專(zhuān)題31幾何綜合壓軸題（共23道）（學(xué)生版）（02期）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)訓(xùn)練

專(zhuān)題31幾何綜合壓軸題(23道)一、解答題1．(2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題)如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上()，且點(diǎn)、、、在直線(xiàn)的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊的中點(diǎn)，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)(點(diǎn)、不重合)，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn)(點(diǎn)、不重合)，觀(guān)測(cè)、的長(zhǎng)度．(1)如圖，小麗取，滑動(dòng)矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；(2)小麗滑動(dòng)矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的總成立．請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．(2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，連接，，點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，且，將線(xiàn)段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，使得，交于點(diǎn)F．(1)線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系是______．(2)若，，求的長(zhǎng)．(3)求證：．3．(2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，，，點(diǎn)D是射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接，過(guò)點(diǎn)D在左側(cè)作，使，連接，點(diǎn)F，G分別是，的中點(diǎn)，連接，，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，且點(diǎn)D不是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點(diǎn)D在線(xiàn)段上，當(dāng)，時(shí)，求證：．(3)當(dāng)，時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)N．若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．4．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，將線(xiàn)段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，線(xiàn)段交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，與線(xiàn)段交于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．5．(2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題)在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，以線(xiàn)段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，連接，，求的最小值．6．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形是一張紙，其中，小天用該紙玩折紙游戲．游戲1

折出對(duì)角線(xiàn)，將點(diǎn)B翻折到上的點(diǎn)E處，折痕交于點(diǎn)G．展開(kāi)后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為的中點(diǎn)．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到上，折痕為；展開(kāi)后將點(diǎn)B沿過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)翻折到上的點(diǎn)H處；再展開(kāi)并連接后得到圖②，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)特定的角．(1)請(qǐng)你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請(qǐng)你猜想游戲2中的度數(shù)，并說(shuō)明理由．7．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究．延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M．

(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．(3)求的值．8．(2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題)如圖，在紙片中，，，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，連接，將紙片沿所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，射線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，求的面積．9．(2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在中，，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______(用含的式子表示)；(2)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱(chēng)為黃金比．在(1)的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．

10．(2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)如圖，、是兩個(gè)等腰直角三角形，．

(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)求證：；(3)求證：．11．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題)中，，垂足為E，連接，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上，時(shí)，如圖①，求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上，時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上，時(shí)，如圖③，請(qǐng)猜想并直接寫(xiě)出線(xiàn)段AE，EC，BF的數(shù)量關(guān)系；(3)在(1)、(2)的條件下，若，，則_______．12．(2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題)在中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接．，．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段與線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出線(xiàn)段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，連接，求的值．13．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題)【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線(xiàn)，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點(diǎn)P在邊上，則的最小值為_(kāi)______．

14．(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題)在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上(不與點(diǎn)重合)，連接，線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段與線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．15．(2023·貴州·統(tǒng)考中考真題)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)在上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，畫(huà)出射線(xiàn)，并將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中的度數(shù)為_(kāi)______度；(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)(1)所畫(huà)圖形，探究線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)在射線(xiàn)上移動(dòng)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．(2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題)如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．()

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．17．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐【思考嘗試】(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；【實(shí)踐探究】(2)小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，可以用等式表示線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；【拓展遷移】(3)小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)M在上，且，連接，，可以用等式表示線(xiàn)段，的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．

18．(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題)(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察．如圖，在四邊形中，，是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．(2)用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長(zhǎng)圖中的線(xiàn)段交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，求證：．(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．19．(2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線(xiàn)段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)(用含的代數(shù)式表示)．20．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：(1)當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；(2)小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；規(guī)律探究：(3)如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．二、填空題21．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形中，E在邊上，交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)F，于M，的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)分別交，于點(diǎn)N，P，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④若，，則，其中正確的是．

22．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形中，，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時(shí)，；④的最小值是20．其中所