人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第21-25章《小結(jié)與復(fù)習(xí)》課件全套

小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十一章一元二次方程人教版九年級數(shù)學(xué)上冊一、一元二次方程的基本概念1.定義：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)要點(diǎn)梳理3.項(xiàng)數(shù)和系數(shù)：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)一次項(xiàng)：ax2

一次項(xiàng)系數(shù)：a二次項(xiàng)：bx二次項(xiàng)系數(shù)：b常數(shù)項(xiàng)：c4.注意事項(xiàng)：(1)含有一個(gè)未知數(shù)； (2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；(3)二次項(xiàng)系數(shù)不為0；(4)整式方程．

二、解一元二次方程的方法一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各種一元二次方程的解法及使用類型三、一元二次方程在生活中的應(yīng)用列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審設(shè)列解檢答（1）審題：通過審題弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系．（2）設(shè)元：就是設(shè)未知數(shù),分直接設(shè)與間接設(shè),應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要恰當(dāng)選取設(shè)元法．（3）列方程：就是建立已知量與未知量之間的等量關(guān)系．列方程這一環(huán)節(jié)最重要，決定著能否順利解決實(shí)際問題．（4）解方程：正確求出方程的解并注意檢驗(yàn)其合理性．（5）作答：即寫出答語，遵循問什么答什么的原則寫清答語．考點(diǎn)一一元二次方程的定義例1

若關(guān)于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0解析

本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項(xiàng)（二次項(xiàng)系數(shù)不為0），因此它的系數(shù)m-1≠0,即m≠1,故選A.A1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次項(xiàng)系數(shù)是

，一次項(xiàng)系數(shù)是

，常數(shù)項(xiàng)是

.4-20考點(diǎn)講練針對訓(xùn)練考點(diǎn)二一元二次方程的根的應(yīng)用解析根據(jù)一元二次方程根的定義可知將x=0代入原方程一定會(huì)使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程m2-1=0，解得m=±1的值.這里應(yīng)填-1.這種題的解題方法我們稱之為“有根必代”.例2

若關(guān)于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一個(gè)根為0,則m=

.【易錯(cuò)提示】求出m值有兩個(gè)1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，應(yīng)引起注意.-1針對訓(xùn)練2.

一元二次方程x2+px-2=0的一個(gè)根為2，則p的值為

.-1【易錯(cuò)提示】(1)配方法的前提是二次項(xiàng)系數(shù)是1；（a-b)2與（a+b)2要準(zhǔn)確區(qū)分；（2）求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣解析

(1)配方法的關(guān)鍵是配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得到符合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長．考點(diǎn)三一元二次方程的解法例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易錯(cuò)題）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為（）

A．13B．15C．18D．13或18AA3.菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長為（）A.16B.12C.16或12D.24A針對訓(xùn)練4.用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0（要求寫出必要解題步驟）.4.用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0（要求寫出必要解題步驟）.考點(diǎn)四一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用例4

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易錯(cuò)提示】應(yīng)用根的判別式之前務(wù)必將方程化為一般形式，這樣能幫助我們正確確定a,b,c的值.解析根據(jù)方程根的情況可知，此方程的根的判別式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故選A.Δ5.下列所給方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=06.（開放題）若關(guān)于x的一元二次方程x2-x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是

（寫出一個(gè)即可）．D0針對訓(xùn)練考點(diǎn)五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根為m，n，則m2－mn＋n2＝

．25解析根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要變形】針對訓(xùn)練7.

已知方程2x2+4x-3=0的兩根分別為x1和x2,則x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A考點(diǎn)六一元二次方程的應(yīng)用

例6

某機(jī)械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價(jià)為24元，平均每天能售出32件，而當(dāng)銷售價(jià)每上漲2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的銷售價(jià)為x元，則每天的銷售量為多少？（2）如果物價(jià)部門規(guī)定這種零件的銷售價(jià)不得高于每件28元，該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)當(dāng)為多少元？市場銷售問題解析

