專題24圓（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練

專題2.4圓（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，半徑為的圓中有一個內(nèi)接矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若矩形的面積為，則線段的長為

A． B． C． D．2．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，則下列說法不正確的是（

）

A．平分B．點(diǎn)A，，在同一條直線上C．若，則D．若，則3．如圖，中，是線段上的一個動點(diǎn)，以為直徑畫分別交于，連接，則線段長度的最小值為（）

A． B． C． D．4．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，E為上一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在半徑為1的上任取一點(diǎn)A，連續(xù)以1為半徑在上截取，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交于F．則面積是（）

A． B． C． D．6．如圖，等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，則的長為（

）

A． B． C． D．7．如圖，是圓的直徑，是切線，是切點(diǎn)，弦，與的延長線交于點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．8．如圖，C是半圓O上一點(diǎn)，是半圓O的直徑，，D是垂足，，以為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．9．如圖，為直徑，弦且過半徑的中點(diǎn)H，過點(diǎn)A的切線交的延長線于G，且，點(diǎn)E為上一動點(diǎn)，于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長是（

）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，為等邊的外接圓，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動（不與點(diǎn)重合），連接．則的度數(shù)為．若的面積是，則的最大值是．

12．已知在中，直徑為，弦為，的平分線交于D，交于E，則，．13．如圖，半圓的直徑為15，弦為9，弦平分，則的長是．14．如圖，在中，AB是直徑，弦于點(diǎn)E，于點(diǎn)M，CF交AB，BD分別于點(diǎn)G，H，，若，，則BM的長為．15．如圖，，半徑為的與角的兩邊相切，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向角的兩邊作垂線，垂足分別為，，設(shè)，則的取值范圍是．16．如圖，已知是的直徑，F(xiàn)是上一點(diǎn)，切于點(diǎn)E，連接交的切線于點(diǎn)C．交的延長線于點(diǎn)D．，，若點(diǎn)G為上一點(diǎn)，則最小值為．17．四邊形中，，，且，．以為圓心，為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)，若點(diǎn)為弧上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)I為的內(nèi)心，連接，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)E時，則內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為．

18．如圖，，點(diǎn)在射線上的動點(diǎn)，連接，作，，動點(diǎn)在延長線上，，連接，，當(dāng)，時，的長是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接、、、，與交于點(diǎn)Q．（1）若，則______；（2）作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P．求證：P是線段的中點(diǎn)；（3）若，，求的長．20．（8分）如圖，是的內(nèi)接三角形，直徑，，點(diǎn)D為線段上一個動點(diǎn)（不運(yùn)動至端點(diǎn)A、C），作于F，連接，并延長交于點(diǎn)H，連接．（1）當(dāng)經(jīng)過圓心O時，求的長；（2）求證：；（3）求的最大值．21．（10分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接．

（1）求證：；（2）已知．①求的半徑長；②若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長．22．（10分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，已知，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，（點(diǎn)不與、重合），連結(jié)并延長與交于點(diǎn)，連結(jié)、、．

（1）求的長．（2）若，直接寫出的長．（3）①若點(diǎn)在，之間（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求證：．②若點(diǎn)在，之間（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求與滿足的關(guān)系．23．（10分）如圖，是的直徑，是半圓上的一點(diǎn)，平分，垂足為，交于，連接．（1）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的長；（3）若是弧的中點(diǎn)，的半徑為5，求圖中陰影部分的面積．24．（12分）如圖1，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)，分別對應(yīng)點(diǎn)，，且滿足，，三點(diǎn)在同一條直線上．連接交于點(diǎn)，的外接圓與交于，兩點(diǎn)．

（1）求證：是切線；（2）如圖2，連接，，若，判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的長．參考答案：1．A【分析】本題主要考查圓與勾股定理的綜合應(yīng)用；連接，，，根據(jù)圓周角定理，結(jié)合已知條件易證得為的直徑，，則，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等及勾股定理可得，，設(shè)，，其中，利用勾股定理及矩形面積公式列得方程，解方程求得，的長度，再結(jié)合可證得，則，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可．解：如圖，連接，，四邊形為矩形，，為的直徑，，的半徑為，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，，其中，則，解得：或舍去，即，，，，，，，，，解得：或，故選：A．2．C【分析】根據(jù)圓周角、弦、弧之間的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)A選項(xiàng)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可判斷B選項(xiàng)；先求出，由旋轉(zhuǎn)可知，，進(jìn)一步得到，，作于點(diǎn)H，則，則，進(jìn)一步得到，則，即可判斷C選項(xiàng)；在截取，連接，證明是等邊三角形，得到，由四邊形是的內(nèi)接四邊形即可得，即可判斷D選項(xiàng)．解：A．∵，∴，∴，∴平分，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴點(diǎn)A，，在同一條直線上；故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵，∴，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，，∴，，作于點(diǎn)H，則，

