專題13等腰三角形（直通中考）（分層練習）-2023-2024學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.3等腰三角形（直通中考）單選題1．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm2．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點，則的面積是（

）A．1 B． C． D．3．（2023·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點為邊上的中點，交的延長線于點，交的延長線于點，且．若，則的面積為（

）

A．13 B． C．8 D．4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．55．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于，兩點，則的長是（

）

A． B． C．2 D．7．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）．

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．（2018·全國·九年級專題練習）如圖，直角中，，點O是的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作交BC于點F，連接AF交CE于點M，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形．若，，，則的值為（

）A． B． C． D．110．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線和y軸上的兩個動點，當周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標分別為（

）A．， B．，C．， D．，11．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（

）A． B．1 C． D．12．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線繞點B順時針旋轉交x軸于點C，則線段長為（

）

A． B． C． D．13．（2020·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點在x軸正半軸上，點在直線上，若，且均為等邊三角形，則線段的長度為（

）A． B． C． D．14．（2011·山東棗莊·中考真題）如圖，點的坐標是，若點在軸上，且是等腰三角形，則點的坐標不可能是（

）A．（2，0） B．（4，0）C．（－，0） D．（3，0）15．（2012·湖北十堰·中考真題）．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，則梯形ABCD的周長為（）A．22 B．24 C．26 D．28填空題16．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形的周長是，一腰長為，則這個三角形的底邊長是．17．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應點為點．若點剛好落在邊上，，則的長為．

18．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是．19．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊的中線，若，，則的長度為．20．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，，則．

21．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

22．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上．將沿折疊，使點落在點處，連接，則的最小值為．

23．（2023·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發(fā)以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側，當點D落在邊上時，點P需移動s．

24．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D為的中點，將繞點D逆時針旋轉得到，當點A的對應點落在邊上時，點在的延長線上，連接，若，則的面積是．25．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形，，N是的中點，是邊上的中線，M是上的一個動點，連接，則的最小值是．26．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點在直線上，，過點作直線于點，連接，點是線段的中點，連接，則的長為．

27．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，在邊上有一點，且，連接，則的最小值為．28．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長為．29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，連接，過點O作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；過點作于點，過點作軸于點；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點的坐標為．

30．（2021·山東德州·中考真題）如圖，在等邊三角形各邊上分別截取，交延長線于點，交延長線于點，交延長線于點；直線，，兩兩相交得到，若，則．解答題31．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，，直線與分別交于點E，F(xiàn)，上有一點G且，．求的度數(shù)．

32．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．

（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．33．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點E是邊上一點，且，．

（1）求證：；（2）若，時，求的面積．34．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，．

（1）求證：；（2）若時，求的長；（3）點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．35．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）在中，，點D在線段上，連接并延長至點E，使，過點E作，交直線于點F．（1）如圖1，若，請用等式表示與的數(shù)量關系：____________．（2）如圖2．若，完成以下問題：①當點D，點F位于點A的異側時，請用等式表示之間的數(shù)量關系，并說明理由；②當點D，點F位于點A的同側時，若，請直接寫出的長．36．（2022·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數(shù)量關系是，位置關系是；（2）如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．①（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．參考答案：1．D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．解：當3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D【點撥】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．2．D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形,即可判斷一個的面積是．解：∵分別是，，的中點,且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【點撥】本題考查等邊三角形的性質及全等,關鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質．3．D【分析】依據(jù)題意，連接，然后先證明，從而，又由等腰可得，從而在中可以求得，又，從而可得的值，進而可以得解．解：如圖，連接．

