專題12二次函數(shù)（10類重點(diǎn)考向）

專題12二次函數(shù)目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一二次函數(shù)的圖像?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?考向四二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換?考向六二次函數(shù)的最值?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式?考向八拋物線與x軸的交點(diǎn)?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用?考向十二次函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題；2.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會(huì)二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達(dá)式；會(huì)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式．3.通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義；會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決實(shí)際問題．4.能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決綜合型問題.二次函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會(huì)考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會(huì)考，它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會(huì)考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查。二次函數(shù)一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．2.頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）3.交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小二次函數(shù)圖像的平移1．將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（h，k）處，具體平移方法如下：【注意】二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．二次函數(shù)與一元二次方程1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中，我們常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個(gè)量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟(jì)問題；物體運(yùn)動(dòng)軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化．運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段問題1.確定線段長(zhǎng)關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo)）：先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；繼而表示出線段的長(zhǎng)度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確定）.2.線段數(shù)量關(guān)系問題：根據(jù)前面所得的線段長(zhǎng)的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數(shù)值）3.線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問題，首先聯(lián)想到“對(duì)稱性質(zhì)”，并進(jìn)行解決。運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的面積問題探究面積問題的備考方法如下：1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)或圖形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間并表示出點(diǎn)的坐標(biāo)；2.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；3.用二次函數(shù)的知識(shí)來求最大值或最小值時(shí)，常采用配方法求解；4.特別注意，當(dāng)所研究的圖形在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生變化，要根據(jù)圖形的形狀進(jìn)行分類討論，注意分析整個(gè)過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時(shí)要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時(shí)，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.5.面積為定值時(shí)，可將圖形面積與圖形中動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合起來，列方程求得參數(shù)的值即可求得點(diǎn)坐標(biāo).運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的等腰三角形、菱形問題法一：分別表示出三點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出三邊的長(zhǎng)度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作等腰三角形底邊的高，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的直角三角形、矩形問題法一：分別表示出三點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出三邊的長(zhǎng)度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的平行四邊形問題法一：分別表示出四點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式，分類討論，列方程解出坐標(biāo).法二：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.二次函數(shù)其它綜合問題解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．?考向一二次函數(shù)的圖像解題技巧/易錯(cuò)易混1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零．2．一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式是二次函數(shù)常見的表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).1．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1．如果這四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題，則這個(gè)假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【思路點(diǎn)撥】命題④②③可以同時(shí)成立，由此即可判斷．【規(guī)范解答】解：假設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則﹣＝1，解得a＝﹣2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）和（3，0），函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；故命題②③④都是正確，①錯(cuò)誤，故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及對(duì)稱軸公式的求法．2．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項(xiàng)，當(dāng)a＞0時(shí)，可知對(duì)稱軸＜0，可排除B選項(xiàng)，當(dāng)a＜0時(shí)，可知對(duì)稱軸＞0，可知C選項(xiàng)符合題意．【規(guī)范解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，∵b＞0，∴對(duì)稱軸x＝＜0，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，b＞0，∴對(duì)稱軸x＝＞0，故C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax+bx+c的圖象開口向上，對(duì)稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對(duì)稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解題的關(guān)鍵．?