專題01有理數(shù)及其運(yùn)算（原卷版）

專題01有理數(shù)及其運(yùn)算思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.正負(fù)數(shù)，相反意義的量.2.求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù).3.科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).4.有理數(shù)的混合運(yùn)算.5.用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).6.有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.7.根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).8.借著數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值.9.絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用.10.分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值.11.數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的追及問(wèn)題.12.數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的最值問(wèn)題.一、有理數(shù)1．正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“”號(hào)叫做它的符號(hào)．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．2．具有相反意義的量一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并用正數(shù)來(lái)表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并用負(fù)數(shù)來(lái)表示．3．有理數(shù)的概念正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．4．有理數(shù)的分類①按整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類；②按正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)的關(guān)系分類．二、數(shù)軸1．?dāng)?shù)軸的概念與畫(huà)法數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的畫(huà)法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)，②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向，從原點(diǎn)向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，……；從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示1，2，3，…….2．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；②一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.三、相反數(shù)1．相反數(shù)的概念及表示方法相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．相反數(shù)的表示方法：一般地，a和a互為相反數(shù)，這里的a表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是零．特別地，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這個(gè)數(shù)是零.2．相反數(shù)的性質(zhì)若a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0.3．多重符號(hào)的化簡(jiǎn)與“+”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“”號(hào)，結(jié)果為正．4．相反數(shù)的幾何意義從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．四、絕對(duì)值1．絕對(duì)值的定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作.2．絕對(duì)值的性質(zhì)一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．3．絕對(duì)值的非負(fù)性根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若，則=0且=0．五、有理數(shù)的加法1.定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．要點(diǎn)：利用法則進(jìn)行加法運(yùn)算的步驟：(1)判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)是同號(hào)、異號(hào)，還是有一個(gè)加數(shù)為零，以此來(lái)選擇用哪條法則．(2)確定和的符號(hào)(是“+”還是“－”)．(3)求各加數(shù)的絕對(duì)值，并確定和的絕對(duì)值(加數(shù)的絕對(duì)值是相加還是相減)．3.運(yùn)算律：有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號(hào)語(yǔ)言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語(yǔ)言三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變符號(hào)語(yǔ)言(a+b)+c＝a+(b+c)要點(diǎn)：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號(hào)．六、有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(5)+?＝7，求？減法是加法的逆運(yùn)算．要點(diǎn)：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算．（2）幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號(hào)；②數(shù)字（即數(shù)的絕對(duì)值）．2.法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：．要點(diǎn)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)．如：七、有理數(shù)加減混合運(yùn)算將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算.八、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．要點(diǎn)：（1）不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．（2）當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號(hào)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái)，如2與3的乘積，應(yīng)列為(2)×(3)，不應(yīng)該寫(xiě)成2×3．2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；（2）幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．要點(diǎn)：（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個(gè)乘數(shù)都叫做一個(gè)因數(shù)．(2)幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào)，然后把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘．(3)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)為0．3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．九、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．要點(diǎn)：(1)“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的.如2的倒數(shù)是，2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒(méi)有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.要點(diǎn)：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時(shí)應(yīng)用法則二方便些．（2）因?yàn)?沒(méi)有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù)．（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時(shí)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值．十、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算由于乘除是同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計(jì)算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后算出結(jié)果．十一、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號(hào)，則先算括號(hào)里面的．十二、有理數(shù)乘方和科學(xué)記數(shù)法1．有理數(shù)乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).2．有理數(shù)乘方的運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．3．偶次乘方的非負(fù)性任何一個(gè)數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即．4．含乘方的混合運(yùn)算有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．5．科學(xué)記數(shù)法的表示（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．（科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)）（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．6．近似數(shù)的表示“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差絕對(duì)值的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些．1.有理數(shù)運(yùn)算注意事項(xiàng).要點(diǎn)：（1）在交換因數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換．（2）乘法運(yùn)算律可推廣為：三個(gè)以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個(gè)因數(shù)相乘．如abcd＝d(ac)b．一個(gè)數(shù)同幾個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這幾個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡(jiǎn)化運(yùn)算”，有時(shí)，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”．2.化簡(jiǎn)絕對(duì)值：．3.點(diǎn)在數(shù)軸上的追及問(wèn)題．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、正負(fù)數(shù)，相反意義的量.例1：《九章算術(shù)》中有注：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之．”意思是：“今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)．”如果高于海平面260米記為米，那么低于海平面300米應(yīng)記為．【答案】米【解析】由高于海平面260米記為米可得，低于海平面300米記作米．