專題111線段垂直平分線（直通中考）（綜合練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.11線段垂直平分線（直通中考）（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點和點，連接，直線與交于點，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，作直線，交邊于點，連接，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）在中，用尺規(guī)作圖，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N．作直線交于點D，交于點E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．4．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分別以點A和C為圓心，以大于AC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P和點Q，作直線PQ分別交BC，AC于點D和點E．若CD=3，則BD的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊上的中線．按下列步驟作圖：①分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，；②作直線，分別交，于點，；③連接，．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．6．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）下列尺規(guī)作圖不能得到平行線的是（）A．B．C． D．7．（2022·廣西·中考真題）如圖，是求作線段AB中點的作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD8．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，．作直線，交于點，交于點，連接．若，，，則的周長為（

）A．25 B．22 C．19 D．189．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別過點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線PQ交AB于點D；③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M、連接AM、BM．若，則AM的長為（

）A．4 B．2 C． D．10．（2013·山東濟寧·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時，點C的坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是.

12．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段的垂直平分線交于點，交于點，則．

13．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線，分別交直線a，b于點C，D，連接AC，若，則的度數(shù)為．

14．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線交于點E．若線段，，則長為．

15．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點D．交于點E．連接．若，，則的度數(shù)為．

16．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若，則CD＝．17．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB、BC的垂直平分線、相交于點，若39°，則=．18．（2013·山東煙臺·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為度．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：．求作：點P，使，且點P在邊的高上．20．（8分）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．（1）求證：；（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）21．（10分）（2014·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：①ME⊥BC；②DE=DN.22．（10分）（2011·浙江杭州·中考真題）根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結(jié)論．（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作圖：②猜想：③驗證：（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．①作圖：②猜想：③驗證：23．（10分）（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為M，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請從中選擇適當(dāng)信息，將對應(yīng)的序號填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補全圖形，并加以證明．

24．（12分）（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日

星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過上的一點，作出的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分別以，為圓心，以與為半徑畫圓弧，兩弧相交于點，作直線，則必為．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出，兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點與點重合，用鉛筆在木板上將點對應(yīng)的位置標(biāo)記為點，保持點不動，將木棒繞點旋轉(zhuǎn)，使點落在上，在木板上將點對應(yīng)的位置標(biāo)記為點．然后將延長，在延長線上截取線段，得到點，作直線，則．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？任務(wù)：（1）填空；“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是_____________________________________；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明；（3）①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點作出的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；②說明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實（寫出一個即可）參考答案：1．B【分析】先根據(jù)等邊對等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．解：∵在等腰中，，，∴，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故選B．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】由作圖可得：為直線的垂直平分線，從而得到，則，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進(jìn)行計算即可．解：由作圖可得：為直線的垂直平分線，，，，故選：C．【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．解：由作圖可知，垂直平分線段，∴，，，故選項B，C，D正確，故選：A．【點撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．C【分析】連接AD，由作圖知：DE是線段AC的垂直平分線，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：連接AD，由作圖知：DE是線段AC的垂直平分線，∴AD=CD=3，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，則∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=120°∠DAC=90°，∴BD=2AD=6，故選：C．【點撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．5．D【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，則可對A選項進(jìn)行判斷，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可對B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)對C選項進(jìn)行判斷；由于，則可對D選項進(jìn)行判斷．解：由作法得MN垂直平分BC，∴OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，所以A選項不符合題意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD，所以B選項不符合題意；∵AE=CE，DB=DC，∴DE為△ABC的中位線，∴DEAB，所以C選項不符合題意；∵，∴與不全等；所以D選項符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形中位線性質(zhì)．6．D【分析】利用基本作圖，根據(jù)同位角相等兩直線平行可對A選項進(jìn)行判斷；根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線兩直線平行可對B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的判定方法可對D選項進(jìn)行判斷．解：A.根據(jù)同位角相等兩直線平行可知，能得到平行線，故A不符合題意；B.根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線兩直線平行可知，能得到平行線，故B不符合題意；C.根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可知，能得到平行線，故C不符合題意；D.作一個角的平分線和這個角一邊的垂線，不一定能夠得到平行線，故D符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．7．A【分析】根據(jù)中點的作圖，可知CD垂直平分AB，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．解：由題意得，CD垂直平分AB，，則B、C、D選項均成立，故選：A．【點撥】本題考查了線段中點作圖及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點撥】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)作圖可知垂直平分，，是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．解：由作圖可得垂直平分，則是等腰直角三角形∴由勾股定理得：故選：B．【點撥】本題考查了作垂線，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握基本作圖理解題意是解題的關(guān)鍵．10．D解：作B點關(guān)于y軸對稱點B′點，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，∵點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），∴B′點坐標(biāo)為：（3，0），則OB′=3，過點A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1，則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，∵C′O∥AE，∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A，∴B′O=C′O=3，∴點C′的坐標(biāo)是（0，3），此時△ABC的周長最小．故選D．11．13【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，即可求解．解：是的垂直平分線．，，的周長，故答案為：13．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．/10度【分析】由，，求得，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．解：∵，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．/56度【分析】先判斷為線段的垂直平分線，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形內(nèi)角和定理可求的度數(shù)．解：由作圖可知為線段的垂直平分線，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的作圖、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，判斷為線段的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)作圖可知：是線段的垂直平分線，即有，再在中，，問題得解．解：連接，如圖，