∴，∴，∴，故選項(xiàng)錯誤，符合題意；D．在截取，連接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴,故選項(xiàng)正確，故選：C【點(diǎn)撥】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．3．B【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時，直徑最短，如圖所示，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，由為等腰直角三角形，則，即此時圓的直徑為，再根據(jù)圓周角定理可得到，則在中，利用銳角三角函數(shù)可計(jì)算出，然后根據(jù)垂徑定理即可得到．解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時，直徑最短，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：

在中，，，，即此時圓的直徑為，，而，，在中，，，，，即線段長度的最小值為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱舜咕€段最短和解直角三角形．4．D【分析】連接，得到為等腰直角三角形，得到，圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，推出，根據(jù)為定角，得到點(diǎn)的軌跡為三角形外接圓上一點(diǎn)，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的長度最短，為進(jìn)行求解即可．解：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡為三角形外接圓上一點(diǎn)，∴，∵，∴，∴過點(diǎn)作，則：，∵，∴，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，的長度最短，為；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查求線段的最小值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的軌跡，利用“一箭穿心”，求解即可．本題的綜合性強(qiáng)，難度大，屬于常見的壓軸題．5．D【分析】連，，，，，過A作于G點(diǎn)，連交于N，連，如圖，證明為等邊三角形，可得，證明為的直徑，，結(jié)合作圖可得：，，可得，過O點(diǎn)，證明為等腰直角三角形，可得，，在中，，則，可得，，在中，，可得．解：連，，，，，過A作于G點(diǎn)，連交于N，連，如圖，

∵，∴為等邊三角形，∴，∴弧的度數(shù)為，又∵，∴，∴弧的度數(shù)為，，∴為的直徑，，結(jié)合作圖可得：，，∴，過O點(diǎn)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，在中，，則，∴，，在中，，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓心角，弧，圓周角之間的關(guān)系，垂徑定理的應(yīng)用，解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練的理解尺規(guī)作圖的含義是解本題的關(guān)鍵．6．B【分析】連接，過點(diǎn)作交延長線于，在上取一點(diǎn)使，證，在中求出，，進(jìn)而在中由勾股定理得，則，證為等邊三角形得，據(jù)此可證，進(jìn)而得：：，由此得，據(jù)此可得的長．解：連接，過點(diǎn)作交延長線于，在上取一點(diǎn)，使，如圖：

為等邊三角形，，，，又四邊形內(nèi)接于，，，，在中，，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，，，，為等邊三角形，，，，又，，，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線，靈活運(yùn)用三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．7．B【分析】連接OD，由及，即可得到，從而可證得，即可證得直線是的切線，進(jìn)而根據(jù)，可得，設(shè)半徑為，,在中，勾股定理求得，即可求解．解：證明：如圖，連接OD，

，．又，，，．在與中，，，，又，，是的切線；∴，設(shè)半徑為，,則，∵，∴，∴，則，在中，，∴，解得：，∴；【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】連接，證可得，再由即可求解．解：連接，∵為圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，則故選：A．

【點(diǎn)撥】本題主要考查求不規(guī)則陰影部分面積、相似三角形的證明及性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】連接，，由，利用垂徑定理得到H為的中點(diǎn)，證明，可求圓的半徑，在直角三角形中，由與的長，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而確定出的長，由求出的長，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，由垂直于，得到三角形始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓上，當(dāng)E位于點(diǎn)B時，，此時F與H重合；當(dāng)E位于點(diǎn)C時，此時F與C重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義求出的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長．解：連接，，∵，∴H為的中點(diǎn)，即，∵是的切線，∴，又，∴，∴即，

∴，∴或（不符合題意，舍去）∴，，∴，∵，

∴始終為直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓上，當(dāng)E位于點(diǎn)B時，，此時F與H重合；當(dāng)E位于點(diǎn)C時，此時F與C重合，∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長的長，在中，，∴，∴，∴所對圓心角的度數(shù)為，∵直徑，∴的長，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長的長為．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為的長是解本題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長線時，OP取得最小值，OP=CPOC，過O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的線段上，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時，OP取得最小值，過O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CPOC=．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．11．/度【分析】先利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，推出點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，得到是等邊三角形，可得當(dāng)為直徑時，最大，再結(jié)合等邊三角形的面積即可得到直徑，從而可得答案．解：∵為等邊的外接圓，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動，∴，，如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，

