2025屆遼寧省遼陽市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆遼寧省遼陽市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.3．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有4．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.35．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.6．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若的焦點(diǎn)F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．中國古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文8．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績等級(jí)（選修課的成績等級(jí)分為1，2，3，4，5，共五個(gè)等級(jí)）的條形圖如圖所示，則甲成績等級(jí)的中位數(shù)與乙成績等級(jí)的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，49．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.10．過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.11．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.312．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.14．橢圓的右焦點(diǎn)是，兩點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.15．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實(shí)數(shù)_____.16．已知點(diǎn)和，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）已知函數(shù)（1）證明；（2）設(shè)，證明：若一定有零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)19．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.20．（12分）某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1，2，3，4，5時(shí)，單店日平均營業(yè)額（萬元）的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）12345單店日平均營業(yè)額（萬元）10.910.297.871（參考數(shù)據(jù)及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)（個(gè)）的線性回歸方程；（2）根據(jù)試點(diǎn)調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個(gè)地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預(yù)計(jì)值總和不低于35萬元，求一個(gè)地區(qū)開設(shè)加盟店個(gè)數(shù)的所有可能取值；（3）小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個(gè)地區(qū)（加盟店都不少于2個(gè)）中隨機(jī)選一個(gè)地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.21．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線CD的距離22．（10分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗，設(shè)矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.2、B【解析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是.故選：B.3、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C4、B【解析】由直徑所對(duì)圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)槠椒?，所以，由，得，所以，即所以故選：B5、C【解析】根據(jù)四種命題的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榉衩}是否定原命題的條件和結(jié)論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C6、C【解析】如圖由題可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】如圖根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)D在直線y=x上，可設(shè)，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.7、C【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.8、C【解析】將甲的所有選修課等級(jí)從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級(jí)的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級(jí)從低到高排序后，第5，6門的成績等級(jí)分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績等級(jí)的眾數(shù)為5.故選：C.9、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.10、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.11、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B12、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由拋物線的方程求出準(zhǔn)線的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、【解析】由題設(shè)易知，應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求橢圓離心率.【詳解】由題設(shè)，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.15、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.16、【解析】由題設(shè)條件可知，.當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)M不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握基本公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?18、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)同分化簡，構(gòu)造新函數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可；(2)令g(x)＝0，化簡方程，將問題轉(zhuǎn)化為討論方程解的個(gè)數(shù)問題.【小問1詳解】,設(shè)，則，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，而，所以時(shí)，，所以；小問2詳解】有零點(diǎn)，則有解，即有解，又，則只要，因?yàn)?，方程可以化為，現(xiàn)在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因?yàn)?，所以，在?nèi)恒有，而在遞增，當(dāng)x＝時(shí)，h()＝，故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在存在唯一零點(diǎn).所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以有零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是是將方程零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題，通過討論單調(diào)性和最值（極值）的正負(fù)即可判斷零點(diǎn)的有無和個(gè)數(shù).19、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即20、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進(jìn)而得到b，a求解；（2）根據(jù)題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設(shè)所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據(jù)題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設(shè)其他5個(gè)地區(qū)分別為，他們選擇結(jié)果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們在同一個(gè)地區(qū)的有5種，所以他們選取地區(qū)相同的概率.21、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與所成的角為，求出，再根據(jù)點(diǎn)B到直