專題2210相似形章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（原卷版）

專題22.10相似形章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】 1【題型3利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】 3【題型4利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】 5【題型5利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】 6【題型6利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】 7【題型7利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】 9【題型8利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】 10【題型9利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】 11【題型10利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】 12【題型1利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】【例1】（2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題：角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分；(2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長(zhǎng)．【變式11】（2023春·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿著AD翻折得到△ADC'，連接BC'交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是EC'

【變式12】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，PF∥AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若S

【變式13】（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4①若CD=3，AC⊥CD于點(diǎn)C②若AD=DC，∠ADC(2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BP=2PD，過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，要使四邊形【題型2利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中求值】【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為1【變式21】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在方格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【變式22】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、F在網(wǎng)格中的格點(diǎn)處，AF與BC相交于點(diǎn)E，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則陰影部分△DEF的面積等于

【變式23】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC-∠

【題型3利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】【例3】（2023·黑龍江綏化·?？既＃┰?ABCD中，AH⊥BD，垂足為H，∠ABD為銳角，且∠ABH=∠DAH，若AH【變式31】（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，如果BN=6.5，那么AM的長(zhǎng)為

【變式32】（2023·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A0,6，B-10,0，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A'，B'，連接AB'．當(dāng)點(diǎn)B'

【變式33】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角ΔABC與等腰直角ΔCDE的直角頂點(diǎn)C重合．DE與AC相交于F，CD的延長(zhǎng)線交AB于G，連接BD．

(1)如圖1，求證：AC?(2)如圖2，B，D，E在同一條直線上，取AB的中點(diǎn)M，分別連接MC，ME，求證：MC=ME(3)如圖3，過(guò)A作BD的平行線，過(guò)B作AC的平行線，兩線相交于H，且點(diǎn)H在CG的延長(zhǎng)線上，若BC=2BH，求【題型4利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校鰽BC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【變式41】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過(guò)點(diǎn)A5,0，C2,a，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)D，

(1)求k和a的值；(2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個(gè)角相等時(shí)，求線段(3)如圖2，連接BE交CD于點(diǎn)H，將點(diǎn)B繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)B'，若點(diǎn)B'到x軸的距離恰好等于OD的長(zhǎng)，求【變式42】（2023春·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4（2）若點(diǎn)M是直線AB上的一點(diǎn)，直線DM交直線BC于點(diǎn)N．①當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），設(shè)BM=x，DM=②如果△AMD是等腰三角形，求△

【變式43】（2023春·四川德陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DF∥BC，EF∥AB，若四邊形BDFE的面積為2，BDA．6 B．8 C．10 D．12【題型5利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】【例5】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，F(xiàn)，G是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=FG，BE⊥FG，連接

【變式51】（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，【變式52】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)D繞點(diǎn)C引順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)E，所得的△CDE邊DE與BC交于點(diǎn)F，則CFDE

【變式53】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿線段CD方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

(1)用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)；(2)當(dāng)PQ與矩形的對(duì)角線平行時(shí)，求t的值；(3)若點(diǎn)M為DQ的中點(diǎn)，求以M、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)t(4)直接寫(xiě)出點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B'落在△ACD內(nèi)部時(shí)【題型6利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】【例6】（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的頂點(diǎn)A，A1，A2，A3…，在射線OM上，頂點(diǎn)B，B1，B2，B3，B4，…，在射線ON上，連接AB2交A1B1于點(diǎn)D，連接A1B3交A2B2于點(diǎn)D1，連接A2B4交A3B3于點(diǎn)D2，連接B1D1交AB2于點(diǎn)E，連接B2D2交A1B3于點(diǎn)E1，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，…若AB＝2則Sn等于（用含有正整數(shù)n的式子表示）（

）A．22n+49 B．22n【變式61】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以AB為底邊在正方形ABCD內(nèi)作等腰ΔABE，點(diǎn)E在CD邊上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1A．122018 BC．2(52)2018【變式62】（2023秋·黑龍江綏化·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交xA．5322021 B．5942020 C【變式63】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，正方形A0B0C0A1的邊長(zhǎng)為1，正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為2，正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為4，正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBnCnAn+1，且點(diǎn)A0，A1，A2，A3，…，An+1【題型7利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】【例7】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AP

【變式71】（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考三模）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=12

【變式72】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為1,1，點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF，連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，若以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OEF相似，則B

【變式73】（2023春·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中點(diǎn)，P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到△ABC的一邊的距離為2【題型8利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】【例8】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于點(diǎn)P，對(duì)角線BD交AF于點(diǎn)H，連接HM,CM,DM,BM，下列結(jié)論正確的是：①AF=DE；②BM∥DE

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【變式81】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是AC中點(diǎn)，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC=36，則下面結(jié)論：①∠CAH=∠A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【變式82】（2023春·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①圖中共有三個(gè)平行四邊形；②當(dāng)BD=2BC時(shí)，四邊形DEBF是菱形；③BDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式83】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD=60°，將?ABCD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至?AEFG，此時(shí)點(diǎn)D在AE上，連接AC、AF、CF、EB，線段EB分別交CD、AC于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①∠CAF=60°A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【題型9利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】【例9】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對(duì)角線把該四邊形分割成兩個(gè)等腰三角形，且這條對(duì)角線是這兩個(gè)等腰三角形的腰，那么我們稱這個(gè)四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連結(jié)BD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連結(jié)①試判斷四邊形ABCE是否是雙等腰四邊形，并說(shuō)明理由；②若∠AEC=90°，求(2)如圖2，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，四邊形AEFD是雙等腰四邊形，且AD=DE．延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG．若AD=5，∠EFG=90°【變式91】（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測(cè)）定義：△ABC中，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為α，另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為β，若滿足α+2β=90°，則稱這個(gè)三角形為“智匯三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，若【變式92】（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校?？级＃┒x：如果三角形的兩個(gè)α與β滿足α-β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“

(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，若(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD【變式93】（2023·江蘇揚(yáng)州·校考一模）定義：如果三角形中有兩個(gè)角的差為90°，則稱這個(gè)三角形為互融三角形，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若△ABD是“互融三角形”，則CD的長(zhǎng)為．【題型10利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】【例10】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形