專題13全等模型-倍長中線與截長補短模型（教師卷）

專題13全等模型倍長中線與截長補短模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.例1．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見詳解；（3），理由見詳解【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出，利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關(guān)系可推出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∴∴在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出：，即∴故答案為：；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，同（1）可得出，∵∴在中，∴；（3），理由如下：延長AB至N，使BN=DF，連接CN，∵∴∴∴∵∴∴（SAS）∴∴∴．【點睛】本題考查的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖①中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強．例2．（2023·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析【解析】（1）解：如圖，延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵ABBE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．（2）AC=BF，理由如下：延長AD至點G，使GD=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，作輔助線：延長AD到點E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對等邊證明即可．(2)延長DF至點M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：．證明如下：延長DF至點M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點F為BE的中點，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·河南商丘·一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使MD＝FD，連接MC，……請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點，連接DF，CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；【答案】(1)見解析(2)線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明見解析；【分析】（1）類比材料，運用倍長中線輔助線作法，證得結(jié)論．（2）運用倍長中線輔助線作法，結(jié)合三角形全等證明及等邊三角形性質(zhì)，得出結(jié)論．（1）證明：如圖，延長AD至M，使MD＝FD，連接MC，在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；（2）解：線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明如下：延長DF至點M，使DF＝FM，連接BM、AM，如圖所示：∵點F為BE的中點，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，∵，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，∵，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等邊三角形，∴AD＝DM＝2DF；【點睛】本題考查了倍長中線的輔助線作法，全等三角形的證明，在倍長中線構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．模型2.截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【答案】證明見解析【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結(jié)論.【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長補短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關(guān)鍵.例2．（2023·廣東肇慶·?？家荒＃┱n堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長至F，使，連接，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣西·九年級專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，證明見解析．【分析】（1）在AE上取一點F，使AF=AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG，進而證得△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，從而可證得結(jié)論．【詳解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一點F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案為：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東·九年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；（2）延長到點，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點作于，證明，，進而根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練：1．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問題．【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．【點睛】本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．3．（2022·廣東湛江·?？级＃┮阎喝鐖D，中，E在上，D在上，過E作于F，，，，則的長為___________．【答案】/【分析】在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．想辦法證明，推出，推出即可解決問題．【詳解】解：在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2023秋·江西九江·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．【答案】【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運用SAS證明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在△ABD中運用勾股定理求出BD的長，從而得出BC=2BD．【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，難度中等．題中延長中線的一倍是常用的輔助線的作法．5．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．

【答案】（1），；（2）見解析；（3），【分析】（1）通過證明，得到，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；（2）延長至點，使，連接，通過證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：；（3）延長于，使得，連接，延長交于，證明得到，證明得到，，在通過三角形內(nèi)角和進行角度的轉(zhuǎn)化即可得到．【詳解】（1）解：如圖1，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）證明：如圖2中，延長至點，使，連接，

點是的中點，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）解：結(jié)論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，點是的中點，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三家形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，°，為邊上一點，連接，，為的中點，延長交的延長線于點，交于點，連接交于點．

(1)求證；(2)若，，求證：四邊形為矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，則，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到；（2）由和都是等腰直角三角形得到，則可得到，，進而可得，，于是可判斷四邊形為平行四邊形，加上，則可判斷四邊形為矩形．【詳解】（1）證明：∵∴∴，∵為的中點，∴，在和中，，∴∴，∴為斜邊上的中線∴（2）由（1）知，又，，∴，∴為等腰直角三角形．又由（1）知，∴，，又和都是等腰直角三角形．∴，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵∴平行四邊形為矩形，【點睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、矩形的判斷，掌握矩形的證明步驟先證明是平行四邊形，再證明有直角是解題關(guān)鍵．7．（2023·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，進而求得的取值范圍；（2）如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，證出，再由證明，得出，進而證明結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，,即∵是邊上的中線，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴，即，∴；故答案為；（2）證明：如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，∵∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∴△DCF≌△BCH，∴∴∵∴，∴點A、B、H三點共線∵，∴∴，在和中，，∴（）∴，∵∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．【答案】（1）①見解析；②1＜x＜4；（2）見解析【分析】（1）由AD是△ABC的中線推出CD＝BD，再用SAS證明即可；（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三邊關(guān)系將已求代入解不等式即可；（3）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．用SAS證明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，從而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三邊關(guān)系BE+BG＞EG得證．【詳解】（1）①∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三邊關(guān)系得：，又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．∵D是BC邊上的中點，∴CD＝DB．在△CDF與△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，∵DE⊥DF，∴．

在△EDF與△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意畫輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·北京昌平·九年級校聯(lián)考期中）如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點，E為AB的中點，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的長；（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）2；（2），理由見解析【分析】（1）由已知條件∠BOE＝∠BAO，且公共角，證明△OBE∽△ABO，進而列出比例式，代入數(shù)值即可求得；（2）延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B，證明△AOF≌△DOC，進而可得，即【詳解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E為AB的中點，∴∴，∴（舍負）.（2）線段OE和CD的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下，證明：如圖，延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B.∵∴四邊形AFBO是平行四邊形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，第（2）小問中，根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點，作交外角平分線于點，探究，和的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當(dāng)，，三點共線時，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①；②．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）是定值，①；②．【分析】（1）證明，推出，再根據(jù)角度的和差可得結(jié)論；（2）如圖2，在上取一點，使得，證明是等邊三角形，然后證明，可得，利用線段的和差即可解決問題；（3）如圖3，在上取一點，使得，證明，，，證明是等邊三角形，所以，過點作，，垂足分別為，，根據(jù)，可得的面積的面積，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，所以，，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)與交于點，

，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，在上取一點，使得，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，是外角平分線，，，，，，，，，，，，；（3）解：①，②都是定值，證明如下：如圖3，在上取一點，使得，

和均為正三角形，，，三點共線，，，由（1）知：，，，，，，是等邊三角形，，過點作，，垂足分別為，，，的面積的面積，，，，，，，①；②，，，．綜上所述：①，②都是定值．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出圖形尋找全等三角形．11．（2023秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長到，使，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：在上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；方法：延長到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；（3）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為，連接，過點作于點，證明，和，得出，進而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法：延長到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（