∴，，，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，∴是等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)為直徑時，最大，如圖，連接，并延長交于，則，，，，∴，解得：，∴，，∴直徑為，∴最大值為；故答案為：，【點(diǎn)撥】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.12．【分析】根據(jù)圓周角定理及勾股定理可得的長，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形是正方形，設(shè)，由三角形面積公式可求出x的值，及的值，再證，根據(jù)相似比可求出的長，進(jìn)而求出的長．解：是的直徑，，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，；如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形是正方形，設(shè)，由，得，即，解得，，，即，又，，，即，解得，，，，故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，及相似三角形的判定和性質(zhì)．第二問有一定難度，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造正方形．13．【分析】連接，與相交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得到，利用勾股定理計(jì)算出，再利用垂徑定理得出，則，，，再利用勾股定理計(jì)算出，再計(jì)算出即可．解：如圖，連接，與相交于點(diǎn)，，為直徑，，在中，，弦平分，，，，，，，在中，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑，也考查了垂徑定理和勾股定理．14．【分析】連接，設(shè)、交于點(diǎn)N，證明，得出，證明，得出，證明，得出，，證明，得出，求出，即可得出答案．解：連接，設(shè)、交于點(diǎn)N，如圖所示：∵，，∴，∴，∵，為直徑，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握基本的性質(zhì)和判定，求出．15．【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；設(shè)半徑為的與角的兩邊相切于，，連接，，延長交于，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，如圖，延長交于，推出與是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，求得，當(dāng)與相切且點(diǎn)在圓心的右側(cè)時，有最大值，連接，則四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得；如圖，當(dāng)與相切且點(diǎn)在圓心的，左側(cè)時，有最小值，同理可得于是得到結(jié)論．解：設(shè)半徑為的與角的兩邊相切于，，如圖，連接，，延長交于，，，是直角三角形，，，，，，如圖，延長交于，，，，，，與是直角三角形，，，，當(dāng)與相切且點(diǎn)在圓心的右側(cè)時，有最大值，連接，則四邊形是正方形，，，（；如圖，當(dāng)與相切且點(diǎn)在圓心的左側(cè)時，有最小值，同理可得（；故的取值范圍是，故答案為：．16．【分析】先求得，再過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)、、在同一直線上（即、重合）時，最短，據(jù)此求解即可．解：連接，，，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，

∴，四邊形是平行四邊形，，，∵，，，，∴當(dāng)、、在同一直線上（即、重合）時，最短，∵是的切線，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造，利用了轉(zhuǎn)化思想．17．/【分析】三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，連接，由內(nèi)心定義得，繼而證明，再由全等三角形的對應(yīng)角相等解得，接著計(jì)算的度數(shù)，得到，過、、三點(diǎn)作，求得的度數(shù)，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根據(jù)弧長公式解題即可．解：如圖，連接，

是內(nèi)心，，，，，，，，，，過、、三點(diǎn)作，連接，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為的長，過點(diǎn)作，過作，垂足分別為M、N，，，，，，．，，，在等腰直角三角形中，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查圓的綜合，涉及圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、不共線三點(diǎn)確定一個圓、弧長公式等知識，是重要考點(diǎn)，正確作出輔助線、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．【分析】過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過點(diǎn)D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=102x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而可得BE；解：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過點(diǎn)D作DM⊥CN延長線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN=BN?tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，則∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CMCN=102x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5（舍去）或x=，∵BE=BN+NE=x+102x=10x，∴BE=；故答案為：；【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識；此題綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．19．（1）30；（2）見分析；（3）【分析】（1）由“直徑所對的圓周角為直角”可得，進(jìn)而可得，由題意可得，由“在同圓中，等弧所對的圓周角相等”可得，即可求解；（2）由“在同圓中，等弧所對的圓周角相等”可得，再利用角直角的互余，，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）由（2）可得：，由，可知，設(shè)，則，解直角三角形得，，根據(jù)，得，則，求出即可．（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：30；（2）證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，，即：，∵是的直徑，∴，則，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴是線段的中點(diǎn)；（3）由（2）可得：，∵，，∴，設(shè)，則，，由勾股定理可得：，∵，令，，則，∴，則，解得：，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解直角三角形，由圓心角，弧，弦之間的關(guān)系、圓周角定理及直角三角形兩銳角互余得，，是解決問題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，，，得到，證明，列比例式計(jì)算求解即可．（2）根據(jù)兩個角相等的三角形相似，再利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，證明．（3）連接，由（2）得，再證明，構(gòu)造二次函數(shù)求解即可．解：（1）∵直徑，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．（3）連接，由（2）得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵直徑，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴當(dāng)時，的最大值為．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求積的最大值，熟練掌握圓的性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）①5，②【分析】（1）如圖：連接，由余角的性質(zhì)可得，由圓周角定理即可證明結(jié)論；（2）①如圖：連接，設(shè)圓的半徑是r,由勾股定理列出關(guān)于r的方程，即可求解；②先證可得，即可求出，由勾股定理求出的長，進(jìn)而求出DF的長．解：（1）證明：如圖：連接，

∵是圓的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：①連接，設(shè)圓的半徑是r,∵，∴，∵直徑，∴，∵，∴，∴，解得：或（舍），∴的半徑長是5；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵G是中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．（1）8；（2）5或8；（3）①見分析；②【分析】（1）根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置關(guān)系及圓的性質(zhì)可得答案；（3）①連接，由垂徑定理可得，，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圓周角定理即可得解；②連接，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得解．（1）解：如圖，連接，

直徑，，，，，，在中，，，；（2）解：若，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，或點(diǎn)與點(diǎn)重合．或8；（3）（3）①證明：連接，

是的直徑，，，即是的垂直平分線，，，，，，，；②解：，理由如下：連接，

是直徑，，，即是的垂直平分線，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，．【點(diǎn)撥】此題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、垂