3.7 圓錐的體積（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)六年級下冊同步培優(yōu)講義（人教版）

3.7圓錐的體積第一部分第一部分學(xué)問清單其次部分其次部分典型例題例1：一個圓錐的高縮小到原來的，底面半徑擴大到原來的3倍，則體積（

）。A．不變 B．?dāng)U大到原來的3倍 C．縮小到原來的 D．?dāng)U大到原來的9倍答案：B分析：依據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，以及積的變化規(guī)律：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘（或除以）幾”可知：一個圓錐的高縮小到原來的，則體積除以3；底面半徑擴大到原來的3倍，即底面積擴大到原來的3×3＝9倍，則體積乘9；最終圓錐的體積÷3×9，體積擴大到原來的3倍，據(jù)此舉例說明。詳解：設(shè)原來圓錐的底面半徑是1，高是3；原來圓錐的體積：×π×12×3＝π現(xiàn)在圓錐的底面半徑是：1×3＝3現(xiàn)在圓錐的高是：3÷3＝1現(xiàn)在圓錐的體積：×π×32×1＝×π×9×1＝3π3π÷π＝3即體積擴大到原來的3倍。故答案為：B例2：一根體積為120立方分米的圓柱體木料，要把它削成最大的圓錐，需要削去（

）立方分米的木料。A．40 B．60 C．80答案：C分析：削成最大的圓錐的體積應(yīng)是圓柱體積的，把圓柱的體積看作單位“1”，削去的部分是圓柱體積的（），要求需要削去多少立方分米，也就是求120的（）是多少，用120乘（）計算，據(jù)此解答。詳解：（立方分米）因此要削成最大的圓錐，需要削去80立方分米的木料。故答案為：C例3：如圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，且水面半徑也正好是圓錐底面半徑的一半，則這個容器還能裝水()升。答案：35分析：圓錐體積＝，當(dāng)裝有5升水時，高度是，水面形成圓的半徑是，此時水的體積＝，用圓錐體積÷水的體積×5升，得到的結(jié)果再減去5升即可。據(jù)此解答。詳解：＝＝＝（）÷（）×5＝（）÷（）÷×5＝1÷×5＝1×8×5＝40（升）圓錐體總共能裝40升水。40－5＝35（升）即，這個容器還能裝35升水。例4：如圖，一個立體圖形從正面看到的圖形是A，從上面看到的圖形是B，這個立體圖形的體積是()立方厘米；假如用一個長方體盒子包裝它，這個盒子的容積至少是()立方厘米。答案：12.5648分析：（1）依據(jù)圖片分析，此物體是圓錐體，它的底面是半徑為2厘米的圓，高為3厘米。依據(jù)圓錐體積＝，代入數(shù)據(jù)計算即可。（2）長方體體積＝長×寬×高，要用一個長方體盒子包裝它，圓錐豎直放的時候長方體的長寬跟圓的直徑長度一樣為2×2＝4厘米，高度為圓錐的高度3厘米，求出此時長方體體積即可。詳解：（1）＝＝3.14×＝3.14×4＝12.56（立方厘米）（2）長方體體積；（2×2）×（2×2）×3＝4×4×3＝16×3＝48（立方厘米）長方體體積48立方厘米，則它的容積為48立方厘米。即，一個立體圖形從正面看到的圖形是A，從上面看到的圖形是B，這個立體圖形的體積是12.56立方厘米；假如用一個長方體盒子包裝它，這個盒子的容積至少是48立方厘米。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．一個四柱形杯子的容積為36升，盛滿水后，把一個與它等底等高的實心圓錐倒放入杯中，杯中還有（

）升水。A．12 B．18 C．24 D．302．一個圓錐和一個圓柱的體積比是，底面積比是，假如圓錐的高是18厘米，那么圓柱的高是（

）厘米。A．20 B．15 C．10 D．53．36個鐵圓錐，可以熔鑄成等底等高的圓柱的個數(shù)是（

）。A．18個 B．12個 C．48個 D．108個4．一個圓錐的底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，它的體積就擴大到原來的（

）倍。A．3 B．6 C．9 D．125．如圖，瓶子的底面積和圓錐形杯口的面積相等，將瓶子中的液體倒入圓錐形杯子中，能倒?jié)M（

）杯。A．6 B．4 C．3 D．2二、填空題6．把一塊底面積是6.28平方厘米，高是12厘米的圓錐形鋼坯，鑄造成一塊圓柱形鋼坯，鑄造成的圓柱形鋼坯的底面半徑是2厘米，則它的高是()厘米。7．下圖的下邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，形成的圖形是()，新圖形的體積是()。8．一個直角三角形，兩條直角邊分別是5厘米和6厘米，將該直角三角形以較短的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個()體，它的體積是()立方厘米。9．一個圓柱和一個圓錐體積相等，底面積也相等，若圓錐的高是72厘米，則圓柱的高為()厘米；若圓柱的高是72厘米，則圓錐的高是()厘米。10．一個圓錐的體積是6.28m3，底面半徑是2m，它的高是()dm。三、推斷題11．一個圓錐的底面半徑和高都是3cm，它的體積是28.26cm3。()12．一個直角三角形的兩條直角邊的長分別為3cm，4cm，分別以兩條直角邊為軸將這個三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個圓錐的體積相等。()13．一個圓柱與一個圓錐的高相等，若底面積的比是2∶3，則體積的比也是2∶3。()14．若圓錐的體積等于圓柱體積的，則圓錐和圓柱肯定等底等高。()15．把一段圓柱形的木材削成一個最大的圓錐，削掉的部分是18dm，圓柱形木材的體積是27dm。()：培優(yōu)提升練四、計算題16．求下面立體圖形的體積。（單位：cm）（1）

（2）五、解答題17．修一條8米寬的大路，要鋪15厘米厚的碎石作為路基。一個圓錐形的碎石堆，底面周長是18.84米，高2米，能鋪多少米長的路基？18．一堆煤呈圓錐形，高3米，底面周長為12.56米，已知每立方米的煤約重1.5噸，這堆煤大約重多少噸？19．一個圓錐形沙堆，其底面積是9平方米，高2米。將這堆沙鋪在長30米寬4米的路面上，能鋪幾厘米厚？20．一堆煤堆成圓錐形，底面半徑是4.2米，高是5米，假如每立方米的煤的質(zhì)量約為1.4噸，這堆煤約有多少噸？（結(jié)果保留整數(shù)）21．小芳家收獲的稻谷堆成了圓錐形，高約為1.5米，底面直徑約為4米。她通過“百度一下”查得每立方米稻谷大約重650千克，她家這堆稻谷大約重多少千克？22．在一個直徑是30厘米的圓柱形容器里，放入一個底面半徑為6厘米的圓錐形鐵塊，全部浸沒在水中，這時水面上升0.4厘米（無水溢出）。圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

