天津市和平區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

和平區(qū)2017—2018學(xué)年度第一學(xué)期高三年級期末質(zhì)量調(diào)查試卷數(shù)學(xué)（理）第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵集合，集合∴故選C2.“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根∴，即∴不一定等于故選A3.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.9B.5C.1D.5【答案】B【解析】由約束條件作出可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)可化為由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值故選B點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵雙曲線的方程為∴雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)∵過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)∴直線的斜率在和之間，包括端點(diǎn)故選D5.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的的值為（）A.72B.90C.101D.110【答案】B【解析】輸入?yún)?shù)第一次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第二次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第三次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第四次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第五次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第六次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第七次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第八次循環(huán)，，滿足，繼續(xù)循環(huán)第九次循環(huán)，，不滿足，跳出循環(huán)，輸出故選B點(diǎn)睛：此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)．6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到圖象對應(yīng)的解析式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得故選D7.如圖，正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，，且與相交于點(diǎn)，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立，得∴，∴故選A點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是向量基本定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積運(yùn)算.解決向量的小題常用方法有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則，平行四邊形法則等；建系將向量坐標(biāo)化；向量基底化，選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底.8.已知函數(shù)若始終存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的零點(diǎn)不唯一，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題可知函數(shù)的零點(diǎn)不唯一，等價(jià)于兩函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一

∵的圖象是開口向下、對稱軸的拋物線，的圖象是恒過的直線，注意到、，則分、、三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，∵在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)（當(dāng)時(shí)為常數(shù)函數(shù)）∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)∴始終存在實(shí)數(shù)使得在上與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一．②當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)∵在上為增函數(shù)，且

∴始終存在實(shí)數(shù)使得在上與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一．③當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，欲使始終存在實(shí)數(shù)使得在上與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不唯一，則必有，即，解得：．

綜上所述，的取值范圍是．故選C點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決，如在本題中，方程根的個(gè)數(shù)，即為直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解．第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)__________．【答案】【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：.10.的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為令得∴的系數(shù)為故答案為6011.一個(gè)由棱錐和半球體組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)組合體，其上半部分是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)對角線長度為2的菱形，高為2，其體積為：，下半部分是半個(gè)球，球的半徑，其體積為據(jù)此可得，該幾何體的體積為.點(diǎn)睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．12.已知，則的最小值為__________．【答案】1【解析】∵又∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號∴最小值為故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中等題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號能否同時(shí)成立）.13.已知函數(shù)，若，則的值為__________．【答案】4【解析】依題意函數(shù)的自變量滿足，即，此時(shí)恒成立∴∴∴故答案為414.現(xiàn)有6個(gè)人排成一橫排照相，其中甲不能被排在邊上，則不同排法的總數(shù)為__________．【答案】480【解析】假設(shè)6個(gè)人分別對應(yīng)6個(gè)空位，甲不站在兩端，有4個(gè)位置可選，則其他5人對應(yīng)其他5個(gè)位置,有種情況，故不同排列方法種數(shù)種.故答案為480三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在中，角所對的邊分別是，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，，求的面積.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理角化邊可得.則.據(jù)此利用余弦定理可得.(Ⅱ)由題意可得.利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得.則∴.據(jù)此結(jié)合三角形面積公式有的面積.試題解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得.∵，∴.由余弦定理，得.（Ⅱ）由已知，，得.∵在中，為銳角，且，∴.∴.由，及公式，∴的面積.16.甲同學(xué)參加化學(xué)競賽初賽，考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目，各單項(xiàng)通過考試的概率依次為、、，筆試、口試、實(shí)驗(yàn)通過考試分別記4分、2分、4分，沒通過的項(xiàng)目記0分，各項(xiàng)成績互不影響.（Ⅰ）若規(guī)定總分不低于8分即可進(jìn)入復(fù)賽，求甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的概率；（Ⅱ）記三個(gè)項(xiàng)目中通過考試的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）記筆試、口試、實(shí)驗(yàn)獨(dú)立通過考試分別為事件，則則事件“甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的”表示為，由與互斥，且、、彼此獨(dú)立，能求出甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的概率；（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．試題解析：（Ⅰ）記筆試、口試、實(shí)驗(yàn)獨(dú)立通過考試分別為事件，則事件“甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的”表示為.∵與互斥，且彼此獨(dú)立，∴.（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為數(shù)學(xué)期望.17.如圖，在三棱錐中，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求證：平面；（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面可推出，再由，可證平面，從而得出，由及為的中點(diǎn)，推出，即可得證平面；（Ⅱ）依題意，平面，，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，，，，，由為平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)，即可得出，從而得證；(Ⅲ)求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，根據(jù)，即可求出與平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）證明：∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，為的中點(diǎn)，∴.∵，∴平面.（Ⅱ）證明：依題意，平面，，如圖，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可得，，，，，，.∵平面的一個(gè)法向量，，∴，即.∵平面，∴平面.（Ⅲ）解：設(shè