《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

PAGE1PAGE10《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)大綱課程編號(hào)：120193A課程類型：□通識(shí)教育必修課□通識(shí)教育選修課□學(xué)科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課√專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時(shí)：48講課學(xué)時(shí)：48實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）學(xué)時(shí)：0學(xué)分：3考試類型：√考試□考查適用對(duì)象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融方向）專業(yè)□是√否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個(gè)性化選修課先修課程：數(shù)學(xué)分析一、教學(xué)目標(biāo)《復(fù)變函數(shù)》是我校金融數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)選修課程之一，是《數(shù)學(xué)分析》的后續(xù)課程，主要研究單變量的復(fù)值可微函數(shù)的性質(zhì)?！稄?fù)變函數(shù)》的內(nèi)容、思想方法與《數(shù)學(xué)分析》緊密相關(guān)，但絕非是《數(shù)學(xué)分析》內(nèi)容在復(fù)數(shù)域中作簡(jiǎn)單平行推廣，而是研究新問題，建立新理論。同時(shí)，復(fù)變函數(shù)現(xiàn)已成為微分方程、奇異積分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)和概率論等數(shù)學(xué)分支的主要解析方法，同時(shí)也為眾多學(xué)科提供了廣泛的幾何定性研究方法。因此這門課程無論是在在專業(yè)理論研究與實(shí)際應(yīng)用方面都起著非常重要的作用。通過本課程的教學(xué)，希望能夠：目標(biāo)1：使學(xué)生深刻理解基本概念、系統(tǒng)闡述基本理論、熟練掌握運(yùn)算能力；目標(biāo)2：在鞏固數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)體會(huì)本課程與《數(shù)學(xué)分析》相關(guān)理論的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力，空間想象能力和科學(xué)計(jì)算能力；目標(biāo)3：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面，為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)課程和利用數(shù)學(xué)知識(shí)能力解決實(shí)際問題打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。目標(biāo)4：培育有堅(jiān)定理想信念、深厚愛國(guó)主義情懷、高尚道德情操，具有嚴(yán)謹(jǐn)、腳踏實(shí)地的科學(xué)探索精神、堅(jiān)韌奮斗進(jìn)取品格的社會(huì)主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和基本方法，對(duì)解析函數(shù)、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的泰勒展式和洛朗展式、留數(shù)理論、共形映射理論等有較深入的理解，并能用來解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。具體包括：1.正確理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面、復(fù)變函數(shù)等概念，熟練掌握復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)運(yùn)算、性質(zhì)及應(yīng)用（精講）；2.熟練掌握解析函數(shù)的等價(jià)刻劃定理特別是柯西-黎曼條件，掌握初等函數(shù)的解析性（精講）；3.正確理解復(fù)變函數(shù)積分的定義，熟練掌握柯西積分定理及其推廣形式、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式以及它們的各種應(yīng)用（精講）；4.掌握解析函數(shù)的泰勒展式和洛朗展式，并能用它來解決實(shí)際問題；正確理解留數(shù)的定義及留數(shù)定理，會(huì)用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分（精講）；5.理解并掌握分式線性映射概念及其各種性質(zhì)，并學(xué)會(huì)應(yīng)用（粗講）。本課程主要采用以章為主的單元組織教學(xué)法，以課堂講授為主，結(jié)合多媒體教學(xué)軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，教學(xué)中強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)際并重，各章安排一定課時(shí)的習(xí)題課，課前要求學(xué)生提前預(yù)習(xí)，課后按時(shí)完成每章書后的習(xí)題，作為作業(yè)進(jìn)行上交，記錄成績(jī)，同時(shí)教師安排時(shí)間集中對(duì)學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)答疑。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配教學(xué)課時(shí)分配序號(hào)章節(jié)內(nèi)容講課實(shí)驗(yàn)其他合計(jì)1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6172解析函數(shù)6173復(fù)變函數(shù)的積分8194級(jí)數(shù)7185留數(shù)7296共形映射628合計(jì)40848四、教學(xué)內(nèi)容第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面2.復(fù)球面第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根乘積與商冪與根第四節(jié)區(qū)域區(qū)域的概念單連通域與多連通域第五節(jié)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的定義映射的概念第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)表示法之間的轉(zhuǎn)換，區(qū)域的確定，復(fù)變函數(shù)的概念。