概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)作業(yè)答案

第一章隨機(jī)事件與概率

一，單項(xiàng)選擇題

1.擲一枚骰子，設(shè)A=｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝,8=｛出現(xiàn)1或3點(diǎn)｝,則下列選項(xiàng)正確的是

(B)

A.A8;｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝B.4豆=｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝

C.后二｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝D.A\JB=Q

2.設(shè)A、B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(A).

A.(A+B)-B=AB.(A+B)-B=A-B=A-AB

C.(A-8)+8=A+8D.AB+AB=A

3.將一枚勻稱的硬幣投擲兩次，令從產(chǎn)｛第i次正面向上｝(i=l,2),則“至少

有一次正面向上”可表示為

(D).

A.441)44B.A4c.4&D.AUa

4.某人向一目標(biāo)射擊3次，設(shè)4表示“第，次射擊命中目標(biāo)”g,2,3),

則3次都沒有命中目標(biāo)表示為

(A).

A.A4A3B.A｝+A2+A3C.A44D.AA2A3

5.設(shè)4與B為互為對(duì)立事件，且P(A)>0,P(8)>0,則下列各式中錯(cuò)誤的是

(A

).

A.P(A|B)=OB.P(B|A)=OC.P(AB)=OD.P(A\JB)=1

6.設(shè)事件A與8相互獨(dú)立，?(A)=0.2,P(8)=0.4,則P(A\B)=

(D).

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

7.已知事件A與5互不相容,P(A)>0,P(B)>0,則

(C).

A.P(AUB)=1B.P(AB)=P(A)P(B)

C.尸(AB)=OD.P(AB)>0

8.設(shè)尸(A)=O,B為任一事件，則(C).

A.A=(1>B.AuB(3/與8相互獨(dú)立D.4與B互不相容

9.已知尸(4)=0.4,P(B)=0.5,且AuB,則P(A|B)=(C).

A.0B.0.4C.0.8D.1

10.設(shè)A與3為兩事件，則而二(B).

A.ABB.ALBC.AC\BD.AQB

11.設(shè)事件AuN,P(A)=0.2,尸(8)=0.3,則P(AUB)=(A).

A.0.3B.0.2C.0.5D.0.44

12.設(shè)事件A與5互不相容,P(4)=0.4,P(B)=0.2,則P(A|B)=

(D).

A.0.08B.0.4C.0.2D.0

13.設(shè)43為隨機(jī)事件,外8)>0,尸(川3)=1,則必有(A).

A.P(AU^)=P(A)B.Au3

C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)

14.從1,2,3,4,5中任意取3個(gè)數(shù)字，則這3個(gè)數(shù)字中不含5的概率為(A).

A.0.4B.0.2C.0.25D.0.75

15.某學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中6名男生、4名女生，從中任選4人參加社會(huì)

活動(dòng)，則4人中恰好2男2女的概率為

(A).

A5B.0.4C.0.25

16.某種動(dòng)物活20年的概率為0.8,活25年的概率為0.6,現(xiàn)有一只該種動(dòng)物已

經(jīng)活了20年，它能活到25年的溉率是(B).

A.0.48B.().75C.0.6D.().8

17.將兩封信隨機(jī)地投到4個(gè)郵筒內(nèi)，則前兩個(gè)郵筒內(nèi)各有一封信的概率為

(A).

A.0.125B.0.25C.0.5D.0.4

18.一批產(chǎn)品的合格品率為96%,而合格品中有75%是優(yōu)質(zhì)品，從該批產(chǎn)品中

任取一件恰好是優(yōu)質(zhì)品的概率為

(A).

A.0.72B.0.75C.0.96D.0.78

19設(shè).有10個(gè)產(chǎn)品，其中7個(gè)正品,3個(gè)次品，現(xiàn)從中任取4個(gè)產(chǎn)品，則這4個(gè)

都是正品的概率為

(C).

B-卷C.耳D?展

20.設(shè)有10個(gè)產(chǎn)品，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品，現(xiàn)從中抽取3次，每次任取1個(gè),

取后放回，則取到的3個(gè)產(chǎn)品都是正品的概率為

(C).

A.AB,4C,4D.4

10C,o103103

21.某人打靶的命中率為0.4,現(xiàn)獨(dú)立地射擊5次，則5次中恰有2次命中的概率

為

(C).

