專題04二次根式（原卷版）

主題一數(shù)與式專題04二次根式目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）考點回歸（梳理基礎考點，清晰明了，便于識記）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次根式有意義的條件?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡?考向三二次根式的乘除法?考向四分母有理化?考向五同類二次根式?考向六二次根式的加減法?考向七二次根式的混合運算?考向八二次根式的化簡求值?考向九二次根式的應用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.了解二次根式、最簡二次根式的概念；2.了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算；3.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．二次根式是歷年中考的考察重點，年年考查，分值為10分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)重視對二次根式的有關概念、二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學生應扎實掌握.二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．二次根式的基本性質(zhì)1.≥0；a≥0（雙重非負性）．2.（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．3.＝|a|＝（算術平方根的意義）二次根式的化簡1.二次根式的化簡：（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；（2）利用積的算術平方根的性質(zhì)和商的算術平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）2.化簡二次根式的步驟：（1）把被開方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；（3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．2.最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、、、等．二次根式的乘除法1.積的算術平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）3.商的算術平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此．分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．2.同類二次根式的理解：同類二次根式類似于整式中的同類項．幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的加減法1.法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：（1）如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．（2）把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．二次根式的應用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．?考向一二次根式有意義的條件解題技巧/易錯易混/特別提醒①如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．②如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．1．（2023?江西）若有意義，則a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．62．（2023?濟寧）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠23．（2023?丹東）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡解題技巧/易錯易混/特別提醒（1）把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；（2）把各因式(或因數(shù))積的算術平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術平方根的積；（3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應用關系式(eq\r(a))2＝a(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。4．（2023?泰州）計算等于（）A．±2 B．2 C．4 D．5．（2023?臺灣）化簡的結果為下列何者（）A．3 B． C． D．6．（2023?內(nèi)蒙古）實數(shù)m在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：＝．?考向三二次根式的乘除法7．（2023?衡陽）對于二次根式的乘法運算，一般地，有?＝．該運算法則成立的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≥0，b≥08．（2022?呼和浩特）下列運算正確的是（）A．×＝±2 B．（m+n）2＝m2+n2 C．﹣＝﹣ D．3xy÷＝﹣9．（2023?益陽）計算：＝．?考向四分母有理化10．（2023?阜新）在下列計算中，正確的是（）A．5+（﹣6）＝﹣1 B． C．3×（﹣2）＝6 D．sin30°＝11．（2021?婁底）計算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．?考向五同類二次根式12．（2023?煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．13．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．6 B． C． D．?考向六二次根式的加減法解題技巧/易錯易混/特別提醒二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。14．（2023?內(nèi)蒙古）下列運算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝15．（2023?十堰）下列計算正確的是（）A．+＝ B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣116．（2023?哈爾濱）計算的結果是2．?考向七二次根式的混合運算解題技巧/易錯易混/特別提醒二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．③二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．④在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17．（2023?青島）下列計算正確的是（）A． B． C． D．18．（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計算該算式的結果是．（只需寫出一種結果）19．（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．?考向八二次根式的化簡求值解題技巧/易錯易混/特別提醒常見二次根式化簡求值的九種技巧一、估算法二、公式法三、拆項法四、換元法五、整體代入法六、因式分解法七、配方法八、輔元法九、先判后算法20．（2023?河北）若，，則＝（）A．2 B．4 C． D．21．（2022?內(nèi)蒙古）已知x，y是實數(shù)，且滿足y＝++，則的值是．?考向九二次根式的應用22．（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個數(shù)有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個23．（2023?常州）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機能從角落自由進出，則圖中的x至少為（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈4.58）．1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2023?通遼）二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．3．（2023?上海）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)5÷a2＝a3 B．a(chǎn)3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．＝a4．（2020?荊州）若x為實數(shù)，在“（+1）□x”的“□”中添上一種運算符號（在“+，﹣，×，÷”中選擇）后，其運算的結果為有理數(shù)，則x不可能是（）A． B．﹣1 C． D．（多選）5．（2021?濰坊）下列運算正確的是（）A．（a﹣）2＝a2﹣a+ B．（﹣a﹣1）2＝ C．＝ D．＝26．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與7．（2023?西寧）下列運算正確的是（）A． B． C． D．8．（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣29．（2023?常德）要使二次根式有意義，則x應滿足的條件是．10．（2022?隨州）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝＝3可知m有最小值3×7＝21．設n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為，最大值為．11．（2022?山西）計算：×的結果為．12．（2023?杭州）計算：＝．13．（2023?盤錦）計算：﹣＝．14．（2022?荊州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝．15．（2023?陜西）計算：．16．（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+