第09節(jié) 簡單的線性規(guī)劃問題（解析版）

第9節(jié)簡單的線性規(guī)化問題基礎(chǔ)知識要夯實1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對x，y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題[微點提醒]1.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0，1)或(1，0)來驗證.2.判定二元一次不等式表示的區(qū)域(1)若B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方.(2)若B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.典型例題剖析考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域【例1】(1)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A. B. C. D.2【答案】B【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點O(0，0)，B(－2，0)和A(1，)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，由圖知該平面區(qū)域的面積為×2×＝.【規(guī)律方法】1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.2.求平面區(qū)域的面積：(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；(2)對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和.【訓(xùn)練1】(2022·玉溪模擬)已知不等式組所表示的平面區(qū)域為面積等于的三角形，則實數(shù)k的值為()A.－1 B.－ C. D.1【答案】D【解析】由題意知k>0，且不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.∵直線y＝kx－1與x軸的交點為，直線y＝kx－1與直線y＝－x＋2的交點為，∴三角形的面積為××＝，解得k＝1或k＝，經(jīng)檢驗，k＝不符合題意，∴k＝1.考點二線性規(guī)劃中的最值問題角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2－1】(一題多解)(2018·全國Ⅲ卷)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________.【答案】3【解析】法一作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線y＝－3x，平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過直線x＝2與直線x－2y＋4＝0的交點A(2，3)時，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.法二畫出可行域(如上圖)，由圖知可行域為三角形區(qū)域，易求得頂點坐標(biāo)分別為(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，將三點坐標(biāo)代入，可知zmax＝2＋×3＝3.角度2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2－2】(1)(2022·濟南一模)若變量x，y滿足約束條件則的最大值為()A.1 B.3 C. D.5【答案】C【解析】不等式組表示平面區(qū)域是以(1，1)，，(2，2)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略).表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線的斜率，由題意得點與原點的連線斜率最大，即的最大值為＝.角度3線性規(guī)劃中的參數(shù)問題【例2－3】(2022·西安質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a≠0)取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為()A.2 B.1C.1或2 D.－1【答案】B【解析】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.由z＝y(tǒng)－ax(a≠0)得y＝ax＋z.因為a≠0，所以要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，故必有a>0.①當(dāng)直線y＝ax＋z與直線AC重合，即a＝1時，直線y＝ax＋z在y軸上的截距最大，此時z取得最大值，且最優(yōu)解有無數(shù)個，符合條件；②當(dāng)直線y＝ax＋z與直線BC重合時，直線y＝ax＋z在y軸上的截距最小，此時z取得最小值，不符合條件.故a＝1.【跟蹤訓(xùn)練】1.先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得.2.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題.常見代數(shù)式的幾何意義：(1)表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；(2)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率.3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件.【訓(xùn)練2】(2022·茂名二模)若實數(shù)x，y滿足條件則的最大值為()A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】作出的可行域如圖，求的最大值轉(zhuǎn)化為求x－y的最小值，令z＝x－y，由圖知當(dāng)直線z＝x－y經(jīng)過點(0，1)時，z取得最小值，即zmin＝0－1＝－1，所以的最大值為＝2.考點三實際生活中的線性規(guī)劃問題【例3】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.【答案】216000【解析】設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域為圖中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標(biāo)分別為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).【規(guī)律方法】1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟.(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解——解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答——將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際問題的答案.2.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件，寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.【訓(xùn)練3】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時，B設(shè)備6小時；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時，B設(shè)備1小時.A，B兩種設(shè)備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為()A.320千元 B.360千元C.400千元 D.440千元【答案】B【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤為z千元，則作出可行域如圖中陰影部分中的整點，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當(dāng)直線z＝2x＋y經(jīng)過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150，60)(滿足x∈N，y∈N)時，z取得最大值，為360.[思維升華]1.求最值：求二元一次目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優(yōu)解在頂點或邊界處取得.2.利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.[易錯防范]1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.2.在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)b>0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當(dāng)b<0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值.達標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．已知實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖畫出可行域，由，則，當(dāng)直線過點時，取最大值；當(dāng)直線過點時，取最小值.由題可得，所以故選：B.2．已知實數(shù)滿足條件：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】根據(jù)約束條件畫出可行域如圖所示，表示可行域內(nèi)的點與定點的連線的斜率.解方程組的,的最大值為故選C.3．若實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形如圖：①當(dāng)時，，則問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，求的最大值，當(dāng)與直線相切時，有最大值，此時，切點為，此時，有最大值5，②當(dāng)時，，則問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，求的最大值，當(dāng)與直線相交于，有最大值，此時，此時，有最大值4，綜上所述，的最大值是5故選：A4．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)實數(shù)，滿足，畫出可行域為（內(nèi)部及其邊界），其中，，，表示坐標(biāo)原點與可行域內(nèi)點距離的平方，所以點與點距離最大，所以，故選：D.5．若、滿足線性約束條件，則（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】D【解析】如圖，根據(jù)題意繪出可行域，令，，則表示點與可行域中的點連線的斜率，聯(lián)立，解得，，結(jié)合圖像易知過點時，取最大值，此時，同理易知過點時，取最小值，此時，故選：D.6．若，滿足約束條件，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．2 D．-2【答案】A【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示，由的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點與點的斜率，由圖可知直線的斜率最大，聯(lián)立，解得：，即，則，即的最大值為2，所以的最大值為4，故選：A.7．在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的內(nèi)切圓交CA，CB于點D，E，點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(不包含邊界)．若，則的值可以是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】在中，CA=4，CB=3，則AB=5，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，且，則，以C為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.，令，則點P在直線上(t為截距).又點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(不包含邊界)．即直線與陰影區(qū)域(不包含邊界)有公共點.由圖可知，當(dāng)且時，才滿足題意，所以排除選項ACD.故選：B.8．若實數(shù)滿足則的最大值為（