考向二二次函數(shù)的性質(zhì)4．（2023?臺(tái)灣）坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖形，其頂點(diǎn)P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長(zhǎng)度為何（）A．7 B．8 C．9 D．10【思路點(diǎn)撥】由AB，BC，CD的長(zhǎng)度及拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)C與點(diǎn)P，點(diǎn)Q與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)之差，進(jìn)而求解．【規(guī)范解答】解：∵AB＝10，BC＝5，∴AC＝AB+BC＝15，∴xC﹣xP＝，∵BC＝5，CD＝6，∴BD＝BC+CD＝11，∴xQ﹣xB＝，∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解．5．（2023?內(nèi)蒙古）已知二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若點(diǎn)P（m，3）在該函數(shù)的圖象上，且m≠0，則m的值為2．【思路點(diǎn)撥】將點(diǎn)P（m，3）代入函數(shù)解析式求解即可．【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)P（m，3）在二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的圖象上，∴3＝﹣am2+2am+3，∴﹣am（m﹣2）＝0，解得m＝2或m＝0（舍去），故答案為：2．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．（1）若對(duì)于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對(duì)于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱軸即可，（2）根據(jù)題意判斷出離對(duì)稱軸更近的點(diǎn)，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對(duì)稱性即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）∵對(duì)于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）離對(duì)稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴＞t，即t≤．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題關(guān)鍵．?考向三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題技巧/易錯(cuò)易混二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號(hào)圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對(duì)稱軸為y軸ab>0（a與b同號(hào)）對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號(hào)）對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點(diǎn)c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交7．（2023?煙臺(tái)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，m），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實(shí)數(shù)根，則m＜3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】①利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對(duì)稱軸求出a＝b，根據(jù)圖象可得當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，即可判斷；③利用拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為d1、d2，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)根的判別式即可判斷．【規(guī)范解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，m），∴﹣，∴，即ab＞0，由圖可知，拋物線開口方向向下，即a＜0，∴b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＞0，∴abc＞0，故①正確，符合題意；②∵直線x＝﹣是拋物線的對(duì)稱軸，∴﹣，∴，∴a＝b，由圖象可得：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③∵直線x＝﹣是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為d1、d2，則，，∴d2＞d1，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，∴y1＞y2，故③正確，符合題意；④∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，∴b2﹣4ac+12a＜0，∴b2﹣4ac＜﹣12a，∴4ac﹣b2＞12a，∵，∴m＜3，故④正確，符合題意．故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．8．（2023?廣元）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點(diǎn)，且3＜m＜4，下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若拋物線過點(diǎn)（1，4），則﹣1＜a＜；④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實(shí)數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)題意得出開口向下，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，即可判b＞0，c＞0，則abc＜0；②根據(jù)對(duì)稱軸是直線x＝﹣＞1，計(jì)算﹣b＜2a，由拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；③由待定系數(shù)法確定拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，根據(jù)題意拋物線為y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，則m＝＝1﹣，根據(jù)3＜m＜4，即可得出關(guān)于a的不等式，解得即可；④拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點(diǎn)，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，且3＜m＜4，∴對(duì)稱軸x＝＞1，∴對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵﹣＞1，a＜0，∴﹣b＜2a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＞0，故②正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），點(diǎn)（1，4），∴，解得，∵拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點(diǎn)，∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，∴﹣am＝2﹣a，∴m＝＝1﹣，∵3＜m＜4，∴3＜1﹣＜4，∵a＜0，∴﹣1＜a＜，故③正確；∵若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實(shí)數(shù)根，∴拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點(diǎn)，∴，∴4ac﹣b2≤12a，故④錯(cuò)誤．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．?考向四二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征9．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【思路點(diǎn)撥】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設(shè)A（m，m），則B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值為﹣2，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?