本題為銷售中的利潤問題，其基本本數(shù)量關(guān)系用表析分如下：設(shè)公司每天的銷售價(jià)為x元.單件利潤銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價(jià)銷售432x-2032-2(x-24)150其等量關(guān)系是：總利潤=單件利潤×銷售量.解：（1）32-(x-24)×2=80-2x;（2）由題意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由題意x≤28,∴x=25,即售價(jià)應(yīng)當(dāng)為25元.【易錯(cuò)提示】銷售量在正常銷售的基礎(chǔ)上進(jìn)行減少.要注意驗(yàn)根.128例7

菜農(nóng)小王種植的某種蔬菜，計(jì)劃以每千克5元的價(jià)格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該種蔬菜滯銷.小王為了加快銷售，減少損失，對價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價(jià)格對外批發(fā)銷售.求平均每次下調(diào)的百分率是多少？解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x，根據(jù)題意得

5（1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.平均變化率問題例8

為了響應(yīng)市委政府提出的建設(shè)綠色家園的號召，我市某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一個(gè)長為30m,寬為20m的長方形空地，建成一個(gè)矩形的花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖所示，要是種植花草的面積為532m2,，那么小道的寬度應(yīng)為多少米？（所有小道的進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道為平行四邊形）解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬為xcm

（30-2x)(20-x)=532

x2-35x+34=0

x1=1x2=34（舍去）答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米.

解決有關(guān)面積問題時(shí)，除了對所學(xué)圖形面積公式熟悉外，還要會(huì)將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，并找出各部分圖形面積之間的關(guān)系，再列方程求解.（注意：這里的橫堅(jiān)斜小路的的寬度都相等）平移轉(zhuǎn)化方法總結(jié)一元二次方程一元二次方程的定義概念：①整式方程；②一元；③二次.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法直接開平方法配方法公式法因式分解法根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系根的判別式：Δ=b2-4ac根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的應(yīng)用營銷問題、平均變化率問題幾何問題、數(shù)字問題課堂小結(jié)見章末練習(xí)課后作業(yè)第二十二章二次函數(shù)人教版九年級數(shù)學(xué)上冊小結(jié)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理

一般地，形如

(a，b，c是常數(shù)，

__)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋ca≠０[注意](1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．1.二次函數(shù)的概念二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜02.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞0開口向上a＜0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在對稱軸左邊,x↗y↘;在對稱軸右邊,

x↗y↗

在對稱軸左邊,x↗y↗;在對稱軸右邊,

x↗y↘y最小=y最大=3.二次函數(shù)圖像的平移y＝ax2左、右平移左加右減上、下平移上加下減y＝-ax2寫成一般形式沿x軸翻折4.二次函數(shù)表達(dá)式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2．頂點(diǎn)法：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)3．交點(diǎn)法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況:有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)重合的交點(diǎn),沒有交點(diǎn).當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有兩個(gè)重合的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<06.二次函數(shù)的應(yīng)用1．二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面(1)用二次函數(shù)表示實(shí)際問題變量之間的關(guān)系，解決最大化問題(即最值問題)；(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．2．一般步驟：(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問題；(4)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，是否符合實(shí)際意義．考點(diǎn)一求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、最值考點(diǎn)講練例1

拋物線y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．方法二代入公式，，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．(1,2)方法歸納解決此類題目可以先把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配方為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到：對稱軸是直線x＝h，最值為y＝k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；也可以直接利用公式求解.1．對于y＝2(x－3)2＋2的圖像下列敘述正確的是(

)A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,2)

B．對稱軸為y＝3C．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而減小C針對訓(xùn)練考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較例2二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖所示，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由圖像看出，拋物線開口向下，對稱軸是x＝1，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故選B.B針對訓(xùn)練2.下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值增大而減小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D針對訓(xùn)練考點(diǎn)三

