專(zhuān)題274相似（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（人教版）

專(zhuān)題27.4相似（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022上·河北保定·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，D為中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得，與交于點(diǎn)F，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B，C在x軸上，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使，連接BE交y軸于點(diǎn)F，連接CF，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．43．（2022上·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖△ACB，∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，CD平分∠BCO交AB于點(diǎn)D，作AE⊥CD分別交CO、BC于點(diǎn)G，E．記△AGO的面積為S1，△AEB的面積為S2，當(dāng)＝時(shí)，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，作如下作圖；①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)P；③作射線交于點(diǎn)D；根據(jù)以上作圖，判斷下列結(jié)論正確的有（

）

①②③④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④5．（2023上·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，為半圓的直徑，，分別切于，兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，連接，，下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．B．C． D．6．（2020下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將矩形OABC如圖放置，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）7．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)B、C是線段上的點(diǎn)，、、都是等邊三角形，且，，已知與的相似比為．則圖中陰影部分面積為（

）

A．2 B． C． D．8．（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別在，上，沿把進(jìn)行翻折，使點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊上．若，則（

）

A． B． C． D．9．（2023上·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形沿著直線折疊，使點(diǎn)與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)重合．交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．交于點(diǎn)于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①，②，③，④．正確的是（

）A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④10．（2022·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AE交BC于點(diǎn)G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，則AE＝（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022下·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）矩形中，，，點(diǎn)是邊上三等分點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．12．（2022上·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，，，是中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則．

13．（2023下·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，，交于點(diǎn)F，若，，則邊長(zhǎng)為．

14．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，，，，頂點(diǎn)在線段的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．

15．（2023上·浙江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F在邊上，點(diǎn)G在邊上，連接分別與交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)，若，則，．（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）16．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料，邊為，邊上的高為，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為和的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長(zhǎng)為的邊在上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有．17．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，，垂足為，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)作交于，連接，若，，則長(zhǎng)的最小值為．18．（2023上·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如上圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)，，在軸上，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊作正方形；延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，以為邊作正方形…，若，則正方形的面積是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022下·北京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于．（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求的度數(shù)；連接，請(qǐng)用等式表示線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（8分）（2022上·廣東深圳·九年級(jí)南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)校考期中）如圖，王海同學(xué)為了測(cè)量校園內(nèi)一棵大樹(shù)的高度，他走到了校園的圍墻外（如圖所示），然后他沿著過(guò)點(diǎn)F與墻垂直的直線從遠(yuǎn)處向圍墻靠近至B處，使大樹(shù)恰好被圍墻擋住頂端C和樹(shù)的頂端E時(shí)，三點(diǎn)在同一條直線上．若米，米，米，王海身高1.6米．求大樹(shù)的高度．21．（10分）（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：；（2）連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：．22．（10分）（2023上·廣西賀州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊為，點(diǎn)落在上．（1）求證：；（2）若，，求的值．23．（10分）（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：中，，，時(shí)線，點(diǎn)D在射線上，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（1）如圖1，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)F，若，當(dāng)時(shí)；①°；②求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)G，若，，試求的面積．24．（12分）（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧二中?？计谥校┨骄颗c證明．已知四邊形中，M，N分別是邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)Q．【初探】（1）①如圖1，若四邊形是正方形，且于點(diǎn)Q，則；②如圖2，若四邊形是矩形，且，求證：；【延伸】（2）如圖3，若四邊形是平行四邊形，且，求證：；【拓展】（3）如圖4，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．參考答案：1．C【分析】過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,則為的中點(diǎn),,得出是的中位線，由三角形中位線定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性質(zhì)證出,由證明,得出，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出得出，由平行線分線段成比例定理得出,因此,即可得出結(jié)果.解：過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),連接,如圖所示:

∵為中點(diǎn),,∴為的中點(diǎn),,∴是的中位線,∴,∵,∴D,∵,∴,在和中,，∴,∴,∵,為中點(diǎn),∴∴,，∴,∵,∴,即,∴,∴,，故選:.【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2．B【分析】設(shè)交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，利用平行線分線段成比例推出和長(zhǎng)度，從而求出長(zhǎng)度，即可求出的面積.解：設(shè)交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則.在雙曲線上，..四邊形為矩形，..，.，，，，..故答案選：B.【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義、矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng).3．D【分析】連接BG，過(guò)點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，首先證明，再利用平行線分線段成比例求解即可．解：如圖所示，連接BG，過(guò)點(diǎn)O作OT∥AE交BC于點(diǎn)T，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO=OB，∴，∵，∴，∴，∵OT∥AE，AO=BO，∴ET=TB，∴OT=AE，∴，∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，∴∠DCG=∠DCE，∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，∴∠CGE=∠CEG，∴CG=CE，∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，∴∠COT=∠CTD，∴CO=CT，∴OG=ET，∵GE∥OT，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】題目主要考查平行線分線段成比例，三角形的面積，三角形中位線定理等，理解題意，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，進(jìn)而得到，再利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到，利用等量代換得到，可得點(diǎn)D是的黃金分割點(diǎn)，最后根據(jù)黃金分割的定義可得，即可解答．解：,，，，故①正確，由題意得：平分，，，，，，，，故②正確，，，，，，，故③正確，，，點(diǎn)D是的黃金分割點(diǎn)，，，綜上所述，正確的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，黃金分割，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】此題考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積計(jì)算等知識(shí)與方法，連接，由分別切于兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，，則，可判斷正確；由是的直徑得，，則，于是有，由切線長(zhǎng)定理得，，則，因此，可判斷正確；根據(jù)“”可分別證明，，則，可判斷正確；先由，，證明，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，故錯(cuò)誤；正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，

∵分別切于兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，∴，，∴，故正確；∵是的直徑，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故正確；∵是的半徑，∴，∴，，在和中，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故正確；∵，，∴，∴，∴，故錯(cuò)誤；故選：．6．B【分析】首先構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出CM，MO＝3，進(jìn)而得出答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（3，）．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).構(gòu)造直角三角形，正確得出CM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.7．B【分析】本題主要考查了等邊三角形，含的直角三角形，相似三角形等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得；設(shè)與、分別相交于點(diǎn)M、N，根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出，然后求出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，從而得到，然后求出，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．解：∵、都是等邊三角形，∴，∴，即，解得；如圖，設(shè)與、分別相交于點(diǎn)M、N，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，即，解得，∴，∵，∴，∴，∴，即陰影部分面積為．故選：B．

8．D【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，連接，，設(shè)，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得，，再通過(guò)證明，根據(jù)周長(zhǎng)比等于相似比即可求出的值，熟知等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．解：連接，，

∵，∴設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知：是線段的垂直平分線，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，故選：．9．A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤.解：由折疊性質(zhì)可知:,∵,∴.∴.∴.故①正確;∵,∴.∵,∴.故②正確;∵,∴.∵,故③正確；∵,∴.，，，，與不相似.故④錯(cuò)誤；故選:．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10．B【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定可得四邊形和四邊形都是矩形，設(shè)，則，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，同理可得：四邊形是矩形，，設(shè)，則，，，，即，解得，，，，，，，，在和中，，，，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的根，且符合題意；不是所列分式方程的根，舍去，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．11．或【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，即可得出答案．解：四邊形是矩形，，，，，，，點(diǎn)是邊上三等分點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，

當(dāng)時(shí)，，，∵，，，，②如圖2，

當(dāng)時(shí)，，，∵，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．/【分析】作交的延長(zhǎng)線于，令、交于點(diǎn)，由勾股定理可得，，由可得，從而得到，，證明得到，從而得到，證明，得到，即可得到答案．解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，令、交于點(diǎn)，，，，在中，，，是中點(diǎn)，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、三角形面積的計(jì)算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．【分析】連接，由矩形的性質(zhì)可得，即可得到，即，再由，可得，得到，由平行線分線段成比例可得，求得，最后在和中利用勾股定理列方程求解即可．解：連接，

