專題04二次根式（原卷版）

主題一數(shù)與式專題04二次根式目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次根式有意義的條件?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)?考向三二次根式的乘除法?考向四分母有理化?考向五同類二次根式?考向六二次根式的加減法?考向七二次根式的混合運(yùn)算?考向八二次根式的化簡(jiǎn)求值?考向九二次根式的應(yīng)用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念；2.了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；3.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍．二次根式是歷年中考的考察重點(diǎn)，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對(duì)二次根式的有關(guān)概念、二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運(yùn)算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號(hào)②a（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．二次根式的基本性質(zhì)1.≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．2.（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．3.＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）二次根式的化簡(jiǎn)1.二次根式的化簡(jiǎn)：（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）2.化簡(jiǎn)二次根式的步驟：（1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）都開(kāi)出來(lái)；（3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2.最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、、、等．二次根式的乘除法1.積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無(wú)意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．2.同類二次根式的理解：同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)．幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同．判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的加減法1.法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：（1）如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．（2）把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．（3）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．?考向一二次根式有意義的條件解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒①如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．②如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．1．（2023?江西）若有意義，則a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．62．（2023?濟(jì)寧）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠23．（2023?丹東）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．?考向二二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒（1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式(或因數(shù))；（2）把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；（3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(eq\r(a))2＝a(a≥0)把這個(gè)因式(或因數(shù))開(kāi)出來(lái)，將二次根式化簡(jiǎn)。4．（2023?泰州）計(jì)算等于（）A．±2 B．2 C．4 D．5．（2023?臺(tái)灣）化簡(jiǎn)的結(jié)果為下列何者（）A．3 B． C． D．6．（2023?內(nèi)蒙古）實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：＝．?考向三二次根式的乘除法7．（2023?衡陽(yáng)）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有?＝．該運(yùn)算法則成立的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)≤0，b≤0 D．a(chǎn)≥0，b≥08．（2022?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（）A．×＝±2 B．（m+n）2＝m2+n2 C．﹣＝﹣ D．3xy÷＝﹣9．（2023?益陽(yáng)）計(jì)算：＝．?考向四分母有理化10．（2023?阜新）在下列計(jì)算中，正確的是（）A．5+（﹣6）＝﹣1 B． C．3×（﹣2）＝6 D．sin30°＝11．（2021?婁底）計(jì)算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．?考向五同類二次根式12．（2023?煙臺(tái)）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．13．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．6 B． C． D．?考向六二次根式的加減法解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒二次根式的加減：先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來(lái)。14．（2023?內(nèi)蒙古）下列運(yùn)算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝15．（2023?十堰）下列計(jì)算正確的是（）A．+＝ B．（﹣2a）3＝﹣8a3 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣116．（2023?哈爾濱）計(jì)算的結(jié)果是2．?考向七二次根式的混合運(yùn)算解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17．（2023?青島）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．18．（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是．（只需寫出一種結(jié)果）19．（2023?金昌）計(jì)算：÷×2﹣6．?考向八二次根式的化簡(jiǎn)求值解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒常見(jiàn)二次根式化簡(jiǎn)求值的九種技巧一、估算法二、公式法三、拆項(xiàng)法四、換元法五、整體代入法六、因式分解法七、配方法八、輔元法九、先判后算法20．（2023?河北）若，，則＝（）A．2 B．4 C． D．21．（2022?內(nèi)蒙古）已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足y＝++，則的值是．?考向九二次根式的應(yīng)用22．（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)23．（2023?常州）如圖，小紅家購(gòu)置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書(shū)柜、衣柜與地面均無(wú)縫隙）．在沒(méi)有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈4.58）．1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2023?通遼）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．3．（2023?上海）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)5÷a2＝a3 B．a(chǎn)3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．＝a4．（2020?荊州）若x為實(shí)數(shù)，在“（+1）□x”的“□”中添上一種運(yùn)算符號(hào)（在“+，﹣，×，÷”中選擇）后，其運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）A． B．﹣1 C． D．（多選）5．（2021?濰坊）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a﹣）2＝a2﹣a+ B．（﹣a﹣1）2＝ C．＝ D．＝26．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與7．（2023?西寧）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．8．（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣29．（2023?常德）要使二次根式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是．10．（2022?隨州）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝＝3可知m有最小值3×7＝21．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為，最大值為．11．（2022?山西）計(jì)算：×的結(jié)果為．12．（2023?杭州）計(jì)算：＝．13．（2023?盤錦）計(jì)算：﹣＝．14．（2022?荊州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝．15．（2023?陜西）計(jì)算：．16．（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+