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與系數(shù)a，b，c的關(guān)系例3已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D解析：由圖像開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖像與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖像上橫坐標(biāo)為x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖像上橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)在第四象限得出a＋b＋c＜0，由圖像上橫坐標(biāo)為x＝－1的點(diǎn)在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．故選D.方法總結(jié)1.可根據(jù)對稱軸的位置確定b的符號：b＝0?對稱軸是y軸；a、b同號?對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號?對稱軸在y軸右側(cè).這個(gè)規(guī)律可簡記為“左同右異”.2.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝a＋b＋c.當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上方時(shí)，a＋b＋c＞0；當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上時(shí)，a＋b＋c＝0；當(dāng)圖像上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸下方時(shí)，a＋b＋c＜0.同理，可由圖像上橫坐標(biāo)x＝－1的點(diǎn)判斷a－b＋c的符號.3.已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1針對訓(xùn)練解析：∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸應(yīng)在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸，即b≤1，故選擇D.考點(diǎn)四拋物線的幾何變換例4將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度后，得到的拋物線解析式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因?yàn)閥＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度后，得到的解析式為y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故選B.3.若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則可能（）A.先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B.先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位C.先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位D.先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位B針對訓(xùn)練考點(diǎn)五二次函數(shù)表達(dá)式的確定例5已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=－1時(shí),函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.待定系數(shù)法解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y＝ax2+bx＋c,由題意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函數(shù)為y＝2x2－3x＋5.5.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的表達(dá)式.解:

拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同

a=1或－1

又

頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,

頂點(diǎn)為(1,5)或(1,－5)

所以其表達(dá)式為:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5

針對訓(xùn)練例6若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7解析：∵二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，∴

=3，解得m=－6，∴關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故選D．考點(diǎn)六二次函數(shù)與一元二次方程例7

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)y＝kx＋b，且x＝65時(shí)，y＝55；x＝75時(shí)，y＝45.(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？考點(diǎn)七二次函數(shù)的應(yīng)用解：(1)根據(jù)題意，得解得k=-1,b=120.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120.(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,∵拋物線的開口向下，∴當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴當(dāng)x=87時(shí)，W有最大值，此時(shí)W=-(87-90)2+900=891.11.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場以來3個(gè)月的利潤情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請結(jié)合圖象，解答以下問題：(1)求該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；(2)該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？(3)若照此經(jīng)營下去，請你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對公司在此款電腦的經(jīng)營狀況(是否虧損？何時(shí)虧損？)作預(yù)測分析．針對訓(xùn)練解：(1)因圖象過原點(diǎn)，則設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx，由圖象的點(diǎn)的含義，得解得a=-1,b=14.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+14x.(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即當(dāng)x=7時(shí)，利潤最大，y=49(萬元）(3)沒有利潤，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而這時(shí)利潤為滑坡狀態(tài)，所以第15個(gè)月，公司虧損.例8如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G.(1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長；(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值．解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=

x2+60x-450.（3）S=x2+60x-450=(x-20)2+150.∵a=＜0,15＜20＜30，∴當(dāng)x=20時(shí)，S有最大值，最大值為150.12.張大伯準(zhǔn)備用40m長的木欄圍一個(gè)矩形的羊圈，為了節(jié)約材料同時(shí)要使矩形的面積最大，他利用了自家房屋一面長25m的墻，設(shè)計(jì)了如圖一個(gè)矩形的羊圈.(1)請你求出張大伯矩形羊圈的面積；

(2)請你判斷他的設(shè)計(jì)方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又該如何設(shè)計(jì)？并說明理由.25m針對訓(xùn)練解：（1）由題意，得羊圈的長為25m,寬為(40-25)÷2=7.5(m).

故羊圈的面積為25×7.5=187.5(m2)（2）設(shè)羊圈與墻垂直的一邊為xm,則與墻相對的一邊長為(40-2x)m,羊圈的面積S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0＜x＜20).因?yàn)?＜10＜20，所以當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，此時(shí)S=200.故張大伯的設(shè)計(jì)不合理.羊圈與墻垂直的兩邊長為10m,而與墻相對的一邊長為(40-2x)m=20m.

