數(shù)學教學設計：離散型隨機變量

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教學設計2．1.1離散型隨機變量eq\o(\s\up7(）,\s\do5(整體設計))教材分析本章是在初中“統(tǒng)計初步”和高中必修課“概率”的基礎上,學習隨機變量和分布列的一些知識．學習這些知識后，學生將能解決類似引言中的一些實際問題．隨機變量在概率統(tǒng)計研究中起著極其重要的作用，隨機變量是用來描述隨機現(xiàn)象的結果的一類特殊的變量,隨機變量能夠反映隨機現(xiàn)象的共性,有關隨機變量的結論可以應用到具有不同背景的實際問題中．隨機變量就是建立了一個從隨機試驗結果的集合到實數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質上（一種對應關系）是一致的．隨機試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域．離散型隨機變量是最簡單的隨機變量，隨機變量和離散型隨機變量是上、下位概念的關系．本節(jié)課主要通過離散型隨機變量展示用實數(shù)空間刻畫隨機現(xiàn)象的方法．重點是怎樣用數(shù)學的方法來研究隨機事件(即先把隨機事件映射成隨機變量，建立隨機變量X與隨機事件發(fā)生的概率P之間的函數(shù)關系，用研究函數(shù)的方法來研究隨機變量)，并在此過程中深刻體會和領悟隨機變量在研究隨機現(xiàn)象中的工具和橋梁作用．課時分配1課時

教學目標知識與技能1．理解隨機變量的意義；2．學會區(qū)分離散型與非離散型隨機變量，并能舉出離散型隨機變量的例子;3．理解隨機變量所表示試驗結果的含義，并恰當?shù)囟x隨機變量．過程與方法發(fā)展抽象、概括能力，提高解決實際問題的能力．情感、態(tài)度與價值觀使學生感悟數(shù)學與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文價值．重點難點教學重點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義．教學難點：隨機變量、離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的意義．eq\o（\s\up7()，\s\do5（教學過程)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新課))統(tǒng)計表明:商場內(nèi)的促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2萬元;商場外的促銷活動,如果不遇雨天則帶來經(jīng)濟效益10萬元，如果遇到雨天則帶來經(jīng)濟損失4萬元．假設國慶節(jié)有雨的概率是40%，請問商場應該選擇哪種促銷方式較好？為了解決類似問題,從今天開始學習本章內(nèi)容——隨機變量及其分布列．設計意圖:設置懸念，營造一種神秘氣氛,容易吸引學生注意力,調動學生學習興趣，揭示隨機變量的分布列的客觀存在性和研究它的必要性,點出了本章內(nèi)容．活動設計：復習回顧概率有關知識．概率是描述在一次隨機試驗中的某個隨機事件發(fā)生可能性大小的度量．隨機試驗是指滿足下列三個條件的試驗：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個,但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果．（本部分可由教師提示、學生完成）提出問題：同學們能舉出一些隨機試驗的例子嗎？并說明該隨機試驗的所有可能結果．學情預測：學生容易舉出拋硬幣、擲骰子等試驗,然后教師可根據(jù)例子實施引導、啟發(fā)．活動結果：(以下為可能出現(xiàn)的例子)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字1，2,3,4,5,6來表示;某人射擊一次,可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán),…，命中10環(huán)等結果，即可能出現(xiàn)的結果可以由0，1，…，10這11個數(shù)表示；從裝有4個黑球，3個紅球的籃子中任意拿出2個球，可能出現(xiàn)哪些情況?提出問題：這些隨機試驗，有哪些共同點?活動結果：隨機試驗中可能出現(xiàn)的每種結果都可以用一個數(shù)來表示．(由學生完成)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知）)提出問題：擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)可以用數(shù)字1,2，3，4,5,6來表示．那么擲一枚硬幣的結果是否也可以用數(shù)字來表示呢?學情預測：此時有的學生會產(chǎn)生疑慮，不敢作答,教師根據(jù)學情引導．活動結果：拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結果．雖然這個隨機試驗的結果不具有數(shù)量性質，但我們可以用數(shù)1和0分別表示正面向上和反面向上．（也可用另外兩個數(shù)如1、2分別表示正面向上和反面向上,通過準確、恰當?shù)某橄螅墒箚栴}簡單化，這正是數(shù)學的魅力所在)教師指出：在前面擲骰子和拋硬幣的隨機試驗中,我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應關系下，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化．(給出定義)定義1：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母X，Y,ξ，η，…表示．隨機變量ξ或η的特點：(1)可以用數(shù)表示；(2）試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；（3)在試驗之前不可能確定取何值．提出問題：隨機變量和高一學習的什么概念有類似的地方嗎？(函數(shù)或映射）活動結果：隨機變量和函數(shù)都是一種映射,隨機變量把隨機試驗的結果映為實數(shù),函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)．在這兩種映射之間,試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域．（學生為主，教師完善)教師：例如,從含有4個黑球3個紅球的籃子中，任意抽取兩個球，可能含有的紅球數(shù)X將隨著抽取結果的變化而變化，是一個隨機變量,其取值范圍是{0,1,2}．提出問題：利用隨機變量可以表達一些事件．例如｛X＝0}表示“抽出兩個黑球"，｛X＝2}表示“抽出2個紅球"等．你能說出{X<1｝在這里表示什么事件嗎?“抽出1個以上黑球”又如何用X表示呢？（學生基本能順利完成）教師指出：紅球數(shù)X是一個隨機變量，其取值是0、1、2，可以一一列舉（給出定義)．定義2：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．提出問題：離散型隨機變量的例子很多．例如某人一分鐘內(nèi)眨眼次數(shù)X是一個離散型隨機變量，它的所有可能取值為0，1，2…；同學們還能舉出哪些例子？