廣州）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1＜y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，求出拋物線y＝x2﹣3的對(duì)稱軸x＝0，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，故當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而減小，進(jìn)而判斷得解．【規(guī)范解答】解：由題意得拋物線y＝x2﹣3的對(duì)稱軸x＝0，又a＝1＞0，∴拋物線y＝x2﹣3開口向上．∴當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而增大．∴對(duì)于A、B當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，y1＜y2．故答案為：＜．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．11．（2023?麗水）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A（n，3），（0，3），且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（1，0）和（﹣3，0），∴，∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，∵y＝ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A（n，3），（0，3），且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，∴由圖象的對(duì)稱性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，涉及待定系數(shù)法，不等式，方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．?考向五二次函數(shù)圖象與幾何變換12．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【思路點(diǎn)撥】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．13．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解得即可．【規(guī)范解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是y＝（x﹣3）2+4．故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的法則是解決問題的關(guān)鍵．14．（2023?益陽）我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時(shí)知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個(gè)單位，如圖所示，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：由題意，將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣3．故答案為：y＝﹣3．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．?考向六二次函數(shù)的最值15．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a【思路點(diǎn)撥】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后代入k的值進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），（m+k，0），∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸是：直線，∵a＞0，∴y有最小值，當(dāng)時(shí)，y最小，即，當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為；當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為，故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．16．（2023?鎮(zhèn)江）二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的最大值等于9．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，結(jié)合解析式可以得解．【規(guī)范解答】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，∴二次函數(shù)y＝﹣2x2+9有最大值為9．故答案為：9．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)需要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．17．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求得點(diǎn)A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．【規(guī)范解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，∴B（3，4），①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時(shí)，將點(diǎn)O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時(shí)，將點(diǎn)A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，綜上所述，b＝或b＝﹣，故答案為：或﹣，【真題點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，能夠理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．?考向七待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式18．（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解（答案不唯一）．【規(guī)范解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1，故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．19．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達(dá)式．20．（2022?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（2，﹣3），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（2，﹣3），∴，解得b＝﹣2，c＝﹣3，∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），∴BC∥x軸，∴S△BCD＝×2×1＝1，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，當(dāng)|m2﹣2m|＝4×1時(shí)，解得m＝1±，當(dāng)m＝1+時(shí)，m2﹣2m﹣3＝1，當(dāng)m＝1﹣時(shí)，m2﹣2m﹣3＝1，綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，1）或（1﹣，1）．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．?考向八拋物線與x軸的交點(diǎn)21．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【思路點(diǎn)撥】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．【規(guī)范解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題．22．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時(shí)，CD＝4．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出該拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對(duì)稱性，即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，從而可以求得CD的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝2，∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，CD∥x軸，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案為：4【真題點(diǎn)撥】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求△BCP的面積．注：注拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x＝﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．【思路點(diǎn)撥】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解．