二次函數(shù)二次函數(shù)的概念二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課堂小結(jié)不共線三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式二次函數(shù)的應(yīng)用見章末練習(xí)課后作業(yè)第二十三章旋轉(zhuǎn)人教版九年級數(shù)學(xué)上冊小結(jié)與復(fù)習(xí)一、旋轉(zhuǎn)的特征1．旋轉(zhuǎn)過程中，圖形上______________________按

旋轉(zhuǎn)

．2．任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是________，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離都________．3．旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別____，圖形的大小、形狀_________．每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心同一旋轉(zhuǎn)方向同樣大小的角度旋轉(zhuǎn)角相等相等不變要點(diǎn)梳理1．中心對稱把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)____，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形成中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)．180°二、中心對稱2．中心對稱的特征中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過

，并且被對稱中心________．3.中心對稱圖形把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心．對稱中心平分考點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)的應(yīng)用例1

（1）如圖a，將三角形AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°,則∠AOD的度數(shù)是（）A.15°B.60°C.45°D.75°ABODC圖aC

【解析】關(guān)鍵找出旋轉(zhuǎn)角∠BOD=60°;考點(diǎn)講練(2)如圖b,4×4的正方形網(wǎng)格中，三角形MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋轉(zhuǎn)中心是（）A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)DN1M1NMP1DPAB圖bCB

【解析】作線段MM1與PP1

的垂直平分線，交點(diǎn)便是旋轉(zhuǎn)中心.1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，將三角形AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形COD，則旋轉(zhuǎn)過程中形成的陰影部分的面積為________．針對訓(xùn)練2.如圖，在正方形網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上，將三角形ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到三角形AB1C1.請你作出三角形AB1C1.解析：作∠CAC′＝90°，且AC＝AC′，得到C的對應(yīng)點(diǎn)C′，由同樣的方法得到其余各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)．解：如圖所示：

(1)畫旋轉(zhuǎn)后的圖形，要善于抓住圖形特點(diǎn)，作出特殊點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；(2)旋轉(zhuǎn)作圖時(shí)要明確三個(gè)方面：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度及旋轉(zhuǎn)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)．方法總結(jié)考點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)變換例2

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF，連接EF．（1）補(bǔ)充完成圖形；（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．解析：（1）根據(jù)題意，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度，補(bǔ)全圖形即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCF為直角，由EF與CD平行，得到∠EFC為直角，利用SAS得到△BDC與△EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等即可得證．F解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DC=FC，∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．針對訓(xùn)練3.如圖，在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AC=4,將一塊邊長足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放在O點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板的直角邊與AC相交，交點(diǎn)為D,另一條直角邊與BC相交，交點(diǎn)為E,則等腰直角三角形ABC的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段CD與CE長度之和等于

.ABCDEO4

例3

如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(3,2)、B(1,3).xyOAB

(1)將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）畫出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點(diǎn)A2,B2的坐標(biāo).xyOABA1B1A2B2解析

(1)因?yàn)樾D(zhuǎn)角90°，故用直角三角板及圓規(guī)可快速確定對應(yīng)點(diǎn)的位置；（2）先根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)確定對稱頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再依次連結(jié)得到所要畫的圖形.易錯(cuò)提示

作旋轉(zhuǎn)圖形不要搞錯(cuò)方向.解：(1)如圖所示；（2）如圖所示，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-3，-2),B2的坐標(biāo)為(-1，-3).例4

如圖，有一張不規(guī)則紙片，若連接EB,則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD,請你用無刻度的直尺畫一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由.ABCFED解：

矩形FABE是中心對稱圖形，矩形

BCDE也是中心對稱圖形，所以經(jīng)過它們中心的直線把圖形分成全等的兩部分，面積相等.如圖直線l既經(jīng)過矩形FABE的中心，又經(jīng)過菱形BCDE的中心，所以它把紙片分成面積相等的兩部分.l4.如圖，從前一個(gè)農(nóng)民有一塊平行四邊形的土地，地里有一個(gè)圓形池塘.財(cái)主立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個(gè)兒子，中間池塘也平分.財(cái)主的兩個(gè)兒子不知怎么做，你能想個(gè)辦法嗎？解析先找到平行四邊形對角線的交點(diǎn)A，過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作一條直線可以了.AB針對訓(xùn)練考點(diǎn)三中心對稱例5

下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）．

A

B

C

DD【解析】

圖A.圖B都是軸對稱圖形，圖C是中心對稱圖形，圖D既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.