難點(diǎn)是復(fù)球面概念，復(fù)變函數(shù)理解及復(fù)平面上兩個(gè)集合間的映射，以及復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性。課程的考核要求：熟練掌握復(fù)數(shù)的模與輻角、復(fù)數(shù)的三種表示、復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根的求法，會(huì)用復(fù)數(shù)表示平面圖形，會(huì)用復(fù)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問題。理解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念，理解區(qū)域與約當(dāng)曲線的概念，了解約當(dāng)定理，會(huì)區(qū)分單連通區(qū)域與多連通區(qū)域。掌握復(fù)變函數(shù)的定義，理解映射的概念，理解復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)之間的關(guān)系。理解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性概念，知道它們與實(shí)一元函數(shù)極限與連續(xù)的異同。課程思政切入點(diǎn)：介紹復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐，樹立辯證唯物主義世界觀。同時(shí)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)探索道路總有曲折，不是一蹴而就的，是一代代數(shù)學(xué)家的努力和探索，才造就了今天的數(shù)學(xué)大廈。復(fù)習(xí)思考題：復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)有什么關(guān)系？為什么在復(fù)變函數(shù)的極限概念中，要強(qiáng)調(diào)QUOTEz_啋z0z_啋z0復(fù)函數(shù)收斂與其實(shí)部Re，虛部Im收斂的關(guān)系？第二章解析函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件1.柯西—黎曼條件第三節(jié)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是一個(gè)函數(shù)是否解析的判定，求函數(shù)的解析區(qū)域以及初等函數(shù)的函數(shù)值。難點(diǎn)是弄清可導(dǎo)與解析之間關(guān)系，復(fù)變函數(shù)的解析論與實(shí)二元函數(shù)可微論之間的關(guān)系和初等函數(shù)的多值論。課程的考核要求：理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析的概念，弄清復(fù)變函數(shù)可微與實(shí)函數(shù)可微的關(guān)系。掌握復(fù)變函數(shù)解析的判別方法，熟悉函數(shù)解析的充要條件，會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)或區(qū)域上的解析。了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)的定義以及它們的主要性質(zhì)，對(duì)它們?cè)趩沃涤騼?nèi)的解析要熟知。課程思政切入點(diǎn)：通過介紹復(fù)變量函數(shù)理論的構(gòu)建過程中用到的猜想、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，舉一反三、融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力及創(chuàng)新意識(shí)、探索精神。復(fù)習(xí)思考題：判斷函數(shù)可導(dǎo)與解析的方法有哪些？為什么sinz與coszQUOTEsin解析函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系如何？基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的解析性如何？第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念積分的定義積分存在的條件及其計(jì)算法積分的性質(zhì)第二節(jié)柯西—古薩基本定理第三節(jié)柯西—古薩基本定理的推廣復(fù)合閉路定理第四節(jié)原函數(shù)與不定積分第五節(jié)柯西積分公式第六節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第七節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，實(shí)二元函數(shù)線積分方法、牛頓萊布尼茲公式方法、柯西積分公式方法、高階導(dǎo)數(shù)公式方法。難點(diǎn)是已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部求解析函數(shù)。課程的考核要求：理解復(fù)變函數(shù)的積分的定義，掌握復(fù)積分的性質(zhì)與計(jì)算方法。掌握柯西積分定理及其等價(jià)形式和推廣形式以及它們的應(yīng)用，掌握不定積分特別是由變上限積分確定的單值解析函數(shù)，會(huì)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算復(fù)定積分。熟練掌握柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。掌握調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，掌握由解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部）求虛部（或?qū)嵅浚┑膬煞N方法。課程思政切入點(diǎn)：介紹柯西積分公式時(shí)，通過特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理解由局部到整體、由個(gè)體到集體等辯證關(guān)系。復(fù)習(xí)思考題：柯西—古薩定理是否可以推廣？應(yīng)用柯西—古薩定理時(shí)注意什么問題？復(fù)變函數(shù)積分有哪幾種基本計(jì)算方法？柯西積分公式的意義是什么？解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系如何？第四章級(jí)數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列的極限級(jí)數(shù)概念第二節(jié)冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)概念2.收斂圓與收斂半徑3.收斂半徑的求法4.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):本章重點(diǎn)是冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，將一個(gè)解析函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)以及一個(gè)解析函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式。