（2）連接OP，用割補(bǔ)求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4，∴P（，﹣）；（2）連接OP，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；∴S△OPC＝＝3，S△BOP＝＝，S△BOC＝＝8，∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和三角形的面積，學(xué)會(huì)靈活求三角形的面積是解題關(guān)鍵．?考向九二次函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中，我們常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個(gè)量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟(jì)問題；物體運(yùn)動(dòng)軌跡問題；拱橋問題等二次函數(shù)與幾何圖形此類問題一般是通過分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化．24．（2023?天津）如圖，要圍一個(gè)矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長(zhǎng)不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長(zhǎng)可以為6m；②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】設(shè)AD邊長(zhǎng)為xm，則AB邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③．【規(guī)范解答】解：設(shè)AD邊長(zhǎng)為xm，則AB邊長(zhǎng)為m，當(dāng)AB＝6時(shí)，＝6，解得x＝28，∵AD的長(zhǎng)不能超過26m，∴x≤26，故①不正確；∵菜園ABCD面積為192m2，∴x?＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，故②正確；設(shè)矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)題意得：y＝x?＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最大值，最大值為200．故③正確．∴正確的有2個(gè)，故選：C．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．25．（2023?濱州）某廣場(chǎng)要建一個(gè)圓形噴水池，計(jì)劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設(shè)計(jì)高度應(yīng)為m．【思路點(diǎn)撥】利用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應(yīng)的函數(shù)值，即為所求的答案．【規(guī)范解答】解：由題意可知點(diǎn)（1，3）是拋物線的頂點(diǎn)，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．∵該拋物線過點(diǎn)（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣1）2+3．∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，∴水管的設(shè)計(jì)高度應(yīng)為m．故答案為：m．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023?菏澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購(gòu)籬笆120米．（1）設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，根據(jù)矩形面積公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)購(gòu)買牡丹m株，根據(jù)學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，列不等式可解得答案．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為（120﹣3x）米，根據(jù)題意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝20時(shí)，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）設(shè)購(gòu)買牡丹m株，則購(gòu)買芍藥1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以購(gòu)買1400株牡丹．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．?考向十二次函數(shù)綜合題解題技巧/易錯(cuò)易混一、解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．二、函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．2.解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；3.解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．26．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A（2，4），D（6，0），點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在直線AD上方的拋物線上，GF∥A0，GE⊥DO于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點(diǎn)H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法可得y＝﹣x2+3x．設(shè)點(diǎn)O到AD的距離為d，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為yA，根據(jù)三角形面積公式即可求得S△AOD＝12；（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，可得AF＝AD．連接OC、OH，由點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，可得點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，且O為AC的中點(diǎn)．推出HO∥AD，可得點(diǎn)H到AD的距離為d．再根據(jù)三角形面積公式即可求得答案；（3）過點(diǎn)A作AL⊥OD于點(diǎn)L，過點(diǎn)F作FK⊥GE于點(diǎn)K．運(yùn)用勾股定理可得OA＝＝2．再證得△FIK為等腰直角三角形．設(shè)FK＝m，則KI＝m，再運(yùn)用解直角三角形可求得GK＝2m，F(xiàn)G＝m，即可求得答案．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx（a≠0）．將A（2，4），D（6，0）代入，得，解得：，∴y＝﹣x2+3x．設(shè)點(diǎn)O到AD的距離為d，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為yA，∴S△AOD＝AD?d＝OD?yA＝×6×4＝12．（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至對(duì)稱軸上時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，則＝＝，即AF＝AD．如圖，連接OC、OH，由點(diǎn)C（﹣2，4），得點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，且O為AC的中點(diǎn)．∵AH⊥CH，∴OH＝AC＝OA，∴∠OAH＝∠AHO．∵AH平分∠CAD，∴∠OAH＝∠DAH，∴∠AHO＝∠DAH，∴HO∥AD，∴HO與AD間的距離為d，∴點(diǎn)H到AD的距離為d．∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，△AFH的面積為3；（3）如圖，過點(diǎn)A作AL⊥OD于點(diǎn)L，過點(diǎn)F作FK⊥GE于點(diǎn)K．由題意得AL＝4，OL＝2，∴OA＝＝＝2．∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，在Rt△ADL中，AL＝DL，∴∠ADL＝45°，∵GE⊥DO，∴∠FIK＝45°，即△FIK為等腰直角三角形．設(shè)FK＝m，則KI＝m，在Rt△AOL和Rt△GFK中，∵GF∥AO，∴∠AOL＝∠GFK，∴tan∠AOL＝tan∠GFK，∴＝，即＝，∴GK＝2m，∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，∴＝，即＝，∴FG＝m，∴＝＝．∴的值是定值，定值為．【真題點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的面積計(jì)算，相似三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形等，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．27．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸于點(diǎn)C．