在中，，，點為邊上的中點，，，，．．，，，．．又，，．，．在中，．在中，．又在中，，．．．故選：D．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，解題時要熟練掌握并靈活運用是關鍵．4．B【分析】利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．解：在中，，∴，即，當時，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時，為等腰三角形，故選：B．【點撥】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．5．C【分析】由等邊三角形的性質求解，再利用等腰三角形的性質可得，從而可得答案．解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質是解本題的關鍵．6．B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，由含30度角直角三角形的性質可得，由勾股定理可得的長，即可得到結論．解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，含角直角三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．7．A【分析】由，可得，再由，由無法證明與全等，從而無法得到；證明可得；證明，可得，即可證明；證明，即可得出結論．解：∵，∴，∵若，又，∴與滿足“”的關系，無法證明全等，因此無法得出，故A是假命題，∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命題；若，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命題；若，則在和中，，∴，∴，故D是真命題；故選：A．【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題，判斷命題的真假關鍵是掌握相關性質定理．8．D解：∵點O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等邊三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故選D．9．A【分析】根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質即可得到結論．解：，，，，，，，故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．10．C【分析】作C（2，0）關于y軸的對稱點G（2，0），作C（2，0）關于直線y=x+4的對稱點D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，此時△CEF周長最小，由y=x+4得A（4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根據(jù)C、D關于AB對稱，可得D（4，2），直線DG解析式為，即可得，由，得．解：作關于軸的對稱點，作關于直線的對稱點D，連接AD，連接DG交AB于E，交軸于F，如圖：∴，，∴，此時周長最小，由得，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵C、D關于AB對稱，∴，∴，∵，∴，∴，由，可得直線DG解析式為，在中，令得，∴，由，得，∴，∴的坐標為，的坐標為，故選：C．【點撥】本題考查與一次函數(shù)相關的最短路徑問題，解題的關鍵是掌握用對稱的方法確定△CEF周長最小時，E、F的位置．11．B【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，點D是邊的中點，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點Q是在QE所在直線上運動，∴當CQ⊥QE時，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題是解題的關鍵．12．A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達式求出點A和點B坐標，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，結合旋轉的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關于x的方程，解之即可．解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．

【點撥】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關鍵是作出輔助線，構造特殊三角形．13．D【分析】根據(jù)題意得出∠AnOBn=30°，從而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出規(guī)律得到BnAn+1=2n1，從而計算結果．解：設△BnAnAn+1的邊長為an，∵點B1，B2，B3，…是直線上的第一象限內的點，過點A1作x軸的垂線，交直線于C，∵A1（1，0），令x=1，則y=，∴A1C=，∴，∴∠AnOBn=30°，∵均為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∴AnBn=OAn，∵∠BnAn+1Bn+1=60°，∴∠An+1BnBn+1=90°，∴BnBn+1=BnAn+1，∵點A1的坐標為（1，0），∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n1，∴=B2019A2020=，故選D．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質、等邊三角形的性質以及三角形外角的性質，本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關鍵．14．D解：（1）當點P在x軸正半軸上，①以OA為腰時，∵A的坐標是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=，∴P的坐標是（4，0）或（，0）；②以OA為底邊時，∵點A的坐標是（2，2），∴當點P的坐標為：（2，0）時，OP=AP；（2）當點P在x軸負半軸上，③以OA為腰時，∵A的坐標是（2，2），∴OA=，∴OA=AP=∴P的坐標是（，0）．故選：D．15．B解：先判斷△AMB≌△DMC，從而得出AB=DC，然后代入數(shù)據(jù)即可求出梯形ABCD的周長．解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC∴△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=24．故選B．16．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質求解即可．解：三角形的底邊長為故答案為：【點撥】此題考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握等腰三角形腰長相等．17．【分析】根據(jù)折疊的性質以及含30度角的直角三角形的性質得出，即可求解．解：∵將沿折疊，點的對應點為點．點剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．18．或【分析】由題意可求出，故可分類討論①當時和②當時，進而即可求解．解：∵，，∴．∵為直角三角形，∴可分類討論：①當時，如圖1，

∴；②當時，如圖2，

綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理．解答本題的關鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質和分類討論的數(shù)學思想解答．19．4【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和勾股定理求解即可．解：∵在中，，是邊的中線，∴，，在中，，，∴，故答案為：4．【點撥】本題考查等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質是解答的關鍵．20．【分析】根據(jù)等邊對等角得出，再有三角形內角和定理及等量代換求解即可．解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案為：．【點撥】題目主要考查等邊對等角及三角形內角和定理，結合圖形，找出各角之間的關系是解題關鍵．21．或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質列式計算即可求解．解：由折疊的性質知，，當時，，

由三角形的外角性質得，即，此情況不存在；當時，

，，由三角形的外角性質得，解得；當時，，

∴，由三角形的外角性質得，解得；當時，，

∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點撥】本題考查了折疊的性質，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，畫出圖形，數(shù)形結合是解題的關鍵．22．【分析】由折疊性質可知，然后根據(jù)三角不等關系可進行求解．解：∵，∴，由折疊的性質可知，∵，∴當、、B三點在同一條直線時，取最小值，最小值即為；故答案為．【點撥】本題主要考查勾股定理、折疊的性質及三角不等關系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質及三角不等關系是解題的關鍵．23．1【分析】當點D落在上時，如圖，，根據(jù)等邊三角形，是等邊三角形，證明，進而可得x的值．解：設點P的運動時間為，由題意得，，