中心對稱圖形和軸對稱圖形的主要區(qū)別在于一個(gè)是繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，另一個(gè)是沿一條直線對折.這是易錯(cuò)點(diǎn)，也是辨別它們不同的關(guān)鍵.方法總結(jié)5.下列說法不正確的是（）A.任何一個(gè)具有對稱中心的四邊形都是平行四邊形B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是中心對稱圖形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，且對稱軸都不止一條.B針對訓(xùn)練例6：如圖所示的圖案是一個(gè)軸對稱圖形(不考慮顏色)，直線m是它的一條對稱軸.已知圖中圓的半徑為r,求你能借助軸對稱的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法.m考點(diǎn)四圖形變換的簡單應(yīng)用解：以直線m為對稱軸，把m左邊綠色部分反射到m的右邊，那么它們的像恰好填補(bǔ)了右邊的白色部分，所以圖中的綠色部分面積等于半個(gè)圓的面積，也就是.m旋轉(zhuǎn)的概念旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)的三要素基本性質(zhì)①旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等②對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)③對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)作圖定找旋連中心對稱中心對稱定義旋轉(zhuǎn)180°性質(zhì)對稱中心是對稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)（即兩個(gè)對稱點(diǎn)與對稱中心三點(diǎn)共線中心對稱圖形性質(zhì)經(jīng)過對稱中心的直線把原圖形面積平分課堂小結(jié)見章末練習(xí)課后作業(yè)第二十四章圓人教版九年級數(shù)學(xué)上冊小結(jié)與復(fù)習(xí)·一.與圓有關(guān)的概念1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.2.弦:連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段.3.直徑:經(jīng)過圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長的弦.4.劣弧:小于半圓周的圓弧.5.優(yōu)弧:大于半圓周的圓弧.要點(diǎn)梳理6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧.7.圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交.8.圓周角:頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交.[注意](1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大?。?2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.·9.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.10.三角形的外接圓

外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的外心.[注意](1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.11.三角形的內(nèi)切圓

內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的內(nèi)心.[注意](1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.12.正多邊形的相關(guān)概念(1)中心：正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.(2)半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.(4)中心角：正多邊形每一條邊對應(yīng)所對的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．設(shè)☉O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)；d＜r點(diǎn)P在圓上；d=r點(diǎn)P在圓外.d＞r[注意]點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離直線與圓的位置關(guān)系

圖形

d與r的關(guān)系

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交d＞rd=rd＜r三、

圓的基本性質(zhì)1.圓的對稱性圓是軸對稱圖形，它的任意一條_______所在的直線都是它的對稱軸.直徑2.有關(guān)圓心角、弧、弦的性質(zhì).(1)在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等.(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.圓心角相等弧相等弦相等(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條??；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.三、

有關(guān)定理及其推論1.垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的

.[注意]①條件中的“弦”可以是直徑；②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧．兩條弧2.圓周角定理(1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.(3)推論2：90°的圓周角所對的弦是直徑.[注意]“同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”．(4)推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).(2)推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對弧相等.3.與切線相關(guān)的定理(1)判定定理：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.(3)切線長定理：經(jīng)過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.四、

圓中的計(jì)算問題1.弧長公式半徑為R的圓中，n°圓心角所對的弧長l=________.2.扇形面積公式半徑為R，圓心角為n°的扇形面積S=____________.或3.弓形面積公式OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積(3)圓錐的側(cè)面積為

.(4)圓錐的全面積為

.4.圓錐的側(cè)面積(1)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)

.(2)如果圓錐母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為

，扇形的弧長為

.扇形l5.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算(1)正n邊形的中心角為(2)正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系(3)邊長a，邊心距r的正n邊形的面積為其中l(wèi)為正n邊形的周長.考點(diǎn)一圓周角定理例1

在圖中，BC是☉O的直徑，AD⊥BC,若∠D=36°,則∠BAD的度數(shù)是（）A.72°B.54°C.45°D.36°ABCDB135°1.如圖a，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則∠BPC的度數(shù)是

.CDBAPO圖a針對訓(xùn)練2.如圖b，線段AB是直徑，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，∠CDB=20°,過點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E,則∠E等于