故答案：米．考點(diǎn)二、求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，絕對(duì)值，倒數(shù).例2：2的相反數(shù)是，－3的絕對(duì)值是．【答案】；【解析】2的相反數(shù)是，－3的絕對(duì)值是3．故答案為：，考點(diǎn)三、科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).例3：截止到12月12日16時(shí)45分，“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器在經(jīng)過(guò)約396000秒的奔月飛行后，達(dá)到月球附近，數(shù)字396000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選D．考點(diǎn)四、有理數(shù)的混合運(yùn)算.例4：計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考點(diǎn)五、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).例5：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，，，；(3)把（1）（2）中的六個(gè)有理數(shù)用“”號(hào)連接起來(lái)．【解析】（1）根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：（3）各數(shù)大小關(guān)系排列如下：．考點(diǎn)六、有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用.例6：有8筐白菜，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示，記錄如下：編號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）(1)8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，8筐白菜總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？(3)若白菜每千克售價(jià)2元，則出售這8筐白菜可賣多少元？【解析】（1）（千克）．答：筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重千克．（2）（千克）．答：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較，筐白菜總計(jì)不足千克．（3）解：這筐白菜的總重量為：（千克），若白菜每千克售價(jià)元，則這筐白菜總共可賣（元）．答：若白菜每千克售價(jià)元，則出售這8筐白菜可賣元．考點(diǎn)七、根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).例7：若有理數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合要求；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合要求；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合要求；，故選項(xiàng)D正確，符合要求；故選D．考點(diǎn)八、借著數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值.例8：若數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a，b，c，O為原點(diǎn)，如圖所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化簡(jiǎn)．【解析】（1）由圖可得：，且，所以，，；故答案為<，<，>；（2）因?yàn)?，，，所以．考點(diǎn)九、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用.例9：已知，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以．故選A．考點(diǎn)十、分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值.例10：（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，故答案為?，；（2）因?yàn)椋?，所以，所以，故答案為?；（3）因?yàn)?，所以a，b，c符號(hào)有兩種情況：①一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)；②三個(gè)負(fù)數(shù)．當(dāng)a，b，c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則；當(dāng)a，b，c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，，故答案為：1或．考點(diǎn)十一、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的追及問(wèn)題.例11：如圖：在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是16，兩動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停留1秒，再?gòu)狞c(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______（直接填空）；當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______（直接填空）；(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)線段的長(zhǎng)為7時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為，點(diǎn)N表示的數(shù)為，所以；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為，點(diǎn)M表示的數(shù)為，所以；故答案為：4，3；（2）解：由題意得，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)N肯定是在從A向B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，此時(shí)運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)N表示的數(shù)為，點(diǎn)M表示的數(shù)為，所以，解得；（3）解：當(dāng)點(diǎn)N向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程時(shí)，由題意得，解得，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A停留時(shí)，由題意得，，解得，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N沒(méi)有追上M時(shí)，由題意得，，解得，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N追上M，且點(diǎn)N為到達(dá)點(diǎn)B前，由題意得，，解得；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，且點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，由題意得，，解得；綜上所述，或．考點(diǎn)十二、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的最值問(wèn)題.例12：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)椋缘膸缀我饬x就是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與－1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A，B，P分別表示數(shù)－1，2，x，AB＝3，因?yàn)榈膸缀我饬x是線段PA與PB的長(zhǎng)度之和，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA＋PB＝3；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA＋PB＞3；所以的最小值是3．請(qǐng)你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問(wèn)題：(1)的最小值是______；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式的最小值是2．【解析】（1）因?yàn)?如圖，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，所以的最小值是5；（2）因?yàn)閿?shù)軸上表示數(shù)2的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離也為，因此當(dāng)為或時(shí)，原式的最小值是．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．在跳遠(yuǎn)測(cè)試中，小明的成績(jī)?yōu)?.1米，記作米．若小亮的成績(jī)記作米，則小亮的成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．1.4米 B．1.6米 C．1.8米 D．1.9米2．2023年我國(guó)高校畢業(yè)生高達(dá)1158萬(wàn)人，其中474萬(wàn)本科畢業(yè)生為了提升自己的學(xué)歷，好憑借更高的學(xué)歷，跨過(guò)更高的職業(yè)門檻，選擇報(bào)考研究生，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示報(bào)考研究生的人數(shù)（

）A． B． C． D．3．下列算式正確的是（）A． B．C． D．4．如圖，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．5．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①若，，則x，y都為負(fù)數(shù)；②已知，則的值不可能為0；③若，則的大小關(guān)系是；④若a，b，c為有理數(shù)，且，則的值為．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題6．化簡(jiǎn)：①；②的相反數(shù)是；③比較大小．7．早在公元前5世紀(jì)我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)初期，魏國(guó)的相國(guó)李悝就在《法經(jīng)》一書(shū)中用“不足”來(lái)表示虧空．如果盈余250兩記作兩，那么虧空100兩記作兩．8．如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，b，c，A，B兩點(diǎn)間的距離表示為，B，C兩點(diǎn)間的距離表示為．若，，，則的值是．9．細(xì)菌是靠分裂進(jìn)行生殖的，也就是1個(gè)細(xì)菌分裂成2個(gè)細(xì)菌，分裂完的細(xì)菌長(zhǎng)大以后又能進(jìn)行分裂．例如，圖中所示為某種細(xì)菌分裂的電鏡照片，顯示這種細(xì)菌每20分鐘就能分裂一次．1個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)3個(gè)小時(shí)可以分裂成個(gè)細(xì)菌．10．如圖所示，將圓的周長(zhǎng)分為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2024將與圓周上的數(shù)字__________重合．三、計(jì)算題11．計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．12．已知有理數(shù)：0,．(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)；(2)將上述有理數(shù)用“<”連接起來(lái)；(3)將上述有理數(shù)填入下圖中相應(yīng)的圓圈內(nèi)（每個(gè)數(shù)只能寫(xiě)在一個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)）．13．為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，零陵區(qū)委區(qū)政府打造特色經(jīng)濟(jì)作物產(chǎn)業(yè)，根據(jù)我區(qū)地域優(yōu)勢(shì)發(fā)展種植“四季水果園”．黃田鋪鎮(zhèn)的萬(wàn)畝紐荷爾臍橙便是其中精品項(xiàng)目之一，紐荷爾臍橙質(zhì)優(yōu)價(jià)美，深受大家喜愛(ài)．下面是小明家種植的一塊地所采摘的袋臍橙，小明在記錄重量時(shí)采用了如下記錄方法，以千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足部