學情分析：有的學生在舉例時會錯舉出一個連續(xù)型隨機變量來，借機發(fā)問，例如：提出問題：燈泡的使用壽命X是離散型隨機變量嗎？活動結果：燈泡的使用壽命X的可能取值是任何一個非負實數(shù)，而所有非負實數(shù)不能一一列出，所以X不是離散型隨機變量．定義3：連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值,可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量．提出問題：同學們還能舉出哪些例子？活動結果:如某林場樹木最高達30米,則林場樹木的高度是一個隨機變量,它可以取(0，30]內(nèi)的一切值(或者其他）．教師指出：在研究隨機現(xiàn)象時，有時可根據(jù)需要恰當?shù)囟x隨機變量．例如,如果我們僅關心電燈泡的使用壽命是否不少于1000小時，那么就可以定義如下的隨機變量：Y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0，壽命〈1000小時；,1，壽命≥1000小時。）)與電燈泡的壽命X相比較，隨機變量Y的構造更簡單，它只取兩個不同的值0和1，是一個離散型隨機變量，研究起來更加容易．提出問題：同學們還能舉出哪些離散型或連續(xù)型隨機變量的例子？你能否總結出二者的區(qū)別與聯(lián)系？活動結果：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出(由學生完成）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知））教師進一步指出：(1）有些隨機試驗的結果雖然不具有數(shù)量性質，但可以用數(shù)量來表達，如投擲一枚硬幣,ξ＝0,表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．（2）若ξ是隨機變量，η＝aξ＋b，a，b是常數(shù)，則η也是隨機變量．(可通過拓展練習來說明）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（運用新知))例1一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1,2,3,4，5?，F(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ;寫出隨機變量ξ可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．解:(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3個球的編號為1,2，3；ξ＝4，表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3，4或2,3，4；ξ＝5，表示取出的3個球的編號為1，2,5或1,3，5或1，4,5或2，3,5或3,4,5。例2拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ，試問：“ξ〉4”表示的試驗結果是什么？解:因為一枚骰子的點數(shù)可以是1,2，3，4,5,6六種結果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是說“ξ〉4”就是“ξ＝5”．所以,“ξ〉4"表示第一枚為6點,第二枚為1點．【變練演編】寫出某用戶的電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η的可能值．解:η可取0，1,…，n，…。η＝i,表示被呼叫i次，其中i＝0,1，2，…。變式：一用戶在打電話時忘記了最后3個號碼，只記得最后3個數(shù)兩兩不同，且都大于5.于是他隨機撥最后3個數(shù)(兩兩不同），設他撥到正確號碼的次數(shù)為X，寫出隨機變量X的可能值．解：X可取1,2,3，…,24.【達標檢測】1．有下列問題：①某路口一天經(jīng)過的車輛數(shù)為ξ；②某地半年內(nèi)下雨的次數(shù)為ξ；③一天之內(nèi)的溫度為ξ；④某人一生中的身高為ξ；⑤射擊運動員對某目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用ξ表示運動員在射擊中的得分．上述問題中的ξ是離散型隨機變量的是（)A．①②③⑤B．①②④C．①D．①②⑤2．隨機變量ξ的所有可能取值為1,2，…，n，若P(ξ〈4）＝0。3，則（)A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．不能確定3．拋擲兩次骰子，兩次點數(shù)的和不等于8的概率為（）A。eq\f(11，12)B。eq\f(31,36）C。eq\f(5,36)D.eq\f(1，12)答案：1.D2。C3.Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結）)1．離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量的概念；2．隨機變量ξ是關于試驗結果的映射，即每一個試驗結果對應著一個實數(shù)；3．隨機變量ξ的線性組合η＝aξ＋b（其中a、b是常數(shù))也是隨機變量．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（補充練習)）【基礎練習】1．寫出下列各隨機變量可能的取值：(1)從10張已編號的卡片(從1號到10號)中任取1張,被取出的卡片的號數(shù)X。解：X＝1,2,3,…,10.（2)某一自動裝置無故障運轉的時間ξ。解:ξ?。?，＋∞)內(nèi)的一切值．【拓展練習】某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標準收租車費．若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計費(超出不足1km的部分按1km計）．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km。某司機常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程（這個城市規(guī)定,每停車5分鐘按1km路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量，他收旅客的租車費η也是一個隨機變量．（1)求租車費η關于行車路程ξ的關系式;(2)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?解：（1）依題意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15)＝15。所以,出租車在途中因故停車累計最多15分鐘．eq\o（\s\up7(），\s\do5(設計說明)）本節(jié)主要采用教師提出問題引導，學生思考歸納的形式,讓學生經(jīng)歷概念的形成過程,避免了以往由老師敘述概念條文,然后講解例題的教學模式,以實際問題為向導，引導學生分析問題、歸納問題的共性，提煉出隨機變量的概念．eq\o（\s\up7()，\s\do5(備課資料))備選例題：1．把一枚硬幣先后拋擲兩次,如果出現(xiàn)兩個正面得5分，出現(xiàn)兩個反面得－3分，其他結果得0分，用X表示得分的分值，列表寫出可能出現(xiàn)的結果與對應的X值