，利用韋達(dá)定理聯(lián)立方程即可求出，即D正確.【詳解】由題意可知，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線恒過(guò)，如下圖所示：設(shè)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可知，，易知，所以，但當(dāng)時(shí)，此時(shí)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此，所以，即A錯(cuò)誤；聯(lián)立直線和拋物線方程得；所以，，此時(shí)，所以，即，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)誤；若AF＝2FB，由幾何關(guān)系可得，結(jié)合，可得或，即或，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得，所以C正確；若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則，即，整理得，代入，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，A與P點(diǎn)重合，不符合題意，所以；即D正確.故選：CD11.將圓柱的下底面圓置于球的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（）A.可以取到中任意一個(gè)值B.C.的值可以是任意小的正數(shù)D.【答案】BD【解析】【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】過(guò)R作圓柱的軸截面，過(guò)O作交圓柱軸截面的邊于M，N，由與圓柱下底面所成的角為，則，所以，即，故B正確；當(dāng)點(diǎn)P，Q均在球面上時(shí)，角取得最小值，此時(shí)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；令，所以，所以，另，解得兩根，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，故D正確，C錯(cuò)誤；故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，難度較大，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的系數(shù)為，則的值為______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，可知展開式中含的項(xiàng)為，則展開式中的系數(shù)為，解得.故答案為：1.13.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為______．【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列通項(xiàng)公式為，所以，，所以由，得數(shù)列是等差數(shù)列；所以數(shù)列的前100項(xiàng)的和為故答案為：.14.已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】分析可得，設(shè)，，可得出，可設(shè)，可得出向量的坐標(biāo)，設(shè)，可得出、所滿足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，即，可得，設(shè)，，則，則，設(shè)，則，因?yàn)?，，則或，因?yàn)?，則或，令，則或，根據(jù)對(duì)稱性，可只考慮，由，記點(diǎn)、、，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若點(diǎn)在上（與不重合），且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題設(shè)得到，進(jìn)而可求得，，再利用，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，得到，又，所以，又三角形為銳角三角形，所以，得到，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，則，所以，由（1）知，，則，，則，又，所以.16.如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及矩形和正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的中位線定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與二面角的夾角的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接,則與交于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)，則與交于點(diǎn),在正四棱柱中，，所以是矩形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸钦叫?所以為的中點(diǎn),則為的中位線，所以.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，取，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，取，則，所以.設(shè)平面與平面夾角為，則故平面與平面夾角的余弦值為.17.某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗(yàn)組經(jīng)過(guò)大量后期出廠檢測(cè)發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標(biāo)有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯(cuò)檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏檢率時(shí)，求臨界值和錯(cuò)檢率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布直方圖求得，進(jìn)而可求容錯(cuò)率；（2）分、兩種情況，根據(jù)題意求，即可得的解析式，并根據(jù)解析式求最值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：第一個(gè)圖中第一個(gè)矩形面積為，可知，可得，解得，所以錯(cuò)檢率.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得；當(dāng)時(shí)，則，，可得；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)（與不重合），直線的斜率分別為，且．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線，且與雙曲線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用點(diǎn)差法求得的關(guān)系，再利用雙曲線的定義即可得解；（2）先利用直線與圓相切得到的關(guān)系，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程，推得，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于