.OCABED圖b50°考點(diǎn)二垂徑定理

例2

工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長度為

mm.8mmAB8CDO解析設(shè)圓心為O，連接AO,作出過點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，AD=4mm，所以AB=8mm.AOBCEF圖a3.如圖a，點(diǎn)C是扇形OAB上的AB的任意一點(diǎn)，OA=2,連接AC,BC,過點(diǎn)O作OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分別為E,F，連接EF，則EF的長度等于

.（針對訓(xùn)練ABCDPO圖bD’P4.如圖b,AB是⊙O的直徑，且AB=2，C,D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動(dòng)點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

.（（例3

如圖，

O為正方形對角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O

為圓心，OA長為半徑的☉O與BC相切于點(diǎn)M.(1)求證：CD與☉O相切；ABCDOM(1)證明：過點(diǎn)O作ON⊥CD于N.連接OM

∵BC與☉O相切于點(diǎn)M,∴∠OMC=90°,

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O在AC上.∴AC是∠BCD的角平分線，∴ON=OM，∴CD與☉O相切.N考點(diǎn)三與圓有關(guān)的位置關(guān)系A(chǔ)BCDOM(2)解:∵正方形ABCD的邊長為1,AC=.設(shè)☉O的半徑為r,則OC=.又易知△OMC是等腰直角三角形，∴OC=因此有，解得.（2）若正方形ABCD的邊長為1，求☉O的半徑.方法歸納（1）證切線時(shí)添加輔助線的解題方法有兩種：①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無公共點(diǎn)，作垂直，證半徑；有切線時(shí)添加輔助線的解題方法是：見切點(diǎn)，連半徑，得垂直；（2）設(shè)未知數(shù)，通常利用勾股定理建立方程.5.

☉O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在☉O內(nèi)部B．點(diǎn)A在☉O上C．點(diǎn)A在☉O外部D．點(diǎn)A不在☉O上解析：此題需先計(jì)算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，然后再根據(jù)R與d的之間的關(guān)系判斷出點(diǎn)A與

☉O的關(guān)系.D針對訓(xùn)練6.（多解題）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=30°,半徑為1cm的☉P的圓心在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么

秒鐘后☉P與直線CD相切.4或8解析：

根本題應(yīng)分為兩種情況：(1)☉P在直線AB下面與直線CD相切；(2)☉P在直線AB上面與直線CD相切.ABDCPP2P1E

例4

已知：如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，過上的一點(diǎn)C作⊙O的切線，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度數(shù)；解：(1)連接OA、OB、OC，∵⊙O分別切PA、PB、DE于點(diǎn)A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.(2)∵⊙O分別切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周長＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周長．例5如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的圓上,

OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，則扇形OEF的面積？解：∵四邊形OABC為菱形∴OC=OA=1

∵∠AOC=120°，∠1=∠2∴∠FOE=120°

又∵點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上

考點(diǎn)四圓中的計(jì)算問題7.（1）一條弧所對的圓心角為135°，弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為

.（2）若一個(gè)正六邊形的周長為24，則該正六邊形的面積為______.40cm針對訓(xùn)練8.如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點(diǎn)，O是圓心，半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于_______．例6

如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，求圖中陰影部分的面積.解：將線段FC平移到直線AE上，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C'的位置.連接AC，如圖所示.根據(jù)平移的方法可知，四邊形EFCC'是矩形.∴AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.在Rt△AC'C中，得∴正方形ABCD外接圓的半徑為∴正方形ABCD的邊長為

當(dāng)圖中出現(xiàn)圓的直徑時(shí)，一般方法是作出直徑所對的圓周角，從而利用“直徑所對的圓周角等于”構(gòu)造出直角三角形，為進(jìn)一步利用勾股定理或銳角三角函數(shù)提供了條件.方法總結(jié)9.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為5的⊙O，四邊形EFGH是正方形．⑴求正方形EFGH的面積；解：⑴∵正六邊形的邊長與其半徑相等，∴EF=OF=5.∵四邊形EFGH是正方形，

∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面積是25.針對訓(xùn)練⑵∵正六邊形的邊長與其半徑相等，∴∠OFE=600.∴正方形的內(nèi)角是900，∴∠OFG=∠OFE+∠EFG=600+900=1500.由⑴得OF=FG，∴∠OGF=（1800-∠OFG）

=（1800-1500）=150.⑵連接OF、OG，求∠OGF的度數(shù)．考點(diǎn)五與圓有關(guān)的作圖·abcda例7如何解決“破鏡重圓”的問題：O·例8如何作圓內(nèi)接正五邊形怎么作？·OE72°BADC（1）用量角器作72°的中心角，得圓的五等分點(diǎn)；（2）依次連接各等分點(diǎn)，得圓的內(nèi)接正五邊形.圓圓的性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系弧長與扇形面積的計(jì)算圓的對稱性圓是中心對稱圖形垂徑定理四邊形的內(nèi)接圓、三角形的外接圓直線與圓的位置的關(guān)系切線長定理課堂小結(jié)圓的概念圓心角、圓周角、弧與弦之間的關(guān)系圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是它的對稱軸切線三角形的內(nèi)切圓正多邊形與圓作圖見章末練習(xí)課后作業(yè)第二十五章概率初步人教版九年級數(shù)學(xué)上冊小結(jié)與復(fù)習(xí)一、事件的分類及其概念要點(diǎn)梳理事件確定事件隨機(jī)事件必然事件不可能事件

1.在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件；

2.在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件；

3.在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.

1.概率：

一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P（A）.二、概率的概念01事件發(fā)生的可能性越來越大事件發(fā)生的可能性越來越小不可能事件必然事件概率的值2.三、隨機(jī)事件的概率的求法1.①當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果不是有限個(gè)，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，我們用大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生的穩(wěn)定頻率來估計(jì)概率.②頻率與概率的關(guān)系：兩者都能定量地反映隨機(jī)事件可能性的大小，但頻率具有隨機(jī)性，概率是自身固有的性質(zhì)，不具有隨機(jī)性.2.概率的計(jì)算公式：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，那么出現(xiàn)每一種結(jié)果的概率都是.

如果事件A包括其中的m種可能的結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=++…+n1n1n1m個(gè)=nm

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為了不重不漏的列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.一個(gè)因素所包含的可能情況另一個(gè)因素所包含的可能情況兩個(gè)因素所組合的所有可能情況,即n

在所有可能情況n中,再找到滿足條件的事件的個(gè)數(shù)m,最后代入公式計(jì)算.列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn):

當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及3個(gè)因素或更多的因素時(shí),怎么辦?四、列表法

當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及2個(gè)因素或更多的因素時(shí),為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用“樹狀圖”.樹形圖的畫法:一個(gè)試驗(yàn)第一個(gè)因數(shù)第二個(gè)第三個(gè)

如一個(gè)試驗(yàn)中涉及2個(gè)或3個(gè)因數(shù),第一個(gè)因數(shù)中有2種可能情況;第二個(gè)因數(shù)中有3種可能的情況;第三個(gè)因數(shù)中有2種可能的情況.AB123123ababababababn=2×3×2=12五、樹狀圖法考點(diǎn)一事件的判斷和概率的意義考點(diǎn)講練例1

下列事件是隨機(jī)事件的是（）A.明天太陽從東方升起B(yǎng).任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是360°C.通常溫度降到0℃以下，純凈的水結(jié)冰D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心D1.“閉上眼睛從布袋中隨機(jī)地摸出1個(gè)球，恰是紅球的概率是”的意思是（）A．布袋中有2個(gè)紅球和5個(gè)其他顏色的球B．如果摸球次數(shù)很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中紅球C．摸7次，就有2次摸中紅球D．摸7次，就有5次摸不中紅球B針對訓(xùn)練2.下列事件中是必然事件的是（）A．從一個(gè)裝有藍(lán)、白兩色球的缸里摸出一個(gè)球，摸出的球是白球B．小丹的自行車輪胎被釘子扎壞C．小紅期末考試數(shù)學(xué)成績一定得滿分D．將油滴入水中，油會(huì)浮在水面上