）A．B．C．13D．【答案】C【解析】作出不等式組表示的可行域如圖（陰影部分）：設(shè)，則當(dāng)直線分別過點A,B時，直線在y軸上截距最小和最大，而z取到最大和最小，聯(lián)立，解得,聯(lián)立，解得，將代入中，取得最大值，將代入中，取得最小值，因此的最大值為13，故選：C.9．若、滿足條件，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】C【解析】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，由題意可知，當(dāng)直線過點時，直線在軸上截距最大，直線的斜率為，直線的斜率為，而直線的斜率為，所以，.故選：C.10．滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（

）A．或-1 B．2或 C．2或1 D．2或-1【答案】D【解析】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，將化為，則表示直線的縱截距，由目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，可得與或平行，所以或.故選：D.11．若滿足約束條件設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由解得，則的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與原點連線的斜率，由圖象可知，當(dāng)點位于時，直線的斜率最大，此時.故選：A.12．定義域為R的函數(shù)滿足：①對任意，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.若實數(shù)s，t滿足，則當(dāng)時，的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題，由條件①結(jié)合單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由條件②可知，函數(shù)向左平移2個單位關(guān)于y軸對稱則說明關(guān)于軸對稱；所以是關(guān)于軸對稱，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的函數(shù)；若實數(shù)s，t滿足，結(jié)合圖像，則說明橫坐標(biāo)距離越近，函數(shù)值就越??；所以可得關(guān)于實數(shù)s，t的不等式，兩邊平方得所以得：①或②令,畫出不等式組可行域：聯(lián)立方程組得點；，令，由此的范圍可看作點A與B，C兩點連線斜率的范圍，即，所以所以故選：A二、填空題13．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是______．【答案】或【解析】曲線表示上半圓，可以看成動點與定點連線的斜率．如圖所示．，，，則，，∴或．故答案為：或.14．變量x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)_________．【答案】3【解析】先畫表示的區(qū)域，作直線，直線中表示直線的縱截距，向上平移直線時，增大，作直線，分析可知，當(dāng)時，沒有最大值2；當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線過直線和的交點時，取最大值，代入，解得．故答案為：3．15．若實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)線性約束條件作出可行域如圖所示：由可得，作直線沿可行域的方向平移，可知過點時，取得最小值；過點時，取得最大值；由可得，由可得，所以，，則的取值范圍是，故答案為：.16．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由可得設(shè)，則，即由，即則，表示直線在平面直角坐標(biāo)系中的縱截距又，表示平面直角坐標(biāo)系中圓在第一象限的部分，如圖.平移直線使之與圓在第一象限內(nèi)有交點.當(dāng)直線與圓相切時，，解得(舍)由圖可知.故答案為：三、解答題17．某公司計劃2021年在甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上投放總時間不超過300天的廣告，廣告總費用不超過90萬元，已知甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為5000元/天和2000元/天，廣告每天能給公司帶來的收益分別為3萬元和2萬元該公司如何分配在甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？【解析】設(shè)分配在甲、乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上的廣告時間為天，公司的收益為萬元，由題意列式得，目標(biāo)函數(shù)，作出不等式表示的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點A時，取得最大值，則，解得，所以，萬元，故該公司分配在甲、乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上的廣告時間為天、天時，公司獲得最大收益為萬元.18．設(shè)滿足約束條件.（1）求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍；（2）若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(-1，1)處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）a<1【解析】（1）不等式表示的可行域，如圖陰影部分：的幾何意義是點與點連線的斜率，聯(lián)立方程組可得，觀察圖像得：，又，所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是；（2）若目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最大值，由得，如圖：可得，解得.19．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.（1）若軍營所在區(qū)域為，求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）若軍營所在區(qū)域為，求“將軍飲馬”的最短總路程.【解析】（1）若軍營所在區(qū)域為，圓：的圓心為原點，半徑為，作圖如下：設(shè)將軍飲馬點為，到達營區(qū)點為，為關(guān)于直線的對稱點，因為,所以.則總路程，要使得路程最短，只需要最短，即點到軍營的距離最短，即點到的最短距離，為．（2）若軍營所在區(qū)域為，對于，在x≥0，y≥0時為令,得,令,則,圖象為連接點和的線段，根據(jù)對稱性得到的圖象如圖所示的菱形，為這個菱形的內(nèi)部(包括邊界).作圖如下：由圖可知，最短路徑為連接點和的連線，交直線于點,飲馬最佳點為P，所以點到區(qū)域最短距離．即“將軍飲馬”最短總路程為.20．某廣告公司接到幸福社區(qū)制作疫情防控宣傳標(biāo)牌的任務(wù)，要制作文字標(biāo)牌4個，繪畫標(biāo)牌5個，該公司現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格原料每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個和繪畫標(biāo)牌2個;乙種規(guī)格原料每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個和繪畫標(biāo)牌1個.問兩種規(guī)格的原料各用多少張時，才能使總的用料面積最小?并求最小用料面積.【解析】設(shè)