1．C分析：由條件“一個與它等底等高的圓錐”可知，圓錐的體積是圓柱體積的，也就是36升的；把圓錐倒放入水中后會排出與它等體積的水，所以杯中剩下的水的體積就是圓柱體積的（1－），也就是36升的（1－），可用乘法列式求得。詳解：36×（1－）＝36×＝24（升）則杯中還有24升水。故答案為：C2．D分析：由題意可知，一個圓錐和一個圓柱的體積比是，底面積比是，則假設(shè)圓錐的體積為4，底面積為2；圓柱的體積為5，底面積為3，依據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，圓錐的體積公式：V＝Sh，據(jù)此求出圓柱和圓錐的高，進而求出圓錐和圓柱的高的比，又由于圓錐的高是18厘米，據(jù)此求出1份表示的長度，進而求出圓柱的高。詳解：圓錐的高：3×4÷2＝12÷2＝6圓柱的高：5÷3＝6∶＝（6×3）∶（×3）＝18∶518÷18×5＝1×5＝5（厘米）則圓柱的高是5厘米。故答案為：D3．B分析：圓柱的體積是與它等底等高的圓錐的體積的3倍，即要3個這樣的圓錐才能熔鑄成1個等底等高的圓柱，故36里面有幾個3就有幾個這樣的圓柱，據(jù)此得解。詳解：36÷3＝12（個）故答案為：B4．C分析：圓錐體積=，其中r表示底面半徑，h表示圓錐的高；它的底面半徑擴大3倍，高不變，體積就擴大半徑的9倍，據(jù)此可得出答案。詳解：圓錐體積=，底面半徑擴大到原來的3倍，高不變，體積變?yōu)椋?，即它的體積擴大到原來的9倍。故答案為：C5．A分析：依據(jù)題意知道瓶底的面積和錐形杯口的面積相等，設(shè)瓶底的面積為S，瓶子內(nèi)水的高度為2h，則錐形杯子的高度為h，先依據(jù)圓柱的體積公式V＝Sh，求出圓柱形瓶內(nèi)水的體積，再依據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh，算出圓錐形杯子的體積，最終用除法解答即可得出答案。詳解：圓柱形瓶內(nèi)水的體積：S×2h＝2Sh圓錐形杯子的體積：Sh倒?jié)M杯子的杯數(shù)：2Sh÷Sh＝6（杯）即瓶子的底面積和圓錐形杯口的面積相等，將瓶子中的液體倒入圓錐形杯子中，能倒?jié)M6杯。故答案為：A6．2分析：由題意可知：把圓錐形鋼坯鍛造成圓柱形零件體積不變，首先依據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式求出鋼坯的體積，然后依據(jù)圓柱的底面積S＝πr2，求出圓柱的底面積，最終用鋼坯的體積除以圓柱的底面積即可求出圓柱的高。詳解：6.28×12×＝75.36×＝25.12（立方厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）25.12÷12.56＝2（厘米）圓柱的高是2厘米。7．圓錐18.84cm3/18.84立方厘米分析：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。下邊為軸，圓錐的底面半徑3cm，高2cm，依據(jù)圓錐體積＝底面積×高÷3，列式計算即可。詳解：3.14×32×2÷3＝3.14×9×2÷3＝18.84（cm3）形成的圖形是圓錐，新圖形的體積是18.84cm3。8．圓錐188.4分析：由題意可知，以直角三角形較短的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個底面半徑為6厘米，高為5厘米的圓錐體，依據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此進行計算即可。詳解：一個直角三角形，兩條直角邊分別是5厘米和6厘米，將該直角三角形以較短的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個圓柱體；×3.14×62×5＝×3.14×36×5＝×36×3.14×5＝12×3.14×5＝37.68×5＝188.4（立方厘米）則它的體積是188.4立方厘米。9．24216分析：圓柱體積＝底面積×高，圓錐體積＝底面積×高÷3，等體積等底面積的圓柱和圓錐，圓錐的高是圓柱高的3倍，直接用圓錐的高÷3＝圓柱的高；圓柱的高×3＝圓錐的高，據(jù)此列式計算。詳解：72÷3＝24（厘米）72×3＝216（厘米）一個圓柱和一個圓錐體積相等，底面積也相等，若圓錐的高是72厘米，則圓柱的高為24厘米；若圓柱的高是72厘米，則圓錐的高是216厘米。10．15分析：由圓錐的體積公式可知：。把圓錐的體積、底面半徑的數(shù)值代入計算即可求出圓錐的高是1.5m，再把1.5m換算成15dm。詳解：6.28÷÷（3.14×22）＝6.28×3÷（3.14×4）＝18.84÷12.56＝1.5（m）1.5m＝15dm所以，它的高是15dm。11．√分析：依據(jù)公式：圓錐的體積＝πr2h，將數(shù)據(jù)代入公式，計算出圓錐的體積再推斷。詳解：3×3×3.14×3×＝3×3×3.14×（3×）＝9×3.14＝28.26（cm3）一個圓錐的底面半徑和高都是3cm，它的體積是28.26cm3；原題說法正確。故答案為：√點睛：此題考查了圓錐的體積計算，關(guān)鍵熟記公式。12．×分析：若以3cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成一個底面半徑為4cm，高為3cm的圓錐；若以4cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成一個底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐，再依據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，據(jù)此進行計算求出兩個圓錐的體積，再進行對比即可。