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點(diǎn)，過OG的中點(diǎn)H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點(diǎn)，直線MO與直線GN交于點(diǎn)P．問點(diǎn)P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）分別令x、y為0，解方程即可求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）分兩種情況：①若△BE1D1∽△CE1F1時(shí)，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行線的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x軸，點(diǎn)F與C的縱坐標(biāo)相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C時(shí)，過F2作F2T⊥y軸于點(diǎn)T．可證得△BCO∽△CF2T，，即＝，解方程即可求得答案；（3）由題意知拋物線C2：y＝x2，聯(lián)立方程求解即可得G（2，4）．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H（1，2）．設(shè)M（m，m2），N（n，n2），可得直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯(lián)立方程組求解可得P（，）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比較系數(shù)可得k＝2，b＝﹣2，故點(diǎn)P在定直線y＝2x﹣2上．【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．（2）∵F是直線x＝t與拋物線C1的交點(diǎn)，∴F（t，t2﹣2t﹣8）．①如圖，若△BE1D1∽△CE1F1時(shí)．則∠BCF1＝∠CBO，∴CF1∥OB．∵C（0，﹣8），∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．解得：t＝0（舍去）或t＝2．②如圖，若△BE2D2∽△F2E2C時(shí)．過F2作F2T⊥y軸于點(diǎn)T．∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，∴∠F2CT＝∠OBC，又∵∠CTF2＝∠BOC，∴△BCO∽△CF2T，∴，∵B（4，0），C（0，﹣8），∴OB＝4，OC＝8．∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，∴＝，∴2t2﹣3t＝0，解得：t＝0（舍去）或，綜上，符合題意的t的值為2或；（3）點(diǎn)P在一條定直線上．由題意知拋物線C2：y＝x2，∵直線OG的解析式為y＝2x，∴G（2，4）．∵H是OG的中點(diǎn)，∴H（1，2）．設(shè)M（m，m2），N（n，n2），直線MN的解析式為y＝k1x+b1．則，解得：，∴直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．∵直線MN經(jīng)過點(diǎn)H（1，2），∴mn＝m+n﹣2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯(lián)立，得，∵直線OM與NG相交于點(diǎn)P，∴n﹣m+2≠0．解得：，∵mn＝m+n﹣2，∴P（，）．設(shè)點(diǎn)P在直線y＝kx+b上，則，整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比較系數(shù)，得，∴k＝2，b＝﹣2．∴當(dāng)k＝2，b＝﹣2時(shí)，無論m，n為何值時(shí)，等式恒成立．∴點(diǎn)P在定直線y＝2x﹣2上．【真題點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，運(yùn)用分類討論思想思考解決問題．1．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點(diǎn)（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點(diǎn)撥】由二次函數(shù)的圖象可判斷出個(gè)系數(shù)的符號(hào)，即可判斷①，由對(duì)稱軸可判斷②，然后根據(jù)增減性可判斷③，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷④．【規(guī)范解答】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∵a＜0，b＞0，c＞0，∴①錯(cuò)誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），（3，0）．∴對(duì)稱軸為直線x＝，即﹣＝，∴b＝﹣a，∴a＝﹣b，把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a(bǔ)＝﹣b，∴﹣4b﹣2b+c＝0，∴c＝6b，故②錯(cuò)誤；∵拋物線開口向下，∴越靠近對(duì)稱軸的點(diǎn)的函數(shù)值越大，∴y2＜y1＜y3，故③正確；a＝﹣b，c＝6b，選項(xiàng)④可變成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出兩根，x2＝，故④錯(cuò)誤．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0） C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 D．圖象的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2【思路點(diǎn)撥】因?yàn)閳D象開口方向向上，所以a＞0，故A錯(cuò)誤，因?yàn)閳D象對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），故B錯(cuò)誤，D正確，當(dāng)x＜0時(shí)，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，故C錯(cuò)誤，即選D．【規(guī)范解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象開口方向向上，∴a＞0，故A錯(cuò)誤，∵圖象對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），故B錯(cuò)誤，D正確，由圖象知，當(dāng)x＜0時(shí)，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，故C錯(cuò)誤，故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＝0；②若點(diǎn)（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【思路點(diǎn)撥】由拋物線經(jīng)過（﹣1，0）可判斷①，由各點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由x＝1時(shí)y取最大值可判斷③，由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷④．【規(guī)范解答】解：∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，①正確，∵a＜0，∴拋物線開口向下，點(diǎn)（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，且點(diǎn)（﹣3，y1）到對(duì)稱軸的距離最大，點(diǎn)（2，y2）到對(duì)稱軸的距離最小，∴y1＜y3＜y2，②錯(cuò)誤；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣3a，∵拋物線的最大值為a+b+c，∴若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm+c?a+b+c，∴am2+bm+c?﹣4a，③正確；∵方程ax2+bx+c+1＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴拋物線與直線y＝﹣1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，由拋物線對(duì)稱性可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），∵拋物線開口向下，x1＜x2，∴x1＜﹣1，x2＞3，④正確．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．4．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點(diǎn)，且n≥3．下列四個(gè)結(jié)論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當(dāng)n＝3時(shí)，若點(diǎn)（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．其中正確的是②③④（填寫序號(hào)）．