專題156等腰三角形中的分類討論思想七大考點(diǎn)（滬科版）

專題15.6等腰三角形中的分類討論思想七大考點(diǎn)【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1與邊分類討論】 1【題型2與角分類討論】 3【題型3與高分類討論】 7【題型4與直平分線分類討論】 11【題型5與中線分類討論】 16【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段需分類討論】 19【題型7構(gòu)造等腰三角形需分類討論】 23【題型1與邊分類討論】【例1】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足a-22+|bA．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10【答案】A【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于a、b的方程組，接下來解方程組即可求出a、b的值，再分類討論，可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，a-∴a=2，b①當(dāng)a=2是腰時(shí)，三邊分別為2、2、3周長為：2+2+3=7．②當(dāng)b=3是腰時(shí)，三邊分別為3、3、2周長為：3+3+2=8．所以等腰三角形的周長7或8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題．【變式11】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用一條長20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若一邊長是另一邊長的2倍，則底邊的長為【答案】4【分析】設(shè)較短的邊長為xcm，則較長的邊為2【詳解】解：設(shè)較短的邊長為xcm，則較長的邊為2當(dāng)較短的邊為底邊，較長的邊為腰時(shí)，則x+2解得：x=4此時(shí)三角形三邊長分別為4cm，8cm，當(dāng)較長的邊為底邊，較短的邊為腰時(shí)，則2x解得：x=5此時(shí)三角形三邊長分別為5cm，5cm，∵5+5=10，∴不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；綜上所述，三角形底邊的長為4cm故答案為：4cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）已知等腰△ABC的周長為18，BC=8，若△ABC≌△DEFA．7 B．2或7 C．5 D．2或5【答案】D【分析】分BC為腰、BC為底兩種情況，求出等腰三角形的另兩邊，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：當(dāng)BC=8為腰時(shí)，等腰△ABC的周長為∴另兩邊為8或2，當(dāng)BC=8為底時(shí)，另兩邊為5或5，∵△ABC≌△∴△DEF中有一條邊等于2或5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為13cm，AB=5cm，則它的“優(yōu)美比”kA．54 B．35 C．54或35 D【答案】C【分析】分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的優(yōu)美比k.【詳解】解：當(dāng)AB腰時(shí)，則底邊=3cm此時(shí)，優(yōu)美比k=當(dāng)AB為底邊時(shí)，則腰為4cm此時(shí)，優(yōu)美比k=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型2與角分類討論】【例2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）過等腰三角形底角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】36°或180【分析】分兩種情況畫出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖（1），

當(dāng)BC=BD=AD，∵BD=∴∠ABD∴∠CDB∵BC=∴∠C∵AB=∴∠ABC∵∠A∴α+2解得α=36°②如圖（2），

當(dāng)AD=BD，BC=DC，∵AD=∴∠A∴∠BDC∵BC=∴∠CBD∴∠ABC∵AB=∴∠ABC∵∠A∴α+3解得α=綜上，原等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或1807故答案為：36°或180【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)等腰三角形，其中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，它的三個(gè)內(nèi)角可能是（

）A．30°，30°，120° B．50°，50°，80°C．75°，75°，30° D．80°，80°，20°【答案】C【分析】分兩種情況，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，∴設(shè)一個(gè)內(nèi)角等于2x，另一個(gè)內(nèi)角等于5∵三角形是等腰三角形，∴2x+2x解得：x=20°或x∴三個(gè)內(nèi)角是40°，40°，100°或75°，75°，30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°A．85或14 B．58或14 C．85或4【答案】A【分析】分∠A為頂角和底角兩種情況,利用等腰三角形的兩底角相等求出底角或頂角，然后根據(jù)k的定義求解即可．【詳解】解：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：12（180°80°）∴k=80②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°80°80°=20°.∴特征值k=20綜上所述，k為85或1故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，∠A是頂角還是底角的分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點(diǎn)D，連接CD

【答案】10°或100°【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在BA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D'在BA【詳解】解：如圖，

,當(dāng)點(diǎn)D在BA上時(shí)，由作圖可得：AD=∴∠ADC∵∠ADC+∠ACD∴∠ADC∵在△ABC中，∠ABC=40°∴∠ACB∴∠BCD當(dāng)點(diǎn)D'在BA的延長線上時(shí)，由作圖可得：A∴∠A∵∠D'AC∴∠A∴∠綜上所述：∠BCD的度數(shù)是：10°或100°故答案為：10°或100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【題型3與高分類討論】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A．15° B．75° C．15°或75° D．無法確定【答案】C【分析】分兩種情況，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，作CD⊥AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E

則∠ADC∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=∵CD=∴CD=∴△CDE∴∠DCE∴∠A∵AB=∴∠B當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，作BD⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)D，取AB的中點(diǎn)E