A.0.42B.0.63C.C；0.420.63D.C；0.430.62

22.隨機(jī)地拋擲質(zhì)地勻稱的6枚骰子，則至少有一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為

(D).

A.C：［4)5B.l-C：i(|)5C.C：(4)5D.l-(1)6

6666666

23.把3個(gè)不同的球分別放在3個(gè)不同的盒子中,則出現(xiàn)2個(gè)空盒的概率為

(A).

A.-B.-C.-D.-

9233

24.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中，等可能地、有放回地連續(xù)抽取4個(gè)數(shù)字，則取到

的4個(gè)數(shù)字完全不同的概率為

(A).

A5R4!蜀4!

186!464

25.某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為〃(Ovp<l),他向目標(biāo)連續(xù)射擊，則第一次

未中第二次命中的概率為

(D).

A.p?B.(l-p)2C.1-2PD.p(l?p)

二、填空題

1.一個(gè)盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子，從中任取兩顆，則這兩顆棋子是不

同色的概率為18/35.

2.甲乙兩人，每人扔兩枚均勻硬幣，則兩人所扔硬幣均未出現(xiàn)正面的概率為

1/16.

3.設(shè)袋中有5個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中任取3個(gè)球，則恰好取到1

個(gè)紅球、1個(gè)白球和1個(gè)黑球的概率為025.

4.從數(shù)字1,2,…，10中有放回地任取4個(gè)數(shù)字，則數(shù)字10恰好出現(xiàn)兩次的

概率為0.0486.

5.甲乙丙三人各自獨(dú)立地向一目標(biāo)射擊一次，三人的命中率分別是0.5,0.6,

0.7,則目標(biāo)被擊中的概率為0.94.

6.甲袋中裝有兩白一黑共3個(gè)球，乙袋中裝有一白兩黑共3個(gè)球，從甲袋中任

取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，則取到白球的概率為

5/12.

7.設(shè)事件A與3互不相容，尸(4)=0.2,尸(B)=0.3,則0.5.

8.設(shè)事件A與8相互獨(dú)立，且P(4+B)=0.6,P(A)=0.2,則P(B尸

0.5.

9.設(shè)P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,則=0.42.

10.設(shè)尸(A)=P(B)=P(C)=',P(AB)=P(AC)=-,P(BC)=0,則P(4+3+C)=

46

_______5/12.

11.已知P(A)=0.7,P(A-8)=0.3,則P(AB)=0.6

12.某射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.5,貝以次射擊中恰好

命中3次的概率為。25.

13.已知P(A)=0.4,尸(8尸0.8,P(8|A)=0.25,則P(川加=0.125.

14.設(shè)P(A)=L,P(814)=1,P(A|8)=L則尸(AUB)=1/3.

15.一批產(chǎn)品的廢品率為4%,而正品中的一等品率為60%,從這批產(chǎn)品中任取

一件是一等品的概率為0576.

16.甲、乙兩門高射炮彼此獨(dú)立地向一架飛機(jī)各發(fā)一炮，甲、乙擊中飛機(jī)的概

率分別為0.4,0.5,則飛機(jī)至少被擊中一炮的概率為0.7.

三、計(jì)算題

1.設(shè)P(A)=0.4,尸(8)=02P(B|4)=03,求P(AB)以及P(A|B).

解:由尸網(wǎng)加03得:第U.3,即陪泮3

迪二照二。」.

解得:P(A8)=0.02.從而，P(A\B)=

P(8)0.2

2.已知AuB,P(A)=0.2,P(B)=0.3,求:(1)P(A),P(B)；(2)P(AB)；(3)P(AB)；

(4)(5)P(B-A).

⑴由概率的性質(zhì)，知P(a=1-尸(A)=0.8,P(B)=l-P(B)=0.7；

(2)因?yàn)锳uB,所以AB=A,P(A8)=P(A)=0.2；

(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)?P(AB)=P(A)?P(A)=0；

(4)因?yàn)锳u8,所以AU8=8,P(AUB)=P(B)=0.3；

或者，P(A(JB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；

3.若事件A與B互不相容,P(4)=0.6,P(A+5)=0.9,求：(l)P(AB)；(2)P(A|B)；

⑶P(函.

