湖北省云學名校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試題含答案

2024年湖北云學名校聯(lián)盟高二年級10月聯(lián)考數(shù)學試卷命題學校：武漢二中命題人：考試時間：2024年10月15日15：00-17：00時長：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，的虛部為（）A. B. C. D.12.已知一組數(shù)據(jù)：2，5，7，，10平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.53.直線：，：，若，則實數(shù)值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或14.為了測量河對岸一古樹高度的問題（如圖），某同學選取與樹底在同一水平面內的兩個觀測點與，測得，，，并在點處測得樹頂?shù)难鼋菫?，則樹高約為（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m5.如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，那么點P(a，b)與圓的位置關系是()A.P在圓外B.P圓上C.P在圓內D.P與圓的位置關系不確定6.在棱長為的正四面體中，點與滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.7.下列命題中正確的是（）A.，則；B若點、、、共面，點、、、共面，則點、、、、共面；C.若，則事件與事件是對立事件；D.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為；8.動點在棱長為3的正方體側面上，滿足，則點的軌跡長度為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在平面直角坐標系中，下列說法正確的是（）A.若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為；B.已知，，若直線：與線段有公共點，則；C.過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為；D.若圓上恰有3個點到直線的距離等于1，則．10.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點，點是線段上動點，則下列說法正確的是（）A.；B.當是靠近的三等分點時，，，共面；C.當時，；D.的最小值為．11.已知是圓：內一點，其中，經(jīng)過點的動直線與交于，兩點，若AB的最小值為4，則（）A.；B.若AB=4，則直線的傾斜角為；C.存在直線使得；D.記與的面積分別為，，則的最大值為8．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.實數(shù)、滿足，則的最大值是______．13.記的三個內角，，的對邊分別為，，，已知，其中，若的面積，，且，則的長為______．14.如圖，已知四面體的體積為，，分別為，的中點，、分別在、上，且、是靠近的三等分點，則多面體的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在對某高中1500名高二年級學生的百米成績的調查中，采用按學生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這1500名高二年級學生中男生有900人，且抽取的樣本中男生成績的平均數(shù)和方差分別為13.2秒和13.36，女生成績的平均數(shù)和方差分別為15.2秒和17.56．（1）求抽取的總樣本的平均數(shù)；（2）試估計高二年級全體學生的百米成績的方差．16.在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，的角平分線所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為．（1）求點的坐標；（2）求直線的方程．17.直三棱柱中，，其中分別為棱的中點，已知，（1）求證：；（2）設平面與平面的交線為直線，求直線與直線所成角的余弦值．18.已知圓：，過直線：上的動點作圓的切線，切點分別為，．（1）當時，求出點的坐標；（2）經(jīng)過，，三點的圓是否過定點？若是，求出所有定點的坐標；（3）求線段的中點的軌跡方程．19.四棱錐中，底面為等腰梯形，，側面為正三角形；（1）當時，線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（2）當與平面所成角最大時，求三棱錐的外接球的體積．2024年湖北云學名校聯(lián)盟高二年級10月聯(lián)考數(shù)學試卷命題學校：武漢二中命題人：考試時間：2024年10月15日15：00-17：00時長：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)乘方、乘法、除法運算法則結合復數(shù)的概念運算即可得出結果.【詳解】根據(jù)復數(shù)的乘方可知，則，其虛部為.故選：C2.已知一組數(shù)據(jù)：2，5，7，，10的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.5【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平均數(shù)求的值，然后將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的概念求值.【詳解】因為.所以數(shù)據(jù)為：2，5，6，7，10.又因為，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為：.故選：B3.直線：，：，若，則實數(shù)的值為（）A0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.【詳解】因為：，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當或時，.