則∠ADB∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE=∵BD=∴△BDE∴∠ABD∴∠DAB∴∠BAC∵AB=∴∠ABC綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是15°或75°，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式31】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為．【答案】20°或50°【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計(jì)算．【詳解】當(dāng)40°角為底角時(shí)，如圖，∵CA=∴∠CAB過點(diǎn)A作AD⊥CB，交BC的延長線于點(diǎn)∴∠ADC∴∠DAB

當(dāng)40°角為頂角時(shí)，如圖，∵CA=∴∠CAB過點(diǎn)A作AG⊥CB，交BC于點(diǎn)∴∠AGB∴∠GAB故答案為20°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的角的計(jì)算，熟練掌握分類思想是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023春·全國·八年級(jí)課堂例題）已知△ABC的高AD，BE所在的直線交于點(diǎn)F，若BF=AC【答案】圖見解析，45°或135°【分析】分兩種情況，畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：[作圖區(qū)]當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖①當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖②[解答區(qū)]①若△ABC為銳角三角形時(shí)，∠ABC為銳角，如圖∵AD⊥∴∠BDF∴∠C∴∠CBF∴△BDF∴BD=∴∠ABD即∠ABC②若△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠ABC為鈍角，如圖同理可證△BDF∴BD=∴∠ABD∴∠ABC綜上所述，∠ABC的度數(shù)為45°或135°故答案為：45°或135°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，AD=BD，BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，則【答案】60°或30°【分析】首先求出∠ADB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠【詳解】解：情形一：當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上時(shí)，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠∴∠ADB∵AD∴∠A情形二：當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長線上時(shí)，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠∴∠BDE∵AD∴∠A故答案為：60°或30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的高等知識(shí)，得出∠ADB【題型4與直平分線分類討論】【例4】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段AB垂直平分線上有兩點(diǎn)C、D，若∠ADB=80°，∠CADA．80° B．90° C．60°或100° D【答案】C【分析】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當(dāng)C點(diǎn)在線段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝40°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算∠ACB＝100°；當(dāng)C'點(diǎn)在ED的延長線上，∠C'AD＝10°時(shí)，則∠C'AB【詳解】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180°當(dāng)C點(diǎn)在線段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；當(dāng)C'點(diǎn)在ED的延長線上，∠C'AD＝10°時(shí)，則∠C∵CA＝CB，∴∠AC'B綜上所述，∠ACB的度數(shù)為60°或100°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【變式41】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在△OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分線交OP于點(diǎn)D，交直線OQ于點(diǎn)E，∠OEP【答案】65°或115°【分析】△OPQ為銳角三角形時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線的定義得到∠ODE=∠PDE=90°，從而求得∠OED=∠PED=【詳解】解：①如圖1，△OPQ∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE=∠PDE∴∠OED又∵∠OEP∴∠OED∴∠EOD②如圖2，△OPQ∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE=∠PDE∴∠OED又∵∠OEP∴∠OED∴∠EOD∴∠POQ故答案為：65°或115°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)及定理，準(zhǔn)確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=α，邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為【答案】2α-【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進(jìn)而得到∠B【詳解】解：分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)∠BAC∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD∴∠B=∠∴∠B又∵∠B+∠∴∠∵∠∴∠②如圖所示，當(dāng)∠BAC∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD∴∠B=∠∴∠B又∵∠B+∠∴∠∵∠∴∠故答案為：2α-180°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，DE垂直直線BC于E，若AC=7，【答案】11或3【分析】分點(diǎn)E在BC上或點(diǎn)E在BC的延長線上兩種情形，分別利用HL證明Rt△ADF?Rt△【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．過點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長線于F，連接∵AB的垂直平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D∴AD=在Rt△ADE和AD=∴Rt△∴BE=同理可得CE=∴AF=7+2=9∴BC=當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖，同理可得AF=∴BC=綜上：BC=11或3故答案為：11或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型5與中線分類討論】【例5】（2023春·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的中線分周長為9和12兩部分，請你畫出示意圖，并結(jié)合圖形，求這個(gè)等腰三角形的各邊長【答案】這個(gè)等腰三角形的底為9或5，這個(gè)等腰三角形的腰為6或8【分析】由題意得，腰上的中線把等腰三角形分成9和12兩部分，則要分一腰的一半與另一腰的和為9或12兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，①當(dāng)AD+∵CD是AB∴AD∴32AC=9∴BC②當(dāng)AD+AC=12∴AC∴BC答：這個(gè)等腰三角形的底為9或5，這個(gè)等腰三角形的腰為6或8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及二元一次方程組的應(yīng)用；解題時(shí)主要利用了分情況討論的思想及列二元一次方程組求解，也是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式51】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在周長為10的△ABC中，AB=AC，BD為△ABC的中線，且BD將△ABC的周長分為兩部分，兩部分的差值為2，則底邊長為【答案】2或14【分析】等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為兩部分，但已知沒有明確是哪兩部分，因此有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：在△ABC中，AB=AC，BD為△設(shè)AB=AC=x①當(dāng)CΔABD∴(解得，x∴BC②當(dāng)CΔBCD∴(解得，x∴BC綜上，△ABC的底邊BC的長為2或14【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算．在解題時(shí)要注意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為24cm和30cm的兩部分，則BC的長為()cmA．14 B．16或22 C．22 D．14或22【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，得出AD=DC=12AC，根據(jù)AB=AC，得出AB=2AD，分兩種情況當(dāng)AB+AD=24cm時(shí)，2AD+AD=24cm，可求