解:⑴因A與B互不相容，故AB=(D,尸(48)=0,所以P(而)=l-P(A5)=h

⑵因A與B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B),得P(8)=0.3,從而

P(A|歷二"池)二“4)一"48)=06-6

-P(B)~l-P(B)-0.7"7t

(3)P(AB)=1-P(AB)=1-P(A+8)=1-0.9=0.1.

4.已知事件A與8相互獨(dú)立，且P(A)=0.4,P(A+5)=0.6,求⑴P(B)；(2)P(AB)；

⑶P(A|8).

解：(1)因?yàn)槭录嗀與3相互獨(dú)立，所以P(AB尸P(A)P(B),

P(A+B)=尸(4)+P(B)_P(AB)=P(A)+P(B)~P(A)P(B)

0.6=0.4+尸(8)-0.4P(B),解得：P(B)=-；

3

———A.

⑵因?yàn)槭录嗀與8相互獨(dú)立，所以A與8也相互獨(dú)立，故尸(43)=P(A)尸(8)=石;

(3)因?yàn)槭录?與3相互獨(dú)立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.

四、應(yīng)用題

1.一批產(chǎn)品共有50個(gè)，其中40個(gè)一等品、6個(gè)二等品、4個(gè)三等品，現(xiàn)從中任

取3個(gè)產(chǎn)品，求3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)產(chǎn)品等級(jí)相同的概率.

解：設(shè)A“3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)產(chǎn)品等級(jí)相同”，N“3個(gè)產(chǎn)品等級(jí)都不同”，

服=12

由古典概率定義，得P(A)=a0.049,從而

CL245

P(A)=1-0.049=0.951.

2.10把鑰匙中有3把能打開門，現(xiàn)從中任取2把，求能打開門的概率.

解:A“取出2把鑰匙能打開門”，由古典概率知：

C；C；+C；=8

P(A)

3.將5雙不同的鞋子混放在一起，從中任取4只，求這4只鞋子至少能配成一

雙的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一雙"，則X“4只鞋子都不同”.由古典概率

俎8L...D/~A\13

得：尸⑷=、~~~=一，+故PD（A）=1-P（A）=—.

品,2121

4.從0,1,2,3這4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)進(jìn)行排列，求取得的三個(gè)數(shù)字排成的數(shù)是

三位數(shù)且是偶數(shù)的概率.

解：A“排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”，癡“排成的三位數(shù)末位是0”,4

“排成的三位數(shù)末位是2”，則A=4+A2,且4與A2互不相容，因?yàn)?/p>

空」P（4）=年

尸（4）=

C；3!42穹3!6

所以，P（A）=P（4）+P（A）='.

5.一批零件共100個(gè)，次品率為10%,每次從中任取一個(gè)零件，取出的零件不

再放回去，求下列事件的概率：

（1）第三次才取得合格品；

（2）如果取得一個(gè)合格品后就不再取零件，在三次內(nèi)取得合格品.

解：設(shè)A“第i次取到合格品"G=l,2,3）,則

⑴第三次才取到合格品的概率為：

--------------------10990

「（A44）=p（A）P（A2iA）miA4）=函X的X癡=0.0083?

（2）4”三次內(nèi)取得合格品”，則A=4+44+A4A，所求概率為:

尸（A）=P（4）+尸（A&）+P（AA24）

=尸（A）+尸（A）尸（41A）+尸（A）P（A?IA）尸（AIA^）

90109010990

=XXX?0.9993.

100100991009998

6.盒子中有8個(gè)紅球和4個(gè)白球，每次從盒子中任取一球，不放回地抽取兩次,

試求：（1）兩次取出的都是紅球的概率；（2）在第一次取出白球的條件下，第二次

取出紅球的概率；（3）第二次取到紅球的概率.

解：Ai”第一次取出的是紅球”，4”第二次取出的是紅球”，則

(1)由乘法公式得，兩次取出的都是紅球的概率為：

p(A.)=p(A)p(4iA)=,x|=,；

(2)在第一次取出白球的條件下，第二次取出紅球的概率為：P(A2IA)=-^5

(3)由全概率公式得，第二次取到紅球的概率為：

P(A)=P(A)P(&IA)+尸(%)P(41A)

7.某工廠有三臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)同一型號(hào)零件，每臺(tái)設(shè)備的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的

25%,35%,40%,而各臺(tái)設(shè)備的廢品率分別是0.05,0.04,0.02,今從全廠生產(chǎn)

的這種零件中任取一件，求此件產(chǎn)品是廢品的概率.

