數(shù)學(xué)教材習(xí)題點撥：排列與組合

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點撥1。2.1排列1．思考：你能歸納一下排列的特征嗎？解：排列的兩個特征：一是“取出元素”；二是“按一定的順序排列"．2．？你能概括一下排列數(shù)公式的特點嗎？解：排列數(shù)公式的特點是：右邊第一個因數(shù)是n,后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1,共m個連續(xù)的正整數(shù)相乘．練習(xí)1．解：（1)設(shè)這4個不同元素分別為a，b，c，d,則從中任取2個元素的所有排列為：ab，ac，ad，ba，bc，bd,ca，cb，cd，da，db,dc;(2)設(shè)這5個不同元素分別為a，b,c，d，e，則從中任取2個元素的所有排列為：ab，ac，ad，ae，ba，bc,bd，be，ca,cb，cd,ce,da,db，dc，de，ea，eb,ec，ed.點撥：直接應(yīng)用排列的定義．2．解：(1)＝15×14×13×12＝32760；(2)＝7!＝5040；(3）＝8×7×6×5－2×8×7＝1568；(4)。點撥:應(yīng)用排列數(shù)公式．3．解：n2345678n！2624120720504040320點撥：利用計算器直接計算．4．證明：（1)＝n×（n－1)×(n－2）×…×（n－m＋1)＝n×{(n－1）×（n－2）×…×［（n－1）－(m－1）＋1]｝＝；（2）。點撥：利用排列數(shù)公式化簡即可得到答案．5．解：60。點撥：從5名運動員中選3名，即為從5個數(shù)中選3個數(shù)的排列．6．解：24。點撥：從4種蔬菜中選3種，種在3種不同的地上，即為從4個數(shù)中選3個數(shù)的排列．1.2。2組合1．探究：對于本題的（2），你還能想到別的解決方法嗎？解：還可以這樣來分步：第一步，從17人中選1人擔(dān)任守門員，有種選法;第二步，從剩下的16人中選10人，有種選法，所以共有選法（種)．2．探究：你能根據(jù)上述思想方法，利用分類加法計數(shù)原理，證明下列組合數(shù)的性質(zhì)嗎？性質(zhì)2證明：可以根據(jù)組合的定義與分類加法計數(shù)原理得出．從a1，a2，…，an＋1這(n＋1）個不同的元素中取出m個的組合數(shù)是，這些組合可以分成兩類,一類含有a1，一類不含a1。含有a1的組合是從a2，a3，…，an＋1這n個元素中取出(m－1）個元素與a1組成的，共有個;不含a1的組合是從a2，a3，…，an＋1這n個元素中取出m個元素組成的，共有個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得.練習(xí)1．解：(1）甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁；（2）冠軍甲乙甲丙甲丁亞軍乙甲丙甲丁甲冠軍乙丙乙丁丙丁亞軍丙乙丁乙丁丙點撥：（1）屬于組合問題；（2）屬于排列問題．2．解：△ABC,△ABD，△ACD，△BCD.點撥：4個點中選3個不用排序,屬于組合問題．3．解：20。點撥：6門課中選3門,不用考慮順序,屬于組合問題．4．解:6。點撥：不用考慮順序，直接利用組合數(shù)公式．5．解：（1）;(2);（3）；（4）.點撥:應(yīng)用組合數(shù)公式．6．解：＝＝。點撥：應(yīng)用組合數(shù)公式證明．習(xí)題1.2A組1．解：(1)348;（2)64。點撥：用計算器計算．2．解：(1）455;（2)1313400；(3)；（4）。點撥：用計算器計算．注意。3．證明：（1);（2）＝。點撥：利用排列數(shù)公式及其性質(zhì)以及階乘的性質(zhì)轉(zhuǎn)化證明．4．解:＝1680.點撥:由于4列火車各不相同,所以停放的方法與順序有關(guān)．5．解：24。點撥：就是對4個單位進行全排列．6．解：.點撥:由于書架是單層的，所以問題相當(dāng)于20個元素的全排列．7．解：可以分三步完成：第一步，安排4個音樂節(jié)目，共有種排法；第二步，安排舞蹈節(jié)目，共有種排法；第三步，安排曲藝節(jié)目，共有種排法．所以不同的排法有種．點撥:本題是一道有限制條件的排列問題，要注意根據(jù)題目的要求合理安排分步的順序．8．解：由于n個不同元素的全排列共有n！個，而n！