BC=30cmCD=30cm8cm=22cm，當(dāng)AB+AD=30cm時(shí)，2AD+AD=30cm，可求BC=24cmCD=24cm【詳解】解：∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，∴AD=DC=12∵AB=AC，∴AB=2AD，分兩種情況，當(dāng)AB+AD=24cm時(shí)，2AD+AD=24cm，

解得AD=8cm，∵BC+CD=30cm，∴BC=30cmCD=30cm8cm=22cm，當(dāng)AB+AD=30cm時(shí)，2AD+AD=30cm，解得AD=10cm，∵BC+CD=24cm，∴BC=24cmCD=24cm10cm=14cm，∴BC的長為14cm或22cm．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用，掌握等腰三角形性質(zhì)，中線性質(zhì)，一元一次方程，線段和差，分類思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式53】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？计谀┮阎粋€(gè)等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為3:2的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底長為．【答案】9cm或21cm【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進(jìn)而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為27cm和18cm兩部分，∴x+12解得x=18y=9經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此這個(gè)等腰三角形的腰長為9cm或21cm．故答案為：9cm或21cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確3∶【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線段需分類討論】【例6】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，∠α=40°，點(diǎn)A是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB=°．【答案】40或70或100【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時(shí)，②當(dāng)OA=AB時(shí)，③當(dāng)OA=OB時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時(shí)，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB2時(shí)，∠OAB=180°2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB3時(shí)，∠OAB=∠OBA=12（180°40°）=70°故答案為：40或70或100．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=40°，邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°（0<m<360）得到線段AD，連接【答案】20，80，200，320.【分析】以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圓A，分別以B，C為圓心，以BC長為半徑作圓B和圓C，BC的中垂線交圓A于D1，D2兩點(diǎn)，圓B與圓A交于點(diǎn)D3，圓C與圓A交于點(diǎn)D4，D1，D2【詳解】如圖，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圓A，分別以B，C為圓心，以BC長為半徑作圓B和圓C，BC的中垂線交圓A于D1，D2兩點(diǎn)，圓B與圓A交于點(diǎn)D3，圓C與圓A交于點(diǎn)D4，D1，D2，D3，D4四點(diǎn)即為所求，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，故答案為20，80，200，320.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理.【變式62】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)．將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，使得△BOC≌△ADC，連接

(1)發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)∠OAD的大小不變?yōu)椤?2)分析問題：當(dāng)α=150°時(shí)，分析判斷△AOD的形狀是(3)解決問題：請直接寫出當(dāng)α為度時(shí)，△AOD【答案】(1)50(2)直角(3)125°或110°或140°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠OBA+∠OAB=70°，再由等邊三角形的性質(zhì)推出∠OBC（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CO=CD，∠OCD=60°，則△OCD是等邊三角形，得到∠（3）分OA=DA，OA=OD，AD=【詳解】（1）解：∵∠AOB∴∠OBA∵△ABC∴∠BAC∴∠BAC+∠ABC∴∠OBC∵將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△∴∠DAC∴∠OAD故答案為：50

（2）解：∵將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△∴CO=∴△OCD∴∠COD∵∠AOC∴∠AOD∴∠ADO∴△AOD故答案為：直角；（3）解：當(dāng)OA=DA時(shí)，則∴∠AOC∴α=360°-∠當(dāng)OA=OD時(shí)，則∴∠AOD∴∠AOC∴α=360°-∠當(dāng)AD=OD時(shí)，則∴∠AOC∴α=360°-∠綜上所述，α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2023春·廣東茂名·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90o，∠BAC=30o，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有個(gè)．【答案】6【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】如圖，①AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)P1（PA=PB），交直線BC于點(diǎn)P2；②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點(diǎn)P3，P4，交BC有一點(diǎn)P2，（此時(shí)AB=AP）；③以B為圓心