第25節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（原卷版）

第25節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識要夯實1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面．(2)直線和平面垂直的性質(zhì)①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．②垂直于同一個平面的兩條直線平行．③垂直于同一條直線的兩平面平行．文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法．②利用判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．[難點正本疑點清源]1．兩個平面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直的性質(zhì)定理，即如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面是作點到平面距離的依據(jù)，要過平面外一點P作平面的垂線，通常是先作(找)一個過點P并且和α垂直的平面β，設(shè)β∩α＝l，在β內(nèi)作直線a⊥l，則a⊥α.2．兩平面垂直的判定(1)兩個平面所成的二面角是直角；(2)一個平面經(jīng)過另一平面的垂線．基本技能要落實考點一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2020·全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點.(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離.【方法技巧】1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A． B． C． D．2.(2020·南寧二中、柳州高中聯(lián)考)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求證：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一點，若三棱錐E－ABC的體積為，求線段CE的長.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【跟蹤訓(xùn)練】1.（如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，側(cè)面SAD⊥底面ABCD.(1)求證：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱錐S－BCD的體積為，求側(cè)面△SAB的面積.(1)證明設(shè)BC＝a，則CD＝a，AB＝2a，由題意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，則BD＝a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝＝a，因為AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD?平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)解由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝a.作SH⊥AD，交AD的延長線于點H，則SH＝SDsin60°＝a，由(1)知BD⊥平面SAD，因為SH?平面SAD，所以BD⊥SH.又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH為三棱錐S－BCD的高，所以VS－BCD＝×a××a2＝，解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD?平面SAD，可得BD⊥SD，則SB＝＝＝2.又AB＝2，SA＝，在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為＝，則△SAB的面積為××＝.達標檢測要扎實一、單選題1．在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)過三個點有且只有一個平面B．平行于同一平面的兩直線相互平行C．如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等D．如果兩個相交平面垂直于同一個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面2．如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則下列命題中錯誤的是（

）A．直線和平面所成的角為定值B．點到平面的距離為定值C．異面直線和所成的角為定值D．直線和平面平行3．在如圖所示的棱長為20的正方體中，點為的中點，點在側(cè)面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點且與垂直的正方體截面的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形4．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．不確定5．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．6．如圖1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線段PC上，AD⊥PC．將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設(shè)PB的中點為N，如圖2．對于圖2，下列選項錯誤的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN7．如圖，正方體中，E為AB中點，F(xiàn)在線段上.給出下列判斷：①存在點F使得平面；②在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；③平面與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點F的位置無關(guān)；④三棱錐的體積與點F的位置無關(guān).其中正確判斷的有（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④8．已知正三棱錐和正四棱錐的所有棱長均為2，如圖將三棱錐的一個面和正四棱錐的一個側(cè)面重合在一起，得到一個新幾何體，則下列關(guān)于該新幾何體說法不正確的是（

）A． B．C．新幾何體為三棱柱 D．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為二、多選題9．如圖，點在正方體的面對角線上運動，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積不變B．平面C．D．平面平面10．如圖所示，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面 B．不是定值C．三棱錐的體積為定值 D．11．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近，若取，側(cè)棱長為米，則（

）A．正四棱錐的底面邊長為6米 B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為平方米12．正方體，的棱長為4，已知平面α，，則關(guān)于α?β截此正方體所得截面的判斷正確的是（

）A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形三、填空題13．如圖，已知棱長為2的正方體中，點在線段上運動，給出下列結(jié)論：①異面直線與所成的角范圍為；②平面平面；③點到平面的距離為定值；④存在一點，使得直線與平面所成的角為.其中正確的結(jié)論是___________.14．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.15．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．16．如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A、C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為______．四、解答題17．如圖長方體中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.18．如圖，在四棱錐中，是等腰直角三角形，，底面是直角梯形，其中，，，，，（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．19．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N,AE⊥PB，垂足為E.（1）求證：平面PAM⊥平面PBM.（2）求證：是二面角A-PB-M的平面角.20．如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長方形，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角