全等三角形判定全

全等三角形判定（一）

復(fù)習(xí)：

1.什么樣的兩個(gè)三角形是全等三角形？

2.已知三角形的六個(gè)元素中的哪幾個(gè)元素，就可以確定三角形的形狀和大小?1、三條邊。（SSS）2、兩角及任意一邊。3、兩邊及其夾角。（SAS）

邊角邊定理：在兩個(gè)三角形中,如果有兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)為SAS）全等三角形判定方法1：

邊角邊公理：

在△ABC和△A’B’C’中則ABCD證明：在△ACB與△ADB中,AC=AD（已知）∠CAB=∠DAB（已知）

AB=AB（公共邊）

∴△ACB≌△ADB（SAS）例1已知：AC=AD，∠CAB=∠DAB求證：△ACB≌△ADB

在利用全等三角形判定定理1（SAS）證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，應(yīng)注意：①

指明在哪兩個(gè)三角形中。②

按一定順序?qū)懗鋈齻€(gè)全等條件。③

寫(xiě)結(jié)論及每個(gè)步驟的理論根據(jù)。在寫(xiě)結(jié)論時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。例2已知：AD∥BC,AD=CB求證：△ADC≌△CBAC

ABD證明：∵AD∥BC（已知）∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在△ADC和△CBA中，

∠1=∠2（已證）

AC=CA（公共邊）

∴△ADC≌△CBA（SAS）AD=CB（已知） 創(chuàng)造條件證明全等12

ABDC變式已知：AD//BC，AD=BC，AF=CE。求證：△ADE≌△CBFACBDEF證明：∵AD//BC(以知)∴∠A=∠C(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AF=CE(以知)∴AF+FE=CE+FE

即:AE=FC

在△ADE和△BCF中

AD=CB(已知)∠A=∠C(已證)AE=FC(已證)

則△ADE≌△CBF(SAS)

ACBDEF

利用“邊角邊SAS”定理證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須具備三個(gè)條件，缺一不可.注意:公共邊,公共角和對(duì)頂角,往往是從圖中得到的.EABDC練習(xí):如圖,已知AC⊥BD,BC=CE,CA=CD說(shuō)明(1)△ABC≌△DEC的理由;(2)AB=DE的理由.練習(xí)已知：AB=ACAD=AE,∠1=∠2求證：△ABD≌△ACE

ACBED12例3已知：BE⊥ACCF⊥AB

且BP=ACCQ=AB求證：AQ⊥AP

分析：∠1=∠2（等角的余角相等）∴△APB≌△QAC

2、

三個(gè)條件的來(lái)源：1）2）3）

在圖形和已知條件中挖掘。來(lái)自“已知”

直接給出來(lái)自圖形

公共元素要點(diǎn)小結(jié)：1、邊角邊(SAS)公理中的角是兩條邊的夾角。全等三角形判定二一、知識(shí)點(diǎn)回顧

在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.（簡(jiǎn)記SAS）1全等三角形判定方法一在△ABC與△A′B′C′中,AB=A′B′∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∴△ACB≌△A’C’

B’（SAS）ABC

除了已知一個(gè)三角形的兩邊與夾角能確定一個(gè)三角形外，還有什么情形能確定一個(gè)三角形？二、全等三角形判定方法二

角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（角邊角，ASA）在△ABC與△A′B′C′中,∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∠ACB=∠A′C′B′∴△ACB≌△A’C’

B’（ASA）例1、如圖，已知∠1=∠2，∠ C=∠D，

求證：△ABC≌△ABD三、推論：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）在△ABC與△A′B′C′中,∠ABC=∠A′B′C′∠ACB=∠A′C′B′

AC=A′C′

∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）推論：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）如圖，AB∥CD，AD∥BC，試說(shuō)明△ABD≌△CDB如圖BC=DE，∠B=∠D，∠1=∠2，試說(shuō)明AC=AE的理由？12ABCDO例2、如圖，已知AD和BC相交于點(diǎn)O，AO=DO，BO=CO，求證：△AOB≌△DOCABCDO變式：過(guò)O點(diǎn)作一直線，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，這里所成的新的三角形全等嗎？EF四、拓展提高已知△ABC≌△A’B’C’，AD和A’D’分別是∠A、∠A’的角平分線，找出圖中所有全等三角形，并說(shuō)明理由。若AD和A’D’分別是邊BC、B’C’的高線（中線），找出圖中所有全等三角形，并說(shuō)明理由。如圖∠1=∠2，∠3=∠4，找出圖中所有的全等三角形，并說(shuō)明理由。例3、如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA平分∠ABC、∠DCB，AC和BD相交于點(diǎn)O，求證：OA=OD本題還有什么結(jié)論？課堂小結(jié)全等三角形的兩個(gè)判定方法1、角邊角公理：

