量子力學(xué)習(xí)題選講

PAGEPAGE8一、在以下兩種情況下計(jì)算粒子在一維階躍勢(shì)（）上的反射率R與折射率T：解：（1）：令定態(tài)方程為其解為由邊界條件，可得反射率透射率（2），定態(tài)方程為其解為由邊界條件，可得反射率，透射率二、質(zhì)量為的粒子被約束在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)立路障，進(jìn)一步限制粒子在的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)求解粒子能量本征值和本征函數(shù)；（2）設(shè)粒子處于情況（1）的基態(tài)，求突然撤去路障后，粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率。解1、在路障內(nèi)，定態(tài)Schroedinger方程為（1）其中，方程（1）的解為（2）其中，由得，代入（2）得由得，由歸一化條件2、設(shè)t=0時(shí)撤去路障，撤去路障后的定態(tài)波函數(shù)與定態(tài)能量為任意時(shí)刻的波函數(shù)為其中系數(shù)粒子仍處于基態(tài)的幾率為。三、厄米算符求1、在A表象中算符的矩陣表示。2、在A表象中算符的本征值和本征態(tài)矢。1.2．四、考慮有兩個(gè)全同粒子組成的體系，設(shè)可能的單粒子態(tài)為，求體系可能的態(tài)。1、粒子為玻色子；2、粒子為費(fèi)米子；3、粒子為經(jīng)典粒子。1.,,2.,,3.共9種.五、有一定域電子（作為近似模型，可以不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）受到均勻磁場(chǎng)作用，磁場(chǎng)指向x軸正方向，相互作用勢(shì)。設(shè)t=0時(shí)電子自旋方向向上，即，求t〉0時(shí)自旋的平均值。解：的本征態(tài)矢與本征值為任意t時(shí)刻的態(tài)矢為+，+=六、、求在的相應(yīng)于本征值為的本征態(tài)中，的可能取值及相應(yīng)的幾率。解在表象中，的矩陣表示為（1）其相應(yīng)于本征值為的本征態(tài)為（2）而算符的矩陣表示為（3）求解其本征值方程，得的本征值及歸一化的本征函數(shù)分別為（4）（5）再將（2）式按的正交歸一本征矢量完備組展開（6）得（7）（8）知在的相應(yīng)于本征值的本征態(tài)之中，取的幾率為，取的幾率為。六、質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求的定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)。解：令的S態(tài)波函數(shù)為，顯然及時(shí)，時(shí)，，由邊界條件可得：，（2分）由歸一化條件可得故一、在表象中，的矩陣為其中為是實(shí)數(shù)，且比小的多，試用微擾論求能量至二級(jí)近似，波函數(shù)至一級(jí)近似。解:,10、假設(shè)一電子狀態(tài)由波函數(shù)描述，其中。且分別為方位角和極角。求：（1）處在該態(tài)電子的軌道角動(dòng)量z分量的可能測(cè)量值是什么？（2）得到（1）中每個(gè)可能的結(jié)果的概論是多少？（3）的平均值是多少？（解：（１）由于得到，所以由此可知?。?。（２）概論分別為：２／３，１／３。（３）平均值為。11、設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。解：在此能量中，氫原子能量有確定值角動(dòng)量平方有確定值為角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為，其平均值為12、在t=0時(shí)氫原子的波函數(shù)為其中指標(biāo)是量子數(shù)n、l、m的值。忽略自旋和輻射躍遷。求該體系的能量期望值（只寫出表達(dá)式即可）。在t時(shí)刻體系處于l=1，m=1態(tài)的幾率。角動(dòng)量z分量的平均值是多少？波函數(shù)怎樣隨時(shí)間變化？即求。12、3、4、其中三、計(jì)算題（共12分）13、在時(shí)間t=0時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)；，式中是振子的第n個(gè)本征函數(shù)。（1）試求的數(shù)值；（2）寫出在t時(shí)刻的波函數(shù)；（3）在t=0時(shí)振子能量的平均值是多少？t=1秒時(shí)呢？解：（1），得（2）（3）在t=0時(shí)振子能量的平均值是t=1秒時(shí)，振子能量的平均值也是。14、求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。解：在動(dòng)量表象中，線性諧振子哈密頓量的矩陣元為=15、一電子置于沿z方向的均勻磁場(chǎng)B中，在初始時(shí)刻t=0，電子的自旋是朝y軸正向極化。求在時(shí)，的測(cè)值為和的幾率。求在時(shí)，的平均值。解電子的自旋磁矩，自旋磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用