故選：.4.為了測量河對岸一古樹高度的問題（如圖），某同學選取與樹底在同一水平面內的兩個觀測點與，測得，，，并在點處測得樹頂?shù)难鼋菫?，則樹高約為（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m【答案】D【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.【詳解】在中，，，所以，又，由正弦定理得：.在中，.故選：D5.如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，那么點P(a，b)與圓的位置關系是()A.P在圓外B.P在圓上C.P在圓內D.P與圓的位置關系不確定【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，所以點在圓外考點：1．直線與圓的位置關系；2．點與圓的位置關系6.在棱長為的正四面體中，點與滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為基底，表示出，利用空間向量的數(shù)量積求模.【詳解】如圖：以為基底，則，，所以.因為.所以.所以.故選：D7.下列命題中正確的是（）A.，則；B.若點、、、共面，點、、、共面，則點、、、、共面；C.若，則事件與事件是對立事件；D.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為；【答案】D【解析】【分析】舉反例說明ABC不成立，根據(jù)古典概型的算法判斷D是正確的.【詳解】對A：若，，則，但不成立，故A錯誤；對B：如圖：四面體中，是棱上一點，則點、、、共面，點、、、共面，但點、、、、不共面，故B錯誤；對C：擲1枚骰子，即事件：點數(shù)為奇數(shù)，事件：點數(shù)不大于3，則，，，但事件、不互斥，也不對立，故C錯誤；對D：從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，有種選法，這三條線段能構成一個三角形的的選法有：，，共3種，所以條線段能構成一個三角形的的概率為：，故D正確.故選：D8.動點在棱長為3的正方體側面上，滿足，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合圖形，計算出，由點平面，得出點的軌跡為圓弧，利用弧長公式計算即得.【詳解】如圖，易得平面,因平面，則，不妨設，則,，解得，又點平面，故點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓弧,故其長度為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在平面直角坐標系中，下列說法正確的是（）A.若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為；B.已知，，若直線：與線段有公共點，則；C.過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為；D.若圓上恰有3個點到直線的距離等于1，則．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線是否存在斜率判斷A的真假；數(shù)形結合求的取值范圍判斷B的真假；根據(jù)截距的概念判斷真假；轉化為點（圓心）到直線的距離求判斷D的真假.【詳解】對A：“若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為”成立的前提是兩條直線的斜率都存在且不為0，若兩條直線1條不存在斜率，另一條斜率為0，它們也垂直.故A是錯誤的.對B：如圖：對直線：，表示過點，且斜率為的直線，且，，由直線與線段有公共點，所以：或，即或，進而得：.故B正確；對C：過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為或，故C錯誤；對D：“圓上恰有3個點到直線的距離等于1”可轉化為“圓心1,0到直線的距離等于1”.由.故D正確.故選：BD10.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點，點是線段上動點，則下列說法正確的是（）A.；B.當是靠近的三等分點時，，，共面；C.當時，；D.的最小值為．【答案】BCD【解析】【分析】以為基底，表示出相關向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關運算可判斷CD的真假.【詳解】以為基底，則，，,.對A：因為.所以，故A錯誤；對B：當是靠近的三等分點，即時，，又，所以.故，，共面.故B正確；對C：因為，所以：，所以，故，故C正確；對D：設，.因為：.所以，.當時，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD11.已知是圓：內一點，其中，經(jīng)過點的動直線與交于，兩點，若AB的最小值為4，則（）A.；B.若AB=4，則直線的傾斜角為；C.存在直線使得；D.記與的面積分別為，，則的最大值為8．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點在圓內，列不等式，可求的取值范圍，在根據(jù)弦AB的最小值為4求的值，判斷A的真假；明確圓的圓心和半徑，根據(jù)，可求直線的斜率，進而求直線的傾斜角，判斷B的真假；利用圓心到直線的距離，確定弦長的取值范圍，可判斷C的真假；由三角形面積公式和相交弦定理，可求的最大值，判斷D的真假.【詳解】對A：由.此時圓：.因為過點的弦AB的最小值為4，所以，又，由.故A正確；對B：因為，，所以直線的斜率為，其傾斜角為，故B錯誤；對C：當AB=4，，所以，所以為銳角，又隨著直線斜率的變化，最大可以為平角，所以存在直線使得.故C正確；對D：如圖：直線與圓交于、兩點，鏈接，，因為，，所以.所以.又，，且.所以，當且僅當，即時取“”.故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：在求的最大值時，應該先結合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出為定值，再結合三角形的面積公式求的最大值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.