第三章第七節(jié)第2課時　函數(shù)模型及其應用

第2課時函數(shù)模型及其應用【課程標準】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術語的含義.3.會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律,了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.【考情分析】考點考法:高考命題常以指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)及分段函數(shù)為載體,考查利用函數(shù)模型解決實際問題,與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)相關的數(shù)學文化、社會熱點等問題是高考熱點,常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建?！颈貍渲R·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)與反比例函數(shù)相關的模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)且k與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與冪函數(shù)相關的模型f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠0)【微點撥】函數(shù)模型應用問題的步驟(四步八字方針):審題,建模,解模,還原.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列說法錯誤的是()A.某種商品進價為每件100元,按進價增加10%出售,后因庫存積壓降價,若按九折出售,則每件還能獲利B.函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大C.不存在x0,使ax0<x0nD.在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y=xa(a>0)的增長速度【解析】選ABC.A打折出售的售價為100×(1+10%)×910=99(元).所以每件賠1×B當x=2時,2x=x2=4.×C如a=x0=12,n=14,×2.(必修第一冊P152例6變條件)某校擬用一種噴霧劑對宿舍進行消毒,需對噴霧完畢后空氣中每立方米藥物殘留量y(單位:毫克)與時間x(單位:時)的關系進行研究,為此收集部分數(shù)據(jù)并做了初步處理,得到如圖散點圖.現(xiàn)擬從下列四個函數(shù)模型中選擇一個估計y與x的關系,則應選用的函數(shù)模型是()A.y=ax+bB.y=a·14x+b(C.y=xa+b(a>0)D.y=ax+bx(a>0,b【解析】選B.由題圖可知,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且散點分布在一條曲線附近,函數(shù)y=a·14x+b的圖象為一條曲線,且當a>0時,該函數(shù)單調(diào)遞減,3.(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解析】選C.由題意知,lgV=4.95=0.1,故V=100.1=11010≈0.4.(建錯函數(shù)模型)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)=12x2+2x+20(萬元).1萬件售價是20萬元,為獲取最大利潤,該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為(A.36萬件 B.18萬件C.22萬件 D.9萬件【解析】選B.利潤L(x)=20xC(x)=12(x18)2+142,當x=18時,L(x)有最大值【核心考點·分類突破】考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程[例1](多選題)該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內(nèi)血藥濃度及相關信息如圖所示:根據(jù)圖中提供的信息,下列關于成人使用該藥物的說法中,正確的是()A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時,一定會產(chǎn)生藥物中毒C.每間隔5.5小時服用該藥物1單位,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用該藥物1單位3小時后,再次服用該藥物1單位,不會發(fā)生藥物中毒【解析】選ABC.從題中圖象可以看出,首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用,A正確;首次服用該藥物1單位約1小時后的血藥濃度達到最大值,當兩次服藥間隔小于2小時時,一定會產(chǎn)生藥物中毒,B正確;服藥5.5小時時,血藥濃度等于最低有效濃度,此時再服藥,血藥濃度增加,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用,C正確;第一次服用該藥物1單位4小時后與第2次服用該藥物1單位1小時后,血藥濃度之和大于最低中毒濃度,因此一定會發(fā)生藥物中毒,D錯誤.【解題技法】判斷實際問題變化過程的兩種方法(1)構建函數(shù)模型法:當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時,先建立函數(shù)模型,再結合模型選圖象;(2)驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.【對點訓練】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點M從點A出發(fā),沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2個單位長度的速度在正方形ABCD的邊上運動;點N從點B出發(fā),沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1個單位長度的速度在正方形ABCD的邊上運動.點M與點N同時出發(fā),運動時間為t(單位:秒),△AMN的面積為f(t),規(guī)定A,M,N三點共線時其面積為零,則點M第一次到達點A時,y=f(t)的圖象為()【解析】選A.根據(jù)題意,當0≤t≤1時,△AMN的面積為f(t)=12·2t·t=t2;當1<t≤2時,△AMN的面積為f(t)=12×2×[t(2t2)]=2t;當2<t≤3時,△AMN的面積為f(t)=12×2×[(2t4)(t2)]=t2;當3<t≤4時,△AMN的面積為f(t)=12×[2(2t=(4t)2,所以f(t)=t2,0≤考點二應用所給函數(shù)模型解決實際問題[例2](多選題)(2023·新高考Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受重視,用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×lgpp0,其中常數(shù)不妨設p0(p0>0)是聽覺下線閾值,p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2【解析】選ACD.