專題287銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題28.7銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D是AC上一點，連接BD．若，，則CD的長為（

）

A． B．3 C． D．22．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2018·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術”給出的弧長的近似值計算公式：．當，時，則的值為（）

A． B． C． D．5．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點，．若反比例函數(shù)經(jīng)過點C，則k的值等于（

）A．10 B．24 C．48 D．506．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m7．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．8．（2021·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結論：（其中R為ABC的外接圓半徑）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，則ABC的外接圓面積為（

）A． B． C． D．9．（2019·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形OABC繞點O順時針旋轉后得到正方形，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2019次得到正方形，那么點的坐標是（

）A．B． C． D．10．（2020·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）規(guī)定：給出以下四個結論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為．12．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）13．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，點C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側作正方形、，連接、，則．14．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點在射線上的動點，連接，作，，動點在延長線上，，連接，，當，時，的長是．15．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DEAB，交AC于點E，EFBC，交AB于點F．設BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2，3），則AB的長為．16．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長是．17．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：； （2）化簡：．20．（8分）（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在中，，，，D為的中點，以為直角邊作含角的，，且點E與點A在的同側，請用尺規(guī)或三角板作出符合條件的圖形，并直接寫出線段的長．21．（10分）（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點，點B是延長線上一點，連接、、，且．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．22．（10分）（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，于點D，E，F(xiàn)分別是的中點，O是的中點，的延長線交線段于點G，連結，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當，時，求的長．23．（10分）（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．（1）【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．（2）【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．24．（12分）（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．（1）求A，B，C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；（2）若，求m的值；（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．參考答案：1．C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點D作于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點D作于點E，如圖，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點撥】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關鍵．2．C【分析】過點C作AB的垂線，構造直角三角形，利用勾股定理求解即可．解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴，設，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是能構造出直角三角形．3．A【分析】證明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的對稱性得：AE=DE，得出，設EF=x，則DE=3x，由勾股定理求出再由三角函數(shù)定義即可得出答案．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵點E是邊BC的中點，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF，∴EF=AE，∵點E是邊BC的中點，∴由矩形的對稱性得：AE=DE，∴EF=DE，設EF=x，則DE=3x，∴DF=x，∴tan∠BDE=.故選A．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關鍵．4．B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．解：連接，根據(jù)題意，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，，

得，∴點M，N，O三點共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．故選B．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．5．C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點，將點C坐標代入解析式可求k的值．解：如圖，過點C作于點E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點，∴，∵．∴，∴∴點C坐標∵若反比例函數(shù)經(jīng)過點C，∴故選C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關鍵是求出點C坐標．6．C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關鍵．7．B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構造的直角三角形，設AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選：B.【點撥】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是根據(jù)閱讀構造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.8．A【分析】方法一：先求出∠C，根據(jù)題目所給的定理，,利用圓的面積公式S圓=．方法二：設△ABC的外心為O，連結OA，OB，過O作OD⊥AB于D，由三角形內(nèi)角和可求∠C=60°，由圓周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性質(zhì)，∠OAB=∠OBA=，由垂徑定理可求AD=BD=，利用三角函數(shù)可求OA=，利用圓的面積公式S圓=．解：解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，有題意可知，∴，∴S圓=．方法二：設△ABC的外心為O，連結OA，OB，過O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB為弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圓=．故答案為A．【點撥】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關鍵．9．A【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)分別求出點A1、A2、A3、…的坐標，繼而發(fā)現(xiàn)8次為一個循環(huán)，用2019除以8，看余數(shù)即可求得答案.解：四邊形OABC是正方形，且，，將正方形OABC繞點O順時針旋轉后得到正方形，∴點A1的橫坐標為1，點A1的縱坐標為1，，繼續(xù)旋轉則，，A4（0，1），A5，A6（1，0），A7，A8（0，1），A9，……，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以…余3，點的坐標為，故選A．【點撥】本題考查了旋轉的性質(zhì)，規(guī)律題——點的坐標的變化規(guī)律，通過分析正確得出坐標的變化規(guī)律是解題的關鍵.10．C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結論．解：（1），故此結論正確；（2），故此結論正確；（3）故此結論正確；（4）==，故此結論錯誤.故選：C．【點撥】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎知識，理解題中公式.11．解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．在中，，，．12．【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出，進而求出，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．解：∵矩形，，以B為圓心，的長為半輕畫弧，交于點E，，，在中，，，，，S陰影．故答案為：．【點撥】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知識點并熟練運用是解題的關鍵．13．【分析】設BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、∠GCD=ECD=45°，進而說明△ECG為直角三角形，最后運用正切的定義即可解答．解：設BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=

∴．故答案為．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解答本題的關鍵．14．【分析】過點C作CN⊥BE于N，過點D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設BN=x，則CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由點C、M、D、E四點共圓可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=102x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，進而可得BE；解：如圖，過點C作CN⊥BE于N，過點D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設BN=x，則CN=BN?tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，則∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴點C、M、D、E四點共圓，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CMCN=102x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5（舍去）或x=，∵BE=BN+NE=x+102x=10x，∴BE=；故答案為：；【點撥】本題考查了三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識；此題綜合性較強，正確作出輔助線是解題關鍵．15．【分析】根據(jù)拋物線的對稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當BD＝2時，?BDEF的面積為3，則此時BF＝，AB＝2BF，即可解決問題．解：∵拋物線的頂點為（2，3），過點（0，0），∴x＝4時，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，當BD＝2時，?BDEF的面積為3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DEAB，∴AB＝2BF＝，故答案為：．【點撥】本題主要考查了動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識，求出BC＝4是解題的關鍵．16．【分析】如圖，連接，設交于點，根據(jù)題意可得是的直徑，，設，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．解：如圖，連接，設交于點，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點撥】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．17．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進一步求得結果．解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關鍵是作輔助線．18．【分析】方法一：根據(jù)的面積為，得出，，在中，，得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)的幾何意義，即可求解．方法二：根據(jù)已知得出則，即可求解．解：方法一：∵，∴設，則，∴∵矩形的面積是6，是對角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)絕對值，零指數(shù)冪和特殊角三角形函數(shù)值的計算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的混合計算法則求解即可．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題主要考查了分式的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值等等，熟知相關計算法則是解題的關鍵．20．作圖見分析，線段的長為或【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等邊三角形的判定證明為等邊三角形，可得，，分和兩種情況，利用等邊三角形的性質(zhì)，結合銳角三角形和勾股定理求解即可．解：如圖，當時，

∵在中，，，∴，又，∴，，∵D為的中點，∴，∴為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴是等邊三角形，∴；如圖，當時，

∵，∴在中，，則，在中，，則，綜上，滿足條件的線段的長為或．【點撥】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形和直角三角形的相關性質(zhì)是解答的關鍵．21．（1）見分析；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，連接OA，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，再證明即可證明結論；（2）先證明，得到，令半徑，則，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；（3）先求出，在中，，，解得，，證明，得到，則．（1）解：如圖所示，連接OA，∵是直徑，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，由知，令半徑，則，，在中，，在中，，即；（3）解：在（2）的條件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了圓切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關知識是解題的關鍵．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是，的中點，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，結合O是的中點，利用“AAS”得出，得出，即可證明是平行四邊形；（2）根據(jù)，E是中點，得出，即可得出，即，根據(jù)，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出．（1）解：（1）∵E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，∴，，∵O是的中點，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵，E是中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴．【點撥】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關鍵．23．（1）見分析；（2）或；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4xa，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=