∵，∴，∵和是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案為：1．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用等邊三角形的性質是解題的關鍵．24．【分析】先證明是等邊三角形，再證明，再利用直角三角形角對應的邊是斜邊的一般分別求出和，再利用勾股定理求出，從進而即可求解．解：如下圖所示，設與交于點O，連接和，∵點D為的中點，，∴,，是的角平分線，是，∴，∴∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∵∵，∴∴,∴．故答案為：．【點撥】本題考查等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質，證明是等邊三角形是解本題的關鍵．25．【分析】根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉化BM，MN的值，從而找出其最小值，進而根據(jù)勾股定理求出CN，即可求出答案．解：連接CN，與AD交于點M，連接BM．（根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），是邊上的中線即C和B關于AD對稱，則BM+MN=CN，則CN就是BM+MN的最小值．∵是等邊三角形，，N是的中點，∴AC=AB=6,AN=AB=3,,∴.即BM+MN的最小值為．故答案為：.【點撥】本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，等腰三角形的性質等知識點的綜合運用．26．或【分析】分兩種情況當在延長線上和當在上討論，畫出圖形，連接，過點作于，利用勾股定理解題即可解：當在線段上時，連接，過點作于，

當在線段上時，，，，，點是線段的中點，，，，，，，，，，當在延長線上時，則，

是線段的中點，，，，，，，，，，，，的長為或．故答案為：或．【點撥】本題考查等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．27．【分析】如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；結合圓周角定理及垂徑定理易得，再通過圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質、三角形內角和定理易得，從而易證可得即勾股定理即可求得在中由三角形三邊關系即可求解．解：如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；，為的外接圓的圓心，，，，，，，在中，，，，即，由作圖可知，在的垂直平分線上，，，又為的外接圓的圓心，，，，，，，，即，，在中，，在中，，即最小值為，故答案為：．

【點撥】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形三邊之間的關系；解題的關鍵是結合的外接圓構造相似三角形．28．3或．【分析】分兩種情況，先證明，再根據(jù)全等三角形的性質即可得出答案．解：如圖，點在的右邊，與都是等邊三角形，，，，，即．在和中，，，，，，，等邊三角形的邊長為3，如圖，點在的左邊，同上，，，，，過點作交的延長線于點，則，，，，在中，，，，或（舍去），，等邊三角形的邊長為，故答案為：3或．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的性質，證明是解題的關鍵．29．【分析】根據(jù)題意，結合圖形依次求出的坐標，再根據(jù)其規(guī)律寫出的坐標即可．解：在平面直角坐標系中，點A在軸上，點B在軸上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均為等腰直角三角形，，根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：點的坐標為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是依次求出的坐標，找出其坐標的規(guī)律．30．2【分析】首先利用等邊三角形和直角三角形的性質分析得到三個全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后設等邊△ABC的邊長為a，AD=x，利用含30°的直角三角形的性質分別求得△ABC和△JHF的面積，從而可得3S△JDA=S△GHI，從而列方程求解．解：延長交于點，是等邊三角形，，，，，同理可得：，，，，，過點作，交于點，設，在中，，，，，，，，過點作，交于點，，，，在中，，，，，過點作，交于點，設，在中，，，，，，，解得：（負值舍去），即的值為2，故答案為：2．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的性質以及含30°的直角三角形的性質，正確添加輔助線，以證明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK為突破口，從而利用等積變換的思想得到3S△JDA=S△GHI是解題關鍵．31．【分析】根據(jù)，可得，從而得到，再由，可得，然后根據(jù)三角形內角和定理，即可求解．解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．32．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內角和定理以及等腰三角形的性質得出，，進而即可求解．解：（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴【點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．33．（1）見分析；（2）【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對等角得出結論；（2）過點E作于F，根據(jù)等腰三角形的性質和含直角三角形的性質求出和，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．解：（1）證明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：過點E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．

【點撥】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，含直角三角形的性質以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關鍵．34．（1）見分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．（1）解：由題意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．當最小時，有的值最小，此時．為等腰直角三角形，．．即的最小值為．【點撥】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．35．（1）；（2）①；②或；【分析】（1）過點C作CG⊥AB于G，先證明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性質和含30度直角三角形的性質，即可求出答案；（2）①過點C作CH⊥AB于H，與（1）同理，證明△EDF≌△CDH，然后證明是等腰直角三角形，即可得到結論；②過點C作CG⊥AB于G，與（1）同理，得△EDF≌△CDG，然