解：設(shè)4"第i臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的零件"(i=l,2),8“產(chǎn)品是廢品”，由題意知:

P(Ai)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|AI)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.02,

由全概率公式得，產(chǎn)品是廢品的概率為：

p?=P(A)P(B|A)+P(4)P(B|4)+p(4)尸⑻4)

=25%x0.05+35%x0.04+40%x0.02=0.0345.

8.兩臺(tái)車床加工同一種零件，加工出來的零件放在一起，己知第一臺(tái)出現(xiàn)廢

品的概率是0.03,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02,且第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)

加工的零件多一倍.

(1)求任取一個(gè)零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是廢品，求它是由第二臺(tái)車床加工的概率.

解：設(shè)8“零件是合格品”，A“第一臺(tái)車床加工的零件”，則］“第二臺(tái)

7—1

車床加工的零件”，由題意知：P(A)=-,P(A)=-.

33

⑴由全概率公式得：P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)

21

=-x(l-0.03)+-x(l-0.02)?0.973；

33

(2)由貝葉斯公式得，如果取出的是廢品，求它是由第二臺(tái)車床加工的概率

為：

尸田而尸(萬尸(臼a_

P(A\B)==0.25

/(而一］_/(§)一］2.92

3

9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假設(shè)男人女人各占一半.現(xiàn)隨機(jī)地挑

選一人，求：

(1)此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若隨機(jī)挑選一人，此人是色盲，問他是男人的概率多大？

(3)若隨機(jī)挑選一人，此人不是色盲，問他是男人的概率多大？

解：設(shè)8“色盲患者”，A“隨機(jī)挑選一人是男人”，由題設(shè)知:

I_1_

P(A)=-,P(A)=-,P(B|A)=5%,P(B|A)=0.25%,則

22

(1)由全概率公式得，隨機(jī)挑選一人是色盲的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=-x5%+-x0.25%=0.02625；

22

(2)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人是色盲，他是男人的概率為:

P(AB)_P(A)P(B\A)_2

P(A\B)=

P(B)~P(B)--0.02625

(3)由貝葉斯公式得，隨機(jī)選一人不是色盲，他是男人的概率為:

-x95%

P(A8)P(A)P(B\A)

P(A\B)=?0.4878.

P(歷i-P(B)0.97375

10.現(xiàn)有10張考簽，其中4張是難簽，甲、乙、丙三人抽簽考試(取后不放回),

甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

⑴甲乙都抽到難簽；

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽；

(3)甲乙丙都抽到難簽；

(4)證明：甲乙丙抽到難簽的機(jī)會(huì)均等.

解：設(shè)A,B,。分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”，貝IJ

⑴甲乙都抽到難簽的概率為：P(AB)=PG4)P(3|4)=/,w；

(2)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為：

———644

P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=—；

10915

(3)甲乙丙都抽到難簽的概率為：

4321

P(ABC)=P(A)P(B\A)P(C\AB)=-x-x-=—；

109830

(4)由古典概率知，甲抽到難簽的概率為：2加=卡=。4-

由全概率公式得，乙抽到難簽的概率為：

一一4364

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)=—x-+—x-=0.4.

109109

丙抽到難簽的概率為：

P(C)=P(AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\AB)+P{AB)P(C\AB)+P(AB)P(C\~AB)

432643463654…

=—x—x—H---x—x—d---x—x—H---x—x—=0.4.

1098109810981098

得，P(A)=P(B)=P(C)=0.4,所以，甲乙丙抽到難簽的機(jī)會(huì)均等，各占40%.

11.三個(gè)人向同一敵機(jī)射擊，設(shè)三人命中飛機(jī)的概率分別為0.4,0.5和0.7.若

三人中只有一人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，飛機(jī)被擊落的

概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)必被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)A表示“三人中恰有i人擊中飛機(jī)”，i=0,1,2,3.8”飛機(jī)被擊落

4o,4,Az,4構(gòu)成完備事件組，且

P(A0)=(1-0.4)x(l-0.5)(l-0.7)=0.09,

尸(A)=0.4x(1-0.5)x(l-0.7)+(1-0.4)x0.5x(l-0.7)+(1-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36,

P(A,)-0.4x0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(l-0.4)x0.5x0.7-0.41,

P(A3)=0.4x0.5x0.7=0.14.

