四川省西昌市川興中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

四川省西昌市川興中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.4．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能5．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.29．已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或2110．在平形六面體中，其中，，，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話.”在這個(gè)問(wèn)題中，第5個(gè)孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.14．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，的長(zhǎng)度為2，且，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_______15．如圖，正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點(diǎn)，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）16．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長(zhǎng)為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.20．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)（1）若Q為的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q到平面的距離；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值22．（10分）已知甲組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，其中數(shù)據(jù)的整數(shù)部分為莖，數(shù)據(jù)的小數(shù)部分(僅一位小數(shù))為葉，例如第一個(gè)數(shù)據(jù)為5.3（1）求：甲組數(shù)據(jù)的平均值、方差、中位數(shù)；（2）乙組數(shù)據(jù)為，且甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后的30個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，求：乙組數(shù)據(jù)的平均值和方差，寫(xiě)出必要的計(jì)算步驟.參考公式：平均值，方差

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C2、D【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出幾何體的外接球直徑，結(jié)合球體體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用求解3、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.4、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.5、D【解析】由直線斜率概念可寫(xiě)出傾斜角的正切值，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結(jié)果.6、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過(guò)點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.7、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.8、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是故選：A9、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.10、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以，所以有：，因此有：，因?yàn)?，，，，，所以，所以，故選：B11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A12、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：214、【解析】設(shè)一組基地向量，將目標(biāo)用基地向量表示，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可【詳解】設(shè)，則有：則有：根據(jù)，解得：故答案為：15、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因?yàn)?，所以直線與GF所成角為.設(shè)，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：16、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二面角大小求解時(shí)要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角19、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡(jiǎn)得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，直線方程為直線FP與點(diǎn)M軌跡沒(méi)有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是20、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法計(jì)算即可；(2)設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，于是，，，，，設(shè)平面法向量所以，解得，，令得，，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面的法向量，由P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)可設(shè)點(diǎn)，于是，，所以，的取值范圍是21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個(gè)式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問(wèn)1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面又平面，所以又因?yàn)?，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因?yàn)?，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小?wèn)