詳解：若以3cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成一個底面半徑為4cm，高為3cm的圓錐。×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝×3×3.14×16＝1×3.14×16＝3.14×16＝50.24（cm3）若以4cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成一個底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐?！?.14×32×4＝×3.14×9×4＝×9×3.14×4＝3×3.14×4＝9.42×4＝37.68（cm3）則分別以兩條直角邊為軸將這個三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個圓錐的體積不相等。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查圓錐的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。13．×分析：已知圓柱和圓錐的高相等，它們的底面積比為2∶3，假設(shè)圓柱的和圓錐的高都為1，圓柱的底面積是2，圓錐的底面積是3；依據(jù)圓柱的體積計算公式“V＝Sh”、圓錐的體積計算公式“V＝Sh”，代入數(shù)據(jù)求解圓柱和圓錐的體積，再寫出它們的比即可。詳解：假設(shè)圓柱的和圓錐的高都為1，圓柱的底面積是2，圓錐的底面積是3；圓柱的體積：1×2＝2圓錐的體積：1×3×＝1則圓柱和圓錐的體積比是2∶1，原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查了圓柱、圓錐的體積公式以及比的應(yīng)用。14．×分析：假設(shè)圓錐的底面半徑是1厘米，高9厘米；圓柱的底面半徑是3厘米，高是1厘米，依據(jù)圓錐和圓柱的體積公式，分別算出圓錐的體積：3.14×12×9×＝9.42（立方厘米），圓柱的體積：3.14×32×1＝28.26（立方厘米），9.42÷28.26＝，即可得出圓錐的體積等于圓柱體積的，但是圓錐和圓柱不肯定等底等高，據(jù)此推斷。詳解：假設(shè)圓錐的底面半徑是1厘米，高9厘米；圓柱的底面半徑是3厘米，高是1厘米，則：圓錐的體積：3.14×12×9×＝3.14×9×＝28.26×＝9.42（立方厘米）圓柱的體積：3.14×32×1＝3.14×9＝28.26（立方厘米）9.42÷28.26＝因此圓錐的體積等于圓柱體積的，則圓錐和圓柱不肯定等底等高。故答案為：×點睛：理解并把握等底等高圓柱與圓錐體之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。15．√分析：把一個圓柱體木料削成一個最大的圓錐體，也就是削成的圓錐與圓柱等底等高，依據(jù)等底等高的圓錐體積是圓柱體積的，得出削去部分的體積是圓柱的（1－），則對應(yīng)的數(shù)量是18dm，由此利用分?jǐn)?shù)除法的意義即可解答。詳解：＝27（dm）所以，圓柱形木材的體積是27dm。原題說法正確。故答案為：√點睛：解答此題的關(guān)鍵是知道把一段圓柱體切削成一個最大的圓錐，得出削成的圓錐與圓柱的關(guān)系，進而得出削去部分的體積與圓柱的關(guān)系。16．（1）100.48cm3；（2）235.5cm3分析：（1）依據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計算即可求解；（2）組合圖形的體積＝圓柱的體積＋圓錐的體積，依據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計算求解。詳解：（1）×3.14×（8÷2）2×6＝×3.14×16×6＝100.48（cm3）圓錐的體積是100.48cm3。（2）3.14×（6÷2）2×6＋×3.14×（6÷2）2×7＝3.14×9×6＋×3.14×9×7＝169.56＋65.94＝235.5（cm3）圖形的體積是235.5cm3。17．15.7米分析：已知圓錐形碎石堆的底面周長是18.84米，依據(jù)圓的周長公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圓錐的底面半徑；再依據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，求出碎石堆的體積；要把這個碎石堆鋪在一條寬8米、厚15厘米的大路上，那么碎石堆的體積不變；依據(jù)長方體的體積＝長×寬×高可知，長方體的長＝體積÷寬÷高，據(jù)此求出能鋪路基的長度。留意單位的換算：1米＝100厘米。詳解：15厘米＝0.15米圓錐的底面半徑：18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（米）碎石堆的體積：×3.14×32×2＝×3.14×9×2＝18.84（立方米）路基的長度：18.84÷8÷0.15＝2.355÷0.15＝15.7（米）答：能鋪15.7米長的路基。18．18.84噸分析：此題需要先利用圓的周長公式求出這堆煤的底面半徑，再利用圓錐的體積V＝Sh，求出這堆煤的體積，進而用這堆煤的體積乘每立方米的煤的重量，就是這堆煤的總重量。詳解：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（米）3.14×22×3××1.5＝3.14×4×3××1.5＝12.56×3××1.5＝