實數(shù)、滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何意義為圓上的點與距離的平方，找出圓上的與的最大值，再平方即可求解.【詳解】解：由題意知：設，，則為圓上的點，圓的圓心O0,0,半徑，則表示圓上的點與距離的平方，又因為,所以；故的最大值是.故答案為：.13.記的三個內角，，的對邊分別為，，，已知，其中，若的面積，，且，則的長為______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理對化簡，可得，再由三角形面積公式求出，根據(jù)題意寫出，等式兩邊平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的長.【詳解】,由正弦定理可得:，，，,，即,，,得，∵，∴，，即，由，解得或，根據(jù)余弦定理，當時，，此時，不滿足題意，當時，.故答案為：.14.如圖，已知四面體的體積為，，分別為，的中點，、分別在、上，且、是靠近的三等分點，則多面體的體積為______．【答案】##【解析】【分析】多面體的體積為三棱錐與四棱錐的體積之和，根據(jù)體積之比與底面積之比高之比的關系求解即可.【詳解】連接，，因為為AD上的靠近的三分點，所以，因為為AB的中點，所以點到AD的距離為點到AD的距離的一半，所以，又為CD上靠近的三分點，所以點到平面的距離為點到平面的距離的13，所以，，所以，所以多面體的體積為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：將多面體轉化為兩個錐體的體積之和，通過體積之比與底面積之比高之比的關系求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在對某高中1500名高二年級學生的百米成績的調查中，采用按學生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這1500名高二年級學生中男生有900人，且抽取的樣本中男生成績的平均數(shù)和方差分別為13.2秒和13.36，女生成績的平均數(shù)和方差分別為15.2秒和17.56．（1）求抽取的總樣本的平均數(shù)；（2）試估計高二年級全體學生的百米成績的方差．【答案】（1）14（2）16【解析】【分析】（1）先確定樣本中男生、女生的人數(shù)，再求總樣本的平均數(shù).（2）根據(jù)方差的概念，計算總樣本的方差.【小問1詳解】樣本中男生的人數(shù)為：；女生的人數(shù)為：.所以總樣本的平均數(shù)為：.【小問2詳解】記總樣本的方差為，則.所以，估計高二年級全體學生的百米成績的方差為16.16.在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，的角平分線所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為．（1）求點的坐標；（2）求直線的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設，則，代入，求解即可；（2）設直線的方程為：，在直線取點，利用點到直線的距離等于點到直線的距離，求解即可.【小問1詳解】解：由題意可知點在直線上，所以設，所以中點，又因為點在直線上，所以，解得，所以；【小問2詳解】解：因為，設直線的方程為：，又因為，所以直線的方程為：，又因為的角平分線所在的直線方程為，在直線取點，則點到直線的距離等于點到直線的距離，即有，整理得，解得：或，當時，所求方程即為直線的方程，所以，所以直線的方程為：.17.直三棱柱中，，其中分別為棱的中點，已知，（1）求證：；（2）設平面與平面的交線為直線，求直線與直線所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接證得四邊形為平行四邊形，得到，利用，證得，得到，即可證得；（2）根據(jù)題意，證得平面，得到，以A為原點，建立空間直角坐標系，求得，再取的中點，延長交于點，得到直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，求得，得到，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為的中點，可得，且，又因為，且，所以，且，所以四邊形平行四邊形，所以，在正方形中，可得，所以，因為，所以，中，可得，所以，又因為，所以.【小問2詳解】解：在直三棱柱中，可得平面，因為平面，所以，又因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以，即直三棱柱的底面為等腰直角三角形，以A為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，則，取的中點，連接，可得且，因為且，所以，且，延長交于點，可得為的中點，連接，可得即為平面與平面的交線，所以直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，又由，設，可得，即，可得，所以，可得，設直線與直線所成角為，可得，即直線與直線所成角的余弦值為.18.已知圓：，過直線：上的動點作圓的切線，切點分別為，．（1）當時，求出點的坐標；（2）經(jīng)過，，三點的圓是否過定點？若是，求出所有定點的坐標；（3）求線段的中點的軌跡方程．【答案】（1）或（2）過定點或（3）【解析】【分析】（1）點在直線上，設，由對稱性可知，可得，從而可得點坐標．（2）的中點，因為是圓的切線，進而可知經(jīng)過C，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MC為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到結果；（3）結合（2）將兩圓方程相減可得直線的方程，且得直線過定點，由幾何性質得，即點N在以為直徑的圓上，進而可得結果.【小問1詳解】（1）直線的方程為，點在直線上，設，因為，由對稱性可得：由對稱性可知，由題所以，所以，解之得：故所求點的坐標為或．【小問2詳解】設，則的