【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，判斷出拋物線的開口向下，即a＜0，再把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即可判斷①錯(cuò)誤；②先得出拋物線的對(duì)稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，得出拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）的右側(cè)，得出，根據(jù)4a＜0，利用不等式的性質(zhì)即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判斷②正確；③先得出拋物線對(duì)稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，得出（1，1）到對(duì)稱軸的距離大于（2，t）到對(duì)稱軸的距離，根據(jù)a＜0，拋物線開口向下，距離拋物線的對(duì)稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③正確；④根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，根據(jù)n≥3，得出求出m的取值范圍，即可判斷④正確．【規(guī)范解答】解：①圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，即拋物線與y軸的負(fù)半軸有交點(diǎn)，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點(diǎn)都在（1，0）的左側(cè)，∵（n，0）中n≥3，∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，故①錯(cuò)誤；②∵a＜0，b＞0，c＜0，，∴方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根的積大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴，即拋物線的對(duì)稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，∴拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）的上方或者右上方，∴，∵4a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，故②正確；③∵m＞0，∴當(dāng)n＝3時(shí)，，∴拋物線對(duì)稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，∴（1，1）到對(duì)稱軸的距離大于（2，t）到對(duì)稱軸的距離，∵a＜0，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴t＞1，故③正確；④方程ax2+bx+c＝x可變?yōu)閍x2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在拋物線上，∴m，n為方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，∴，∴，∵n≥3，∴，∴．故④正確．綜上，正確的結(jié)論有：②③④．故答案為：②③④．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝10m．【思路點(diǎn)撥】令y＝0，得到關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10m．故答案為：10．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的線段是解題的關(guān)鍵．6．（2022?六盤水）如圖是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象，該函數(shù)的最小值是﹣4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)圖象得出其對(duì)稱軸和與x軸交點(diǎn)，進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式，即可求出最小值．【規(guī)范解答】解：由函數(shù)圖象可得：﹣＝﹣＝﹣1，解得：b＝2，∵圖象經(jīng)過（﹣3，0）點(diǎn)，∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，解得：c＝﹣3，故二次函數(shù)解析式為：y＝x2+2x﹣3，則二次函數(shù)的最小值為：＝＝﹣4．故答案為：﹣4．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的圖象，正確求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．7．（2023?淮安）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），①b的值是﹣2，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，0）；②當(dāng)0＜y＜5時(shí)，借助圖象，求自變量x的取值范圍；（2）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；（3）當(dāng)m＜y＜n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）①依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點(diǎn)A（3，0）代入可得b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，從而可以求出B；②依據(jù)題意，由①令y＝0，y＝5分別求出對(duì)應(yīng)自變量進(jìn)而可以得解；（2）依據(jù)題意，由不等式變形得x2+bx﹣3﹣t＞0，對(duì)于一切實(shí)數(shù)成立，即對(duì)函數(shù)y＝x2+bx﹣3﹣t與x軸無交點(diǎn)，可得Δ＜0，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意可得拋物線上橫坐標(biāo)為x＝1與x＝2的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而求出b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，再由自變量x的取值范圍是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范圍．【規(guī)范解答】解：（1）①由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點(diǎn)A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．∴b＝﹣2．∴二次函數(shù)為：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案為：﹣2；（﹣1，0）．②由題意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，∴x＝4或x＝﹣2．又∵a＝1＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上．∴當(dāng)0＜y＜5時(shí)，滿足題意的自變量有兩部分，∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．（2）由題意，∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，即x2+bx﹣3＞t恒成立．即x2+bx﹣3﹣t＞0．∵y＝x2+bx﹣3﹣t開口向上，∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．∴t＜﹣．（3）由題意，拋物線上橫坐標(biāo)為x＝1與x＝2的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸x＝﹣＝．∴b＝﹣3．∴二次函數(shù)為y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．∴當(dāng)x＝1或x＝2時(shí)，y＝﹣5，即此時(shí)n＝﹣5．由題意，∵m＜y＜﹣5時(shí)，自變量x的取值范圍是1＜x＜2，∴m≤﹣．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．8．（2023?濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)E（﹣2，0）和點(diǎn)F．（1）如圖1，若拋物線過點(diǎn)C，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在直線CE上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在拋物線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點(diǎn)C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線CE的表達(dá)式為y＝kx+b，直線過點(diǎn)C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，則點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得點(diǎn)，代入即可；（3）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再分情況解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點(diǎn)C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴拋物線表達(dá)式為，當(dāng)y＝0時(shí)，，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴F（4，0