山東省泰安市長城中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

山東省泰安市長城中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強(qiáng)冰球射門訓(xùn)練，現(xiàn)從甲、乙兩隊(duì)中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進(jìn)行射門訓(xùn)練，他們的進(jìn)球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓(xùn)練中以下說法正確的是（）A.甲隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比乙隊(duì)大 B.乙隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比甲隊(duì)大C.乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定 D.甲隊(duì)球員進(jìn)球數(shù)的極差比乙隊(duì)小2．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關(guān)D.不是定值，與取值大小有關(guān)4．不等式解集為（）A. B.C. D.5．我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍6．已知直線過點(diǎn)，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．若數(shù)列{an}滿足……，則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）8．在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.1311．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，則下列說法不正確的是（）（次數(shù)/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關(guān)關(guān)系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃12．下列說法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若與垂直，則___________.14．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的方程為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)Q的距離的和的最小值為______.15．若x，y滿足約束條件，則的最大值為_________16．已知存在正數(shù)使不等式成立，則的取值范圍_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過原點(diǎn)的直線與圓交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.18．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).（1）若直線過點(diǎn)且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.19．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.20．（12分）如圖，在多面體中，和均為等邊三角形，D是的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）若，求多面體的體積.21．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與所成角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題圖，甲隊(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，乙?duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋约滓覂申?duì)的平均數(shù)都為5，甲、乙進(jìn)球中位數(shù)相同都為5，A、B錯(cuò)誤；甲隊(duì)方差為，乙隊(duì)方差為，即，故乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定，C正確.甲隊(duì)極差為6，乙隊(duì)極差為4，故甲隊(duì)極差比乙隊(duì)大，D錯(cuò)誤.故選：C2、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D3、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且，為橢圓兩焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B4、C【解析】化簡一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.5、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.6、D【解析】根據(jù)題意和直線的點(diǎn)方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且方向向量為，由直線的點(diǎn)方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D7、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí),兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí),所以，則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡可得解不等式可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：A.8、A【解析】直接由等差中項(xiàng)得到結(jié)果.詳解】由得.故選：A.9、B【解析】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求得取值范圍，當(dāng)斜率不存在是，可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值.【詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程，得，恒成立，則，，，，，所以，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，所以，，，綜上所述：，故選：B.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.11、D【解析】根據(jù)樣本中心過經(jīng)過線性回歸方程、正相關(guān)的性質(zhì)和線性回歸方程的意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.12、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.14、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線為,如圖，作垂直于準(zhǔn)線于A，交y軸于B，.故答案為：15、3【解析】根據(jù)題意，畫出可行域，找出最優(yōu)解，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，不等式組所表示的可行域如圖陰影部分，由圖易知，取最大值的最優(yōu)解為，故.故答案為：316、（1，1）【解析】存在性問題轉(zhuǎn)化為最大值，運(yùn)用均值不等式，求出的最大值，轉(zhuǎn)化成解對數(shù)不等式，進(jìn)而解出【詳解】解：∵，由于，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，∴有最大值，又存在正數(shù)使不等式成立，則，即，∴，即的取值范圍為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用和對數(shù)不等式的解法，還涉及存在性問題，考查化簡計(jì)算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線的方程為或或【解析】（1）由弦的中垂線與直線的交點(diǎn)為圓心即可求解；（2）由，可得或，進(jìn)而有或，顯然直線斜率存在，設(shè)直線，由點(diǎn)到直線的距離公式求出的值即可得答案.【小問1詳解】解：設(shè)弦的中點(diǎn)為，則有，因?yàn)?，所以直線，所以直線的中垂線為，則圓心在直線上，且在直線上，聯(lián)立方程解得圓心，則圓的半徑為，所以圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以或，所以或，顯然直線斜率存在，所以設(shè)直線，則或，解得或或，故直線的方程為或或.18、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因?yàn)椤⒃趻佄锞€上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即.19、（1）（2）是，0【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為：，則，，進(jìn)而根據(jù)得，進(jìn)而得答案；（2）直線的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算化簡整理即可得答案.【小問1詳解】解：由題意，設(shè)拋物線的方程為：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，即，解?所以拋物線的方程為：【小問2詳解】解：設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立方程得，所以，，因?yàn)?，所?所以為定值.20、（1）見詳解（1）.（2）16【解析】（1）證線面垂直從而證線線垂直.（2）把面體看成兩個(gè)錐體，由已知線面垂直得高，并進(jìn)一步可求錐體底面邊長，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以共面，連接、,因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，D是的中點(diǎn)，所以，，，所以面平，平面，【小問2詳解】因?yàn)椋?，四邊形是平行四邊形，和均為等邊三角形，D是的中點(diǎn)，所以，,平行四邊形是正方形形，，.21、（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，且，則，又因?yàn)?，則，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，故四邊形為矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面；?）連接，由（1）可知，平面，，為的中點(diǎn)