∵矩形，∴，，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵在中，中，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題綜合考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，難度比較大，解題的關(guān)鍵是有得到．14．【分析】過(guò)點(diǎn)C作于F，延長(zhǎng)到H，使得，連接，證明，得到，則，再求出，利用三線合一定理得到，同理可證，進(jìn)一步證明，得到，由勾股定理得，則．解：過(guò)點(diǎn)C作于F，延長(zhǎng)到H，使得，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，同理可證，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，證明，推出，再證明，推出，即可求得；設(shè)，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解一元二次方程即可求解．解：由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得，，，，，∴，∴，.∴，∵，∴，又，，∴，∵，不妨設(shè)，則，，∴，∴；設(shè)，則，∵，，∵，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴，∴，∴，故答案為：；．16．6【分析】利用求得，然后求得，這樣就可以計(jì)算得小長(zhǎng)方形一共有4層，然后再次利用相似比，可求得每層可分割幾個(gè)小長(zhǎng)方形，最后確定小長(zhǎng)方形的總數(shù)即可.解：如圖：當(dāng)最上層的小長(zhǎng)方形的一邊與AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)，∴∴，且，，∴∴∵小長(zhǎng)方形的寬為∴能分割四層小長(zhǎng)方形設(shè)最底層的上一層的靠近點(diǎn)A的邊為x根據(jù)三角形相似可得：解得，正好能分割兩個(gè)小長(zhǎng)方形再上一層靠近點(diǎn)A的邊就會(huì)小于，因此只能分割一個(gè)小長(zhǎng)方形，且最上層分割了一個(gè)小長(zhǎng)方形∴按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有個(gè)故答案為6【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的相似在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠靈活應(yīng)用相似比求解對(duì)應(yīng)的邊是解決問(wèn)題的關(guān)鍵17．【分析】設(shè)DE交AP于點(diǎn)Q，DE交BC于點(diǎn)H，根據(jù)，確定點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，得到當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，PE最小，此時(shí)，點(diǎn)Q、點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，利用勾股定理求出CP，再證明△CDP≌△BPE，利用勾股定理求出答案．解：設(shè)DE交AP于點(diǎn)Q，DE交BC于點(diǎn)H，∵，∴，∴點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，PE最小，此時(shí)，點(diǎn)Q、點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，∴，,∴，∵AD∥BF，∴△CPD∽△BPE，∵，∴△CDP≌△BPE，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定，正確理解點(diǎn)Q的位置與點(diǎn)P的位置確定PE的最小值位置是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先求出，再證明，得到，，，再證明，得到，從而得到正方形的面積為，正方形的面積為，正方形的面積為，……，根據(jù)規(guī)律即可求解．解：∵正方形與正方形是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，同理可得，∴∴∴正方形的面積為，正方形的面積為，正方形的面積為，……∴正方形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題為位似的實(shí)際應(yīng)用，考查了位似的定義，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，理解題意，根據(jù)相似三角形和正方形的知識(shí)分別求出正方形的邊長(zhǎng)，從而表示出正方形的面積并發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．19．（1）①見(jiàn)詳解②；（2），證明見(jiàn)詳解【分析】（1）①依照題意，畫(huà)出圖形；②由等腰三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可求解；（2）連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由“”可證，得，證得是等腰直角三角形得到，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，即可證得結(jié)論．（1）解：①補(bǔ)畫(huà)圖形，如下圖所示；

②由對(duì)稱(chēng)可得，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2），證明如下：連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如下圖，

∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，由（1）可知，，又∵，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線截線段成比例等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．20．大樹(shù)的高度為8.6米【分析】如圖，作于H，交于G，則，；然后再證明，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．解：如圖，作于H，交于G，則，，∵，∴，∴=，即=，∴，∴（m）．答：大樹(shù)的高度為8.6米．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．21．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行線的性質(zhì)可得，，證明，可得，結(jié)合得到四邊形是矩形，得到，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出，得到，即可得證；（2）連接，證明四邊形是平行四邊形，得到，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得證．解：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

，，，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形，，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2）證明：如圖，連接，

，在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴四邊形是平行四邊形，，，，由（1）可得：，，∴是的垂直平分線，．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活應(yīng)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．22．（1）見(jiàn)分析；（2）9【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，在中可得，再由可得，進(jìn)而可得即可證明結(jié)論；（2）由可得，然后說(shuō)明可得，然后將代入計(jì)算即可．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．在中，，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形