燃油汽車Lp1=20×lgp1p0∈[60,90],所以p1p同理p2p0=10Lpp3p0=10Lp對于A,由題表知Lp1≥Lp2,對于B,②÷③得,p2p3=10Lp2-Lp320∈[1對于C,p3p0=10Lp320=10對于D,①÷②得,p1p2=10Lp1-Lp220∈[100,102],所以p1【解題技法】求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題,并進行檢驗.【對點訓練】我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展,極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關系y=eax+b(a,b為常數(shù)),若該果蔬在6℃的保鮮時間為216小時,在24℃的保鮮時間為8小時,那么在12℃時,該類果蔬的保鮮時間為A.72小時 B.36小時C.24小時 D.16小時【解析】選A.當x=6時,e6a+b=216;當x=24時,e24a+b=8,則e6a+be24a+b=2168=27,整理可得e6a=13.于是eb=216×3=648,當x=12時,y=e12a+b考點三構造函數(shù)模型的實際問題角度1構造二次函數(shù)模型[例3]如圖所示,一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12),4m,不考慮樹的粗細,現(xiàn)在用16m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花園ABCD.設此矩形花園的面積為Sm2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花園內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是()【解析】選C.設AD=xm,則CD=(16x)m,要將樹圍在矩形內(nèi),則x≥a,16-xS=x(16x)=(x8)2+64,x∈[a,12],若0<a≤8,則當x=8時,Smax=64,若8<a≤12,則當x=a時,Smax=a2+16a.綜上有f(a)=64角度2構造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型[例4]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是某流行性傳染病的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在該傳染病初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在該傳染病初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【解析】選B.因為R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28-16=0.38,所以I(t)=ert=e設在該傳染病初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為t1天,則e0.38(t+t1)=2e0.38t,所以e0所以t1=ln20.38≈0.69角度3構造函數(shù)f(x)=ax+bx(ab>0)[例5]智能輔助駕駛已開始得到初步應用,其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與障礙物之間的距離,并結合車速轉(zhuǎn)化為所需時間,當此距離等于報警距離時就開始報警,等于危險距離時就自動剎車.若將報警時間劃分為4段,分別為準備時間t0與人的反應時間t1,系統(tǒng)反應時間t2,制動時間t3,相應的距離分別為d0,d1,d2,d3,如圖所示.當車速為v(米/秒),且0<v≤33.3時,通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到表中給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化,且1≤k≤2).階段準備人的反應系統(tǒng)反應制動時間t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距離d0=10米d1d2d3=v2(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關系式,并求當k=2時,當汽車達到報警距離時,若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施,仍以此速度行駛的情況下,汽車撞上固定障礙物的最短時間;(2)若要求汽車在k=1的路面上行駛時報警距離均小于50米,則汽車的行駛速度應限制在多少以下(單位:米/秒)?【解析】(1)由題意知,d(v)=d0+d1+d2+d3=10+0.8v+0.2v+v220k,即d(v)=10+v當k=2時,d(v)=10+v+v240,t(v)=d(v)v=10v+v40+1≥2×12+1=2,即以此速度行駛的情況下,汽車撞上固定障礙物的最短時間為2秒.(2)當k=1時,d(v)<50,即10+v+v2即v2+20v800<0,40<v<20,又0<v≤33.3,故0<v<20,所以汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下.【解題技法】構建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模:抽象出實際問題的數(shù)學模型;(2)推理、演算:對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學運算,得到問題在數(shù)學意義上的解;(3)評價、解釋:對求得的數(shù)學結果進行深入討論,作出評價、解釋,然后返回到原來的實際問題中去,得到實際問題的解.【對點訓練】1.某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠,水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形(如圖),水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元,為了提高水渠的過水率,要使過水橫斷面的面積盡可能大,現(xiàn)有資金3萬元,當過水橫斷面面積最大時,水渠的深度(即梯形的高)約為(參考數(shù)據(jù):3≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米【解析】選B.如圖設橫斷面為等腰梯形ABCD,BE⊥CD于E,∠BAD=∠ABC=120°,要使水橫斷面面積最大,則此時資金3萬元都用完,則100×(AB+BC+AD)×100=30000,解得AB+BC+AD=3米,設BC=x,則AB=32x,BE=32x,CE=12故CD=3x,且0<x<32梯形ABCD的面積S=(3-2x+3-x)當x=1時,Smax=33此時BE=32≈0.即當過水橫斷面面積最大時,水渠的深度(即梯形的高)約為0.87米.2.(2023·朔州模擬)2022年6月5日上午10時44分,我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F遙十四運載火箭,將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音,已知聲音的聲強級d(x)(單位:dB)與聲強x(單位:W/m2)滿足d(x)=10lgx10-12.若人交談時的聲強級約為50dB,且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109,則火箭發(fā)射時的聲強級約為A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【