由題設(shè)知：P(B|4)=0,P(B|A)=0.2,P(8|A2)=0.6,P(B|A3)=l.

故，由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：

p(B)=p(4)p(例4)+\A)P(BIA)+P(4)P(5|4)+P(4)P(8|4)

=0.09x0+0.36x0.24-0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.在上題中，假設(shè)三人的射擊水平相當(dāng)，命中率都是0.6,其他條件不變,

再求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)4?表示“三人中恰有i人擊中飛機(jī)”，i=0,1,2,3.B”飛機(jī)被擊落”.

A),A,A2,A3構(gòu)成完備事件組，且由貝努里公式得：

P(4)=C?xO.6°x0.4'=0.064,P(A)=C；x0.6x0.42=0.288,

P(4)=C；x0.62x0.4=0.432,P(4)=C;x0.63=0.216.

由題設(shè)知：P(B|4)=0,P(B|A)=0.2,P(B|A2)=0AP(B|A3)=l.

故由全概率公式得，飛機(jī)被擊落的概率為：

P(B)=Jp(A)P(BIA)

r=0

=0.064x0+0.288x0.2+0.432x0.6+0.216x1=0.5328

13.已知一批產(chǎn)品中有95%是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，一個(gè)合格品被誤判為

次品的概率為0.02,一個(gè)次品被誤判為合格品的概率為0.03,求：

(1)任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；

(2)一個(gè)經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概率.

解：設(shè)A“產(chǎn)品是合格品”，5“經(jīng)檢查產(chǎn)品被判為合格品”，且由題意知:

P(A)=95%,P(A)=1-95%=5%,P(B|A)=l-0.02=0.98,P(B|A)=0.03.M

(1)由全概率公式得，任意抽查一個(gè)產(chǎn)品，它被判為合格品的概率為：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A)

=95%x0.98+5%x0.03=0.9325；

(2)由貝葉斯公式得，一個(gè)經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品，它確實(shí)是合格品的概

率為：

P(AB)_0.95x0.98

P(A|8)=?0.9984.

P(B)-0.9325

14.一個(gè)工人看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人看管的概率第一臺(tái)

為0.9,第二臺(tái)為0.8,第三臺(tái)為0.7,且三臺(tái)機(jī)床是否需要看管彼此獨(dú)立.求在一小

時(shí)內(nèi)三臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需要工人看管的概率.

解：設(shè)4?“第i臺(tái)機(jī)床需要看管"，i=l,2,3.“三臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需

要工人看管”表示為44A十444十444十A4$,且這4個(gè)事件兩兩互不

相容，由加法與獨(dú)立性知，所求的概率為：

P(A4A+不&A+川用4+AAA)

=p(A無&+P(鬲&+P(4%A)+P(方無兄)

=P(A)p區(qū))尸區(qū))+尸(而p?)尸(4)+P(無)尸(4)P(A)+P(禽)P(石P(無)

=0.1X0.8X0.7+0.9X0.2X0.7+0.9X0.8X0.3+0.9X0.8X0.7=0.902

15.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率

分別是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率

是多少？

解：設(shè)4"第i道工序加工出次品"，/=1,2,3.則加工用來的零件是次品表

示為A1+A2+43,且4,4,4相互獨(dú)立，從而44,A也相互獨(dú)立.

所求概率為：

尸(4+4+4)=1-尸(左用4)=1-尸(而「(耳)產(chǎn)(4)

=1-(1-2%)(1-3%)(1-5%)=0.09693.

16.甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一密碼，他們各自能破譯出的概率分別是0.4,

0.6,0.7,求此密碼被破譯的概率.

解：設(shè)4,B,C分別表示“甲、乙、丙破譯出密碼”,則A+3+C表示“密

碼被破譯”，且A,B,。相互獨(dú)立，從而在反力也相互獨(dú)立，故所求概率為：

P(A+B+C)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)

=1-(1-0.4)(l-0.6)(l-0.7)=0.928.

17.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,各在兩批中隨機(jī)取一粒，求:

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率.

解：設(shè)A,5分別表示“甲、乙種子發(fā)芽”，由題設(shè)知：

P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A)=1-0.8=0.2,P(B)=1-0.7=0.3.

(1)兩粒種子都能發(fā)芽的概率為：P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.7=0.56；

(2)至多有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AB+AB+AB)=尸(A歷+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.8x0.3+0.2x0.7+0.2x0.3=0.44；

(3)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為：

P(AU8)=P(A)+P(B)~P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(8)

=0.8+0.7-0.8x0.7=0.94.