有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（角邊角，ASA）2、角角邊公理

有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）全等三角形（SSS）一、知識(shí)點(diǎn)回顧

在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等.（簡(jiǎn)記SAS）1全等三角形判定方法一在△ABC與△A′B′C′中,AB=A′B′∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∴△ACB≌△A’C’

B’（SAS）二、全等三角形判定方法二

角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（角邊角，ASA）在△ABC與△A′B′C′中,∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∠ACB=∠A′C′B′∴△ACB≌△A’C’

B’（ASA）在△ABC與△A′B′C′中,∠ABC=∠A′B′C′∠ACB=∠A′C′B′AC=A′C′∴△ACB≌△A’C’

B’（AAS）推論：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）兩個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)均為6cm,7cm,8cm。一個(gè)三角形在黑板上，另一個(gè)在軟板上，那么，這兩三角形全等嗎？問(wèn)題引入：三角形的三邊長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀大小就完全確定，這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.全等三角形的判定方法3在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)記為：S.S.S）在△ABC與△A′B′C′中,AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′∴△ACB≌△A′B′C′

（SSS）例1，如圖，已知AB＝CD，AD＝BC，求證：∠A=∠CABCD例2，如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上。已知AC=DB,AE=CF,BE=DF，說(shuō)明∠E＝∠F的理由。例3：如圖:已知AD=BC,BD=AC,

1）說(shuō)明∠D=∠C的理由;

2)說(shuō)明DE=CE的理由.如圖：已知BD=CE,AB=AC,點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，說(shuō)明∠ABD與∠ACE相等的理由?！唷螦BD=∠ACE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練一練1練一練2

如圖，已知AD為△ABC的邊BC上的中線，CE⊥AD于E,BF⊥AD的延長(zhǎng)線于F，

說(shuō)明DE=DF的理由。練一練3

如圖，已知∠C=∠D，AD=BC，

說(shuō)明AC=BD的理由。練一練4

請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作出∠AOB的平分線，并說(shuō)明此畫(huà)法的依據(jù)。你還能說(shuō)出用直尺、圓規(guī)作已知線段的中點(diǎn)、中垂線以及過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的依據(jù)嗎？練一練5：已知AB=AC,BO=CO,1）說(shuō)明BD=CE的理由；說(shuō)明2)OD=OE的理由.1.“SSS”公理，三角形的穩(wěn)定性及其應(yīng)用；2.判定兩個(gè)三角形全等有四種方法：“SAS”、“ASA’’、“AAS”、“SSS”;3.證角（或線段）相等轉(zhuǎn)化為證角（或線段）所在的三角形全等;總結(jié)全等三角形習(xí)題課1回顧全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的判定方法1、邊角邊公理：

有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（邊角邊，SAS）回顧全等三角形的判定方法2、角邊角公理：

有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（角邊角，ASA）3、推論（角角邊）

有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）回顧全等三角形的判定方法4、邊邊邊公理

有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）例1、如圖，已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E、F在射線AE上，BE∥CF，且BE=CF，求證：BM=MC練習(xí)：已知點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，BD=BE，∠1=∠2，試說(shuō)明△ADB和△CEB全等的理由。例2：如圖，AD∥BC，AD=BC，∠1=∠2，求證：（1）DC=AB；（2）AF=CE例4、求證：有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等先畫(huà)圖再寫(xiě)已知、求證已知：AB=A’B’，AC=A’C’，AD=A’D’求證：△ABC≌△A’B’C’若AD、A’D’是角平分線或高線呢？1.判定兩個(gè)三角形全等有四種方法：“SAS”、“ASA’’、“AAS”、“SSS”;2.證角（或線段）相等轉(zhuǎn)化為證角（或線段）所在的三角形全等;總結(jié)全等三角形習(xí)題課21、如圖，已知C為BD上一點(diǎn)，在BD的兩旁分別作等邊三角形ABC和等邊三角形ECD，求證：AD=BE2、如圖，已知C為BD上一點(diǎn)，在BD的同旁分別作等邊三角形ABC和等邊三角形ECD，求證：AE=BD試一試如圖，已知，在△ABC的外部分別以AB、AC為邊作等邊三角形ABE和等邊三角形ACF，聯(lián)結(jié)AC、BF,求證：EC=BF1.判定兩個(gè)三角形全等有四種方法：“SAS”、“ASA’’、“AAS”、“SSS”;2.證角（或線段）相等轉(zhuǎn)化為證角（或線段）所在的三角形全等;總結(jié)全等三角形習(xí)題課2例1、

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD