專題138三角形中的邊角關(guān)系命題與證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（滬科版）（原卷版）

專題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 1【題型3利用三角形的中線求長度】 2【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】 3【題型5三角形的穩(wěn)定性】 4【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】 5【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】 6【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】 8【題型9命題與證明】 9【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）一個三角形的3邊長分別是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周長不超過39cmA．53<x<5 B．5<x≤8【變式11】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，b，c滿足b-2+(c-3)2【變式12】（2023春·河南鄭州·八年級鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式13】（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）三角形的三邊長分別為2，2x-1，5，則x【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)校考期末）如圖，用五個螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式21】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【變式22】（2023秋·新疆和田·八年級統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【變式23】（2023春·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）以某公園西門O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，東門A和景點B的坐標(biāo)分別是(6,0)和(4,4)．如圖1，甲的游覽路線是：O→B→A，其折線段的路程總長記為l1．如圖2，景點C和D分別在線段OB,BA上，乙的游覽路線是：O→C→D→A，其折線段的路程總長記為l2．如圖3，景點E和G分別在線段OB,BA上，景點

A．l1=l2=l3 B．l1<l【題型3利用三角形的中線求長度】【例3】（2023春·云南·八年級云南師大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時，求（2）若AC=12cm，能否求出【變式31】（2023秋·全國·八年級期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3，AB與AC的和為13，則AC的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式32】（2023秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點O，CO的延長線交AB于點F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長．【變式33】（2023秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC(1)△ABE(2)AD的長度；(3)△ACE與△【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段【變式41】（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC(1)畫出△ABC的三條高AD(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則【變式42】（2023春·上海寶山·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC

(1)畫△ABC邊AB上的高CD(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點C到直線AB的距離為_______，△【變式43】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期中）如圖是由邊長都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點均在格點上，請按以下要求畫圖．①所畫頂點必須在格點上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD(2)在圖乙中畫出一個Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△(3)在圖丙中畫出一個銳角三角形△MBC，且面積為15【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2023秋·北京·八年級?？计谥校┫铝袌D形中不具備穩(wěn)定性的是（

）A． B．C． D．【變式51】（2023秋·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，某中學(xué)的電動伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【變式52】（2023秋·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃危辽僖籴攷赘緱l（

）A．4 B．2 C．1 D．3【變式53】（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實用性等因素，需再加竹條與其頂點連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實用．（3）在上面的方案設(shè)計過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結(jié)論：①△ABE的面積＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【變式62】（2023春·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個結(jié)論：①AH⊥EF；②∠A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式63】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線（1）若∠A=40°，（2）若∠A=α，∠B=β，求（3）當(dāng)線段CD沿DA方向平移時，平移后的線段與線段CE交于G點，與AB交于H點，若∠A=α，∠B=β，求∠【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】【例7】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長AB、AC

【特殊化思考】若∠A（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠（2）當(dāng)F在∠A外部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無論點F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖

【一般化探究】若∠A（4）若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD【變式71】（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，CD∥AB，點E在BD延長線上，且∠BEF=70°，點H在AB上，HF交

(1)求證：∠AHF(2)若∠AHF-∠CDE【變式72】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，AE是角平分線，

(1)若m=90時，如圖所示，求證：∠(2)若m≠90時，試問∠CFE=∠CEF還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請比較【變式73】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE

(1)如圖1，當(dāng)DE∥AC(2)若∠C=∠B+10°，①如圖2，當(dāng)DE⊥BC時，求②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，求x【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】【例8】（2023秋·河北邢臺·八年級校考期中）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°．(1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)如這個多邊形是正多邊形，則它的每一個內(nèi)角是___________．【變式81】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°．（1）求這個多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（2）從該多邊形的一個頂點作對角線，則所作的對角線條數(shù)為，此時多邊形中有個三角形．【變式82】（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）按要求完成下列各小題．(1)一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°，求這個多邊形的邊數(shù)．(2)如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，求∠EAF【變式83】（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出【題型9命題與證明】【例9】（2022春·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）手工課上，老師將同學(xué)們分成A，B兩個小組制作兩個汽車模型，每個模型先由A組同學(xué)完成打磨工作，再由B組同學(xué)進(jìn)行組裝完成制作，兩個模型每道工序所需時間如下：工序時間模型打磨（A組）組裝（B組）模型19分鐘5分鐘模型26分鐘11分鐘則這兩個模型都制作完成所需的最短時間為分鐘．【變式91】（2023春·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）下列命題：①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a∥b，b∥④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a⊥b，b⊥其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式92】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┯梅醋C法證明“一個三角形中最多有一個角是直角或鈍角”時