根據(jù)作圖可知：是線段的垂直平分線，∴，∵，，，∴在中，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出是線段的垂直平分線，是解答本題的關(guān)鍵．15．/度【分析】先在中利用等邊對等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用等邊對等角得出，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．解：∵，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，又，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握等腰三角形的等邊對等角是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先求解AE，AC，再連結(jié)BE，證明利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．解：，如圖，連結(jié)由作圖可得：是的垂直平分線，故答案為：【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．78【分析】如圖，利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），再利用垂直的定義結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，利用平角的定義得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，計算即可求解．解：如圖，連接BO并延長，∵、分別是線段AB、BC的垂直平分線，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=9039=51，∴∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，∴51∠A+2∠A+2∠C+51∠C+39=180，∴∠A+∠C=39，∴∠AOC=2（∠A+∠C）=78，故答案為：78．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，平角的定義，注意掌握輔助線的作法，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．108【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等邊對等角可得，再求出，然后判斷出點是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可．解：如圖，連接、，

，為的平分線，，又，，是的垂直平分線，，，，為的平分線，，，點在的垂直平分線上，又是的垂直平分線，點是的外心，，將沿在上，在上）折疊，點與點恰好重合，，，在中，，故答案為：108．【點撥】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)．19．見分析【分析】作的垂直平分線和邊上的高，它們的交點為P點．解：如圖，點P為所作．

【點撥】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．20．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．解：（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過直線外一點向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關(guān)鍵．21．（1）證明見分析；（2）①證明見分析；②證明見分析.【分析】（1）通過角的轉(zhuǎn)換和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，從而ASA證明△ABF≌△ACF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到結(jié)論.（2）①過E點作EG⊥AB于點G，通過證明EG是BM的垂直平分線就易得出結(jié)論；②通過證明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN來證明結(jié)論.解：（1）如圖，∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°∠ACB=45°，∴∠B=∠FCA，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF.（2）①如圖，過E點作EG⊥AB于點G，∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形，∴BG=EG，∠3=45°，AE平分∠BAD，∵BM=2DE，∴BM=2BG，即點G是BM的中點∴EG是BM的垂直平分線，∴∠4=∠3=45°∴∠MEB=∠4+∠3=90°，∴ME⊥BC②∵AD⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5=∠6∵∠1=∠5，∴∠1=∠6，∴AM=EM∵M(jìn)C=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN.22．（1）①詳見分析;②猜想：∠A+∠B=90°;③驗證：詳見分析;（2）①詳見分析;②猜想：∠B=3∠A;③詳見分析;【分析】根據(jù)等腰三角形判定作圖:（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可;②猜想：∠A+∠B=90°，③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;（2）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可;②猜想：∠B=3∠A;③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;.解：（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求②猜想：∠A+∠B=90°，③驗證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△