≥n,所以由n個不同的數(shù)值可以以不同的順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同．為使每一行都不重復(fù)，m可以取的最大值是n！.點撥：本題的關(guān)鍵在于明確題中條件，從而得出結(jié)果．9．解：（1)由于圓上任意3點不共線,圓的弦的端點沒有順序,所以共可以畫＝45條不同的弦;（2)由于三角形的頂點沒有順序，所以可以畫的圓內(nèi)接三角形有＝120個．點撥：本題中所作的弦及內(nèi)接三角形與點的順序無關(guān),所以屬于組合問題．10．解:（1）凸五邊形有5個頂點，任意2個頂點的連線中,除凸五邊形的邊外都是對角線，所以共有對角線－5＝5條；（2）與（1）同理可得對角線條數(shù)為.點撥：本題應(yīng)用間接法求解更方便，要注意減去的是哪些情況．11．解：可分為有1張、2張、3張、4張人民幣組成的幣值共四類，共有不同的幣值種數(shù)為.點撥：由于四張人民幣的幣值都不相同,組成的幣值與順序無關(guān)，所以可以分以上四類．12．解:（1)由“三個不共線的點確定一個平面”，所確定的平面與點的順序無關(guān),所以可確定的平面數(shù)是＝56。(2)由于四面體由四個頂點唯一確定，而與四個點的順序無關(guān),所以可確定的四面體個數(shù)是＝210.點撥：本題所求的平面及四面體均與所選點的順序無關(guān)，所以是組合問題．13．（1)＝10；(2)＝60；(3)35＝243；(4)mn.點撥:（1)由于選出的人沒有地位差異，所以是組合問題；（2）由于禮物互不相同，與分送的順序有關(guān)系,所以是排列問題；（3)由于5個人中每個人都有3種選擇，而且選擇的時間對別人沒有影響,所以是一個“可重復(fù)排列問題”；（4）由于只要取出元素,而不必考慮順序,所以可以分兩步取元素：第一步，從集合A中取，有m種取法；第二步，從集合B中取,有n種取法,所以共有取法mn種．14．解：可以分三步分別從第1,2,3題中選題，不同的選法種數(shù)為。點撥：由于只要選出要做的題目即可,所以是組合問題．15．解:(1）；（2）其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有種選法;(3)用間接法，在9人中選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉,就得到符合條件的選法數(shù)為;(4）用間接法，在9人中選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)為.點撥：由于選出的人沒有地位差異,所以是組合問題．16．解：按照去的人數(shù)分類，去的人數(shù)分別為1,2,3，4，5,6，而去的人大家沒有地位差異，所以不同的去法有種．點撥：由于只要有人去就行，而沒有限制去的人數(shù)，所以可以按去的人數(shù)分類．17．解:（1）；(2);(3)；（4）方法1：.方法2：.B組1．解：由題意從37個數(shù)中選7個數(shù)有種方法，其中與一等獎的7個數(shù)完全相同的只有一注,即注彩票中可有一個一等獎．設(shè)取x個數(shù)，則500000≤≤6000000，且x∈N，解得x＝6或31.∴可在37個數(shù)中取6個或31個數(shù)．2．解：可以按照Ⅰ，Ⅱ,Ⅲ，Ⅳ的順序分別著色,分別有5，4,3,3種方法，所以著色種數(shù)有5×4×3×3＝180種．點撥：此題屬于分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用．3．解：分三步完成:第一步，從1，3，5，7，9中取三個數(shù)，有種取法；第二步，從2，4，6，8中取兩個數(shù)，有種取法；第三步，將取出的5個數(shù)全排列，有種排法．共有符合條件的五位數(shù)個．點撥:本題的關(guān)鍵是注意到先取元素后排列．4．解：由于甲和乙都沒有得冠軍，所以冠軍是其他三人中的一個，有種可能；乙不是最差的,所以是第2,3，4名中的一種有種可能；上述位置確定后，甲連同其他2人可任意排列,有種排法．所以名次排列的可能情況的種數(shù)是.5．解：等式兩邊都是兩個相乘，可以想到分步乘法計數(shù)原理,于是可得如下分步取組合的方法．在n個人中選擇m個人打掃衛(wèi)生,其中k個人擦窗，m－k個人拖地,問共有多少種不同的選取人員的方法？解法一:利用分步乘法計數(shù)原理，先從n個人中選m個人,然