18.一批產(chǎn)品有70%的一級(jí)品，進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共抽取5件樣品，求：

(1)取出5件樣品中恰有2件一級(jí)品的概率⑶；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級(jí)品的概率p2；

(3)取出5件樣品中至少有一件一級(jí)品的概率p3.

解：該問題是參數(shù)〃=0.7的5重貝努里試驗(yàn)，由貝努里公式得：

⑴取出5件樣品中恰有2件一級(jí)品的概率pi=C^x0.72x0.33=0.1323；

(2)取出5件樣品中至少有2件一級(jí)品的概率為：

5

P2=ZCx0.7xx0.35-A=1-C^X0.7°xO.35-C>0.7x0.34=0.96922；

(3)取出5件樣品中至少有一件一級(jí)品的概率為：

5

0=Zc；X0.7*X0.35-*=1—C；X0.7°x0.35=0.99757.

*=i

19.一射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立地射擊4次，若至少命中一次的概率為四，求射手射

81

擊一次命中目標(biāo)的概率.

.解：設(shè)射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為p,由貝努里定理知，4次射擊中至

少有一次命中目標(biāo)的概率為：1-(1-P)4,由題設(shè)知:

1-(1-p)4=—,解得：p=q.

813

20.一射手對(duì)一目標(biāo)獨(dú)立地射擊，每次射擊命中率為p,求射擊到第4次時(shí)恰

好兩次命中的概率.

解：射手射擊到第4次恰好有兩次命中目標(biāo)，即第四次畬中，而前三次中恰

有一次命中，由貝努里定理知，所求概率為：

尸=0&「(1-2)2=322(1-0)2.

五、證明題

1.設(shè)0<P(8)<l,證明事件A與8相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A|B)=P(A|歷.

證：必要性設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB尸P(A)P(8),尸(A|8)二尸(A),

又

P(AB)P(A-AB)P(A)-P(A)P(B)

產(chǎn)(A西)==P(A),

P(B)~l-P(B)l-P(B)

所以，P(A|B)=P(A|B).

充分性若P(A|B)=P(A|萬),則

P(AB)_尸(通)_一(-8)_P(A)-P(AB)

P(B)~P(B)-l-P(B)--l-P(B)-'

對(duì)上式兩端化簡(jiǎn)，得：尸(AB)=P(A)尸(B),所以A與B相互獨(dú)立

2.證明條件概率的下列性質(zhì)：

(1)若P(5)>0,則0<P(A|B)<1,P(C|B)=l,P(O|B)=0：

(2)若A與8互不相容，P(C)>0,則尸(AU例O=P(A|C)+P(B|C)；

⑶PNB)=1-P(A|3).

證：(1)因?yàn)槭?4|8)="A3),而OWP(A8)V尸(8),所以，0WP(A|8)Wl,

且,二磊嚼八則加播=符。

(2)若A與B互不相容，則4c與BC也互不相容，從而

P(4U81C)=。(黑:。)=尸(A?Z(BC)=尸(％?C)+p(B?C)；

(3)由性質(zhì)⑵得：P(A[JA|B)=P(A|B)+P(A|B),又AU^=C,由性質(zhì)⑴知,

P(Q|B)=1,所以，P(A|B)+P(A|B)=1,即P(H8)=1-P(A|B)

第二章隨機(jī)變量及其概率分布

一、單項(xiàng)選擇題

X012

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P0.30.20.5

則P[X<\]=

(c).

A.0B.0.2C.0.3D.0.5

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X0123

P0.10.20.3a

則。二

(D).

A.0.2B.0.3C.0.1D.0.4

區(qū)x>l

3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為"r)=7則常數(shù)。=

0,x<l

D).

B]_

A.-1-；c.D.1

2

加‘魯,I則常數(shù)。=

4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=4

10,其它

(D).

1_

A.B.-C.3D.4

42

5.下列函數(shù)中可作為某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是

(A).

10010

x>100,x>0

A「XB.<X

0,x<1000,x<0

11//3

-1,0<x<2—,—<x<-

C./D.222

9其它

.0,其它

6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間團(tuán),句上等于sinx,而在此區(qū)間外等于0；若/。)可以

作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則區(qū)間團(tuán)，切為(A).

