專題155角平分線的判定與性質(zhì)（舉一反三）（滬科版）

專題15.5角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】 6【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】 10【題型4角平分線的判定】 17【題型5尺規(guī)作角平分線】 23【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 28【題型7利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 40【題型8角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 46【知識點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9

A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F，由HL可證明Rt△DFC≌Rt△BEC和【詳解】解：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)

∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于點(diǎn)E，∴CF=CE在Rt△DFC和CE=∴Rt∴BE在Rt△AFC和CE=∴Rt∴AF∵AB=17，∴AB∴AE故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答．【變式11】（2023春·貴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，作EF⊥AB于點(diǎn)F，并延長FE交CD于點(diǎn)G，連接CE．若∠

【答案】2【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°，再根據(jù)角平分線的定義和“等角的余角相等”可得∠ACE=∠ECD，再由AB【詳解】∵AB∴∠BAC即∠BAE∵∠AEC=90°∴∠CAE∴∠BAE∵AE平分∠BAC∴∠BAE∴∠ACE∴CE平分∠ACD∵AB∴GF∵EH∴EF∴FG=故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，“等角對等邊”．熟練掌握以上知識，且證明CE平分∠ACD【變式12】（2023春·福建漳州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=8cm，AC=6

【答案】12【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD，再證Rt△DAC≌【詳解】解：∵∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE∴DE在Rt△DAC和DE=∴Rt△DAC≌∴AC∴△BDE的周長=故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=【變式13】（2023春·陜西西安·八年級陜西師大附中校考開學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD【答案】5【分析】延長BA、CE相交于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD，利用ASA證明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根據(jù)同角的余角相等得到【詳解】解：如圖，延長BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠∴∠ABD∵CE∴∠BEF在△BCE和△∠ABD∴△BCE∴CE∵∠BAC=90°，∴∠ACF+∠F∴∠ABD∵∠BAC=90°，∴∠BAC在△ABD和△∠ABD∴△ABD∴BD∵CF∴BD∴CE故答案為：52【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】【例2】（2023春·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D

A．6 B．9 C．18 D．36【答案】C【分析】由角平分線的性質(zhì)得到OM=OD=ON，由△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，得到△ABC的面積=12【詳解】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥∵OB，OC分別平分∠ABC和∠∴OM=OD，∵△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC∴△ABC的面積=∵△ABC的周長=18，OD∴△ABC的面積=故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到△ABC的面積=【變式21】（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=10，DE=3，則A．9 B．13 C．15 D．30【答案】C【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出【詳解】解：過E作EF⊥BC于∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠∴EF∵BC∴△BCE的面積為1故選C．【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=【變式22】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC

【答案】5:2【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE=EF，然后證明Rt△ABE≌Rt△AFEHL【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于

∵∠B∴EB⊥∵AE平分∠BAD∴BE=在Rt△ABE和AE=∴Rt△∴S△同理：S△設(shè)S△CDE=2∴S△∴S△故答案為：5:2．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·山東棗莊·八年級?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50【答案】41【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB∴DF=在Rt△ADF和AD=∴Rt△∴SRt在Rt△DEF和DE=∴Rt△∴SRt∵△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，∴S∴SRt故答案為：41．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】【例3】（2023春·四川綿陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是(1)直接寫出∠DPE=

(2)求證：PD=(3)探究AB、【答案】(1)120(2)見解析(3)AB【分析】（1）根據(jù)角平分線平分線以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠APB的度數(shù)，對頂角相等，即可得到∠（2）過點(diǎn)P作PF⊥AB,PG⊥（3）在AB上截取BM=BE，證明△BPM≌△BPE，【詳解】（1）解：∵∠C∴∠ABC∵AE,BD是∴∠PAB∴∠PAB∴∠APB∴∠DPE故答案為：120；（2）證明：過點(diǎn)P作PF⊥

則：∠PGD∵AE,BD是△ABC∴PG=∵∠C∴∠GPH∵∠DPE∴∠DPG∴△PGD≌△∴PD=（3）解：在AB上截取BM=

∵BP平分∠ABC∴∠PBM∵BP=∴△BPM≌△∴∠BPM∴∠APM∵∠APD∴∠APD∵AP平分∠DAB∴∠DAP又AP=∴△APM≌△∴AM=∴AB=【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．【變式31】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交【答案】相等，證明見解析【分析】連接EB、EC，利用角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”證明【詳解】BF與CG的大小關(guān)系為相等．證明如下：連接EB、EC，如下圖，∵AE是∠BAC的平分線，且EF⊥AB于F，EG∴EF=∵ED⊥BC于D，D是∴EB=∴Rt△∴BF=【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線段的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式32】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過O作OF

(1)試判斷∠AOB與∠(2)若∠ACB=60°，探究OE與【答案】(1)∠AOB(2)OE=【分析】（1）過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠【詳解】（1）∠AOB證明：過O作OM⊥AC于M，ON⊥

∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，∴OM=ON，∴OM=∴O在∠ACB∴∠OCF∵OF⊥∴∠CFO∴∠COF∴∠COF=90°-∠∵AD平分∠CAB，BE平分∠∴∠OAB=1∴∠=180°-=180°-=90°+=90°+∠OCF，由①②得：∠AOB（2）OE=證明：∵∠ACB∴由（1）知：∠AOB∴∠EOD∵OM⊥AC，∴∠OME=∠OFD∴∠MOF∴∠MOE在△EOM和△∠∴△EOM∴OE=【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．【變式33】（2023春·湖北荊門·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連OC，過O作OF(1)試判斷∠AOB與∠(2)若∠ACB=60°，探究OE與【答案】(1)∠AOB(2)OE=【分析】（1）過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠【詳解】（1）∠AOB證明：過O作OM⊥AC于M，ON⊥∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，∴OM=ON，∴OM=∴O在∠ACB∴∠OCF∵OF⊥∴∠CFO∴∠COF∴∠COF=90°-∠∵AD平分∠CAB，BE平分∠∴∠OAB=1∴∠=180°-=180°-=90°+=90°+∠OCF，由①②得：∠AOB（2）OE=證明：∵∠ACB∴由（1）知：∠AOB∴∠EOD∵OM⊥AC，∴∠OME=∠OFD∴∠MOF∴∠MOE在△EOM和△∠∴△EOM∴OE=【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．【知識點(diǎn)2角平分線的判定】角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型4角平分線的判定】【例4】（2023春·廣東江門·八年級臺山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OA<OC），∠AOB

(1)求證：AC=(2)用α表示∠AMB(3)求證：OM平分∠AMD【答案】(1)見解析；(2)α；(3)見解析．【分析】（1）用SAS證明△AOC（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠AMB+∠OBD=∠OAC（3）作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，則∠OGA=∠OHB【詳解】（1）證明：∵∠AOB∴∠AOB+∠BOC在△AOC和△OA=∴△AOC∴AC=（2）解：由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB由（1）得△AOC∴∠OAC∴∠AMB（3）證明：作OG⊥AM于G，OH⊥

則∠OGA在△OAG和△∠OGA∴△OAG∴OG∵OG⊥AM于G，OH∴MO平分∠【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE(1)求證：△ABD(2)求證：∠BFA【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得【詳解】（1）解：證明：∵∠BAC∴∠BAC即∠BAD∵在△BAD和△AB=∴△BAD（2）如圖，作AM⊥BD于M，作AN⊥由△BAD∴BD=CE∵12∴AM∴點(diǎn)A在∠BFE∴FA平分∠BFE，即【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，求高想到求面積，屬于中考常考題型．【變式42】（2023春·浙江溫州·八年級?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE=【答案】見解析【分析】過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12【詳解】證明：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF，連接則S△∴AE?又∵AE=∴DQ=∴PD為∠APC∴∠DPA【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和角平分線的性質(zhì)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明．【變式43】（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F(xiàn)分別為AB，

(1)求證：EF=(2)求證：點(diǎn)C在∠BAD【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）延長AD至點(diǎn)G，使得DG=BE，連接CG，利用四邊形內(nèi)角和，易證△BCE≌△DCGSAS，得到CG=（2）過點(diǎn)C作CN⊥AB、CM⊥AG，易證【詳解】（1）證明：如圖，延長AD至點(diǎn)G，使得DG=BE，連接

∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，且∠BCD=120°，∴∠B∵∠ADC∴∠B在△BCE和△BC=∴△BCE∴CG=CE∴∠BCD∵∠ECF∴∠FCG∴∠ECF在△CEF和△CE=∴△CEF∴EF（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥AB交AB于點(diǎn)N，CM⊥AG交

∵△BCE∴∠CEN=∠在△CNE和△∠CNE∴△CNE∴CN∴點(diǎn)C在∠BAD【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【知識點(diǎn)3角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型5尺規(guī)作角平分線】【例5】（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BD是高，BE是角平分線，∠EBD=10°

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：作△BED的角平分線EF(2)在滿足（1）的條件下，求證：EF∥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明∠FEC【詳解】（1）解：如圖，線段EF即為所求；

（2）證明：∵BD∴∠BDC∵∠C∴∠CBD∵∠EBD∴∠EBC∵BE平分∠∴∠ABE∴∠ABC∴∠A∵∠BEC=∠A+∠ABE∴∠FEC∴∠FEC∴EF【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，平行線的判定，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式51】（2023春·陜西西安·八年級西北大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，△ABC，∠C=90°，請?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到AB

【答案】見解析【分析】如圖：用尺規(guī)作圖作∠B的角平分線與AC的交點(diǎn)D【詳解】解：如圖：點(diǎn)D即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、角平分線的尺規(guī)作圖等知識點(diǎn)，掌握角平