課程的考核要求：理解級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散及和的概念；了解級(jí)數(shù)收斂的必要與充分條件，了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。理解冪級(jí)數(shù)收斂圓與收斂半徑的概念，掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法。熟悉冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，掌握將一個(gè)解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的基本方法，記住一些常用初等函數(shù)的泰勒展式，會(huì)用間接法把解析函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。理解洛朗級(jí)數(shù)的概念，能將一些函數(shù)在圓環(huán)域展為洛朗級(jí)數(shù)，知道洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系。課程思政切入點(diǎn)：聯(lián)系數(shù)學(xué)分析中泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等，運(yùn)用類比的思想，介紹復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同事物之間的有機(jī)聯(lián)系，幫助學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)探究的思維方式，形成分析事物辯證統(tǒng)一的視角。復(fù)習(xí)思考題：怎樣確定冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性？復(fù)變函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的條件與實(shí)變函數(shù)有什么不同？洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系？洛朗級(jí)數(shù)的一般應(yīng)用有哪些？第五章留數(shù)第一節(jié)孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)第二節(jié)留數(shù)1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)第三節(jié)留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1.三角函數(shù)有理式在一個(gè)周期上的積分2.有理函數(shù)的無窮限廣義積分3.有理函數(shù)與純虛變量指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）乘積的無窮限廣義積分教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):本章重點(diǎn)是函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算，難點(diǎn)是確定解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)類型，以及用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分時(shí)圍道的確定。課程的考核要求：掌握孤立奇點(diǎn)的三種類型及其判別法，掌握留數(shù)的定義與留數(shù)定理，掌握留數(shù)的求法。掌握用留數(shù)計(jì)算三角函數(shù)有理式在一個(gè)周期上的積分、有理函數(shù)的無窮限廣義積分、有理函數(shù)與純虛變量指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）乘積的無窮限廣義積分的方法。課程思政切入點(diǎn)：注重引導(dǎo)學(xué)生要多角度、多層次、更全面地看待所學(xué)習(xí)或研究的問題。聯(lián)系之前學(xué)習(xí)的復(fù)積分內(nèi)容，總結(jié)計(jì)算復(fù)積分的方法：通過復(fù)積分的定義，利用參數(shù)法計(jì)算復(fù)積分；也可以通過Cauchy積分公式及其高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算復(fù)積分；還可以通過留數(shù)的定義和留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分。通過這些數(shù)學(xué)思想方法的講解，引導(dǎo)學(xué)生遇到日常生活中的實(shí)際問題時(shí)，需要學(xué)會(huì)從不同維度動(dòng)態(tài)地分析問題、解決問題。復(fù)習(xí)思考題：比較可去奇點(diǎn)與實(shí)函數(shù)可去間斷點(diǎn)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。留數(shù)的具體意義何在？利用留數(shù)計(jì)算定積分需注意哪些問題？第六章共形映射第一節(jié)共形映射的概念解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義共形映射的概念第二節(jié)分式線性映射1.保角性2.保圓性3.保對(duì)稱性第三節(jié)唯一決定分式線性映射的條件第四節(jié)幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):本章重點(diǎn)是掌握分式線性映射的各種性質(zhì)，并學(xué)會(huì)應(yīng)用，難點(diǎn)是理解并掌握共形映射、分式線性映射的概念。課程的考核要求：理解解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輔角與模的幾何意義及其性質(zhì)，掌握共形映射的概念。掌握分式線性映射的概念及其各種性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用。掌握幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射特性。課程思政切入點(diǎn)：介紹共形映射兩類問題時(shí)，讓學(xué)生充分感受“形”與“式”的滲透，學(xué)習(xí)用“形”與“式”結(jié)合的思維解決問題，使學(xué)生體會(huì)形象思維與抽象思維的辯證關(guān)系。復(fù)習(xí)思考題：共形映射要解決哪些問題？有幾種方法可以唯一確定一個(gè)分式線性映射？幾類特殊分時(shí)線性映射的類型與性質(zhì)。五、考核方式、成績(jī)?cè)u(píng)定課程考核方式以筆試、閉卷方式進(jìn)行。課程成績(jī)?cè)u(píng)定采用綜合評(píng)定方式，期末卷面成績(jī)占總成績(jī)的70