TTTT3乃

A.[0,-]B.[0,乃]C.[--,0]D.[0,—]

222

7.下列函數(shù)中，可以作為某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的是(C).

0,x<0

0.5x,x<0

0.3,0<x<l

A.F(x)="B.F(x)=《0.8,0<x<l

0.2,l<x<2

1,x>1

1,x>2

乳

o,x<——

0,x<02

0.1,0<x<5乃

C.F(x)=<D.F(x)=<sinj,--<x<0

0.6,5<x<62

J,x>61,x>0

8.設(shè)/*)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則(B).

A.尸(%)一定連續(xù)B.F(x)一定右連續(xù)

C.尸(幻是不增的D.歹。)一定左連續(xù)

9.設(shè)/(x)=P(XWx)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(D).

A.尸(X)是定義在(YO,+OO)上的函數(shù)B.limF(x)-limF(x)=l

X-M-30MTV

C.P(a<X<b)=F(b)-F(a)D.對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都有0<"x)<l

10.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為P(X=k)==1,2,3...),則常數(shù)a=(B).

A.1B.-C.2D.--

22

11.已知隨機(jī)變量X的分布律為

X0123

P030.40.10.2

尸(x)是X的分布函數(shù)，則F(2.5)=(B).

A.0.7B.0.8C.0.1D.1

—+4C2J,0<x<1,則

12.隨機(jī)變量X的概率密度/w=|o,其它

P{-1<X<1!=(A).

」

A.iBC.-D.-

4324

13.已知隨機(jī)變量X的分布律為X-1012

P0.10.20.30.4

若隨機(jī)變量Y=X2,則P{Y=\}=

(C).

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.2

14.設(shè)隨機(jī)變量X?3(4,0.2)則P{X>3}=

(A).

A.0.0016B.0.0272C.0.4096D.0.8192

15.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1，4),r=2X+l,

A.N(l,4)B.N(0,1)C.N(3,16)D.N(3,9)

16.設(shè)X?N(〃Q2),①(x)是MO,1)的分布函數(shù)，則P(a?XV?=(D).

A.①(份一①⑷B.①⑸+①⑷

"不/O一不一〃、n小力一從、不/。一〃、

C.0(—廣)-0(—為D.0(--)-0>(--)

a~a~aa

17.設(shè)X?MI4),①(x)是MO,1)的分布函數(shù)，貝IJP(-2<X<0)=(A).

A.2O(-)-lB.0(0)-0(-2)C.(D(2)--D.①(2)-6(0)

22

18.設(shè)X?MO，1)，以幻是X的概率密度函數(shù)，則以0)=(C).

A.0B.0.5C.D.1

19.設(shè)X服從均勻分布U[0,5],y=3X+2,貝|Jy服從(B).

A.UfO,5]B.U[2,171C.U[2,15]D.U[0,17]

20.某種商品進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，每購買一件有0.1的中獎(jiǎng)率.現(xiàn)某人購買了20件

該商品，用隨機(jī)變量X表示中獎(jiǎng)的件數(shù)，則X的分布為(D).

A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.二項(xiàng)分布

21.設(shè)X服從參數(shù)4=2的泊松分布，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則下列正確的選

項(xiàng)是(B).

A.F(l)=e-2B.F(0)="2

C.P(X=O)=P(X=1)D.P(X<1)=2e~2

22.設(shè)X服從參數(shù)/l的泊松分布，且P(X=1)=』P(X=3),則2=(C).

3

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

1.若P(X-l-0,P(X>Xi)=\-a，其中加42,則PU,<X<x2)=

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X-2012

P0.10.20.30.4

記匕X]則尸(丫=4)=0.5

3.若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則P(X=1)=0

4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),已知產(chǎn)(2)=05F(-3)=0.1,則

尸(一3<X<2)=().4.

5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(幻=-^\Xe^'dt，則其密度函數(shù)為___.

>/24—

0,x<0

6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=?sinx,0<x<|,其密度函數(shù)

1,x>-

2

為/(x)，則f(》=172.

O

7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=f”3°,貝IJ當(dāng)Q0時(shí)，X的概率密

0,x<0

度/(幻=_____L.一.

8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X012

P0.40.20.4

則P(0<X<1)=0.6

9.設(shè)隨機(jī)變量X?M3,4),則P(4vXv5)=0.148.

(其中①⑴=