專題287銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（人教版）

專題28.7銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）

A． B．3 C． D．22．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2018·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，則的值為（）

A． B． C． D．5．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，．若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值等于（

）A．10 B．24 C．48 D．506．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m7．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．8．（2021·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，有以下結(jié)論：（其中R為ABC的外接圓半徑）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，則ABC的外接圓面積為（

）A． B． C． D．9．（2019·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．B． C． D．10．（2020·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）規(guī)定：給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對(duì)邊，若，則的值為．12．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）13．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則．14．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，，動(dòng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，連接，，當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)是．15．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEAB，交AC于點(diǎn)E，EFBC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長(zhǎng)為．16．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長(zhǎng)是．17．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)角線軸，交軸于點(diǎn)．若矩形的面積是6，，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：； （2）化簡(jiǎn)：．20．（8分）（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，D為的中點(diǎn)，以為直角邊作含角的，，且點(diǎn)E與點(diǎn)A在的同側(cè)，請(qǐng)用尺規(guī)或三角板作出符合條件的圖形，并直接寫出線段的長(zhǎng)．21．（10分）（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、、，且．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．22．（10分）（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．23．（10分）（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．（1）【嘗試初探】在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）【深入探究】若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．24．（12分）（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；（2）若，求m的值；（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點(diǎn)P，使得，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．參考答案：1．C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．2．C【分析】過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴，設(shè)，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．3．A【分析】證明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的對(duì)稱性得：AE=DE，得出，設(shè)EF=x，則DE=3x，由勾股定理求出再由三角函數(shù)定義即可得出答案．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF，∴EF=AE，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴由矩形的對(duì)稱性得：AE=DE，∴EF=DE，設(shè)EF=x，則DE=3x，∴DF=x，∴tan∠BDE=.故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計(jì)算即可．解：連接，根據(jù)題意，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，，

得，∴點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求k的值．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)，∴，∵．∴，∴∴點(diǎn)C坐標(biāo)∵若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C坐標(biāo)．6．C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.8．A【分析】方法一：先求出∠C，根據(jù)題目所給的定理，,利用圓的面積公式S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過(guò)O作OD⊥AB于D，由三角形內(nèi)角和可求∠C=60°，由圓周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性質(zhì)，∠OAB=∠OBA=，由垂徑定理可求AD=BD=，利用三角函數(shù)可求OA=，利用圓的面積公式S圓=．解：解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，有題意可知，∴，∴S圓=．方法二：設(shè)△ABC的外心為O，連結(jié)OA，OB，過(guò)O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB為弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圓=．故答案為A．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別求出點(diǎn)A1、A2、A3、…的坐標(biāo)，繼而發(fā)現(xiàn)8次為一個(gè)循環(huán)，用2019除以8，看余數(shù)即可求得答案.解：四邊形OABC是正方形，且，，將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，∴點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為1，，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)則，，A4（0，1），A5，A6（1，0），A7，A8（0，1），A9，……，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以…余3，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，規(guī)律題——點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，通過(guò)分析正確得出坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.10．C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．解：（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)撥】本題屬于新定義問(wèn)題，主要考查了三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，理解題中公式.11．解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．12．【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．解：∵矩形，，以B為圓心，的長(zhǎng)為半輕畫弧，交于點(diǎn)E，，，在中，，，，，S陰影．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說(shuō)明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=

∴．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說(shuō)明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CN延長(zhǎng)線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=102x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而可得BE；解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CN延長(zhǎng)線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=BN?tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，則∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CMCN=102x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5（舍去）或x=，∵BE=BN+NE=x+102x=10x，∴BE=；故答案為：；【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識(shí)；此題綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，則此時(shí)BF＝，AB＝2BF，即可解決問(wèn)題．解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），過(guò)點(diǎn)（0，0），∴x＝4時(shí)，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DEAB，∴AB＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問(wèn)題，拋物線的對(duì)稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，求出BC＝4是解題的關(guān)鍵．16．【分析】如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得是的直徑，，設(shè)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設(shè)則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過(guò)解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．18．【分析】方法一：根據(jù)的面積為，得出，，在中，，得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)的幾何意義，即可求解．方法二：根據(jù)已知得出則，即可求解．解：方法一：∵，∴設(shè)，則，∴∵矩形的面積是6，是對(duì)角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對(duì)角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設(shè)，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值，零指數(shù)冪和特殊角三角形函數(shù)值的計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值等等，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．20．作圖見分析，線段的長(zhǎng)為或【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等邊三角形的判定證明為等邊三角形，可得，，分和兩種情況，利用等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角形和勾股定理求解即可．解：如圖，當(dāng)時(shí)，

∵在中，，，∴，又，∴，，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴是等邊三角形，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，

∵，∴在中，，則，在中，，則，綜上，滿足條件的線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和直角三角形的相關(guān)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，連接OA，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再證明即可證明結(jié)論；（2）先證明，得到，令半徑，則，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；（3）先求出，在中，，，解得，，證明，得到，則．（1）解：如圖所示，連接OA，∵是直徑，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，由知，令半徑，則，，在中，，在中，，即；（3）解：在（2）的條件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，結(jié)合O是的中點(diǎn)，利用“AAS”得出，得出，即可證明是平行四邊形；（2）根據(jù)，E是中點(diǎn)，得出，即可得出，即，根據(jù)，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長(zhǎng)，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出．（1）解：（1）∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，，∵O是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵，E是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）或；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4xa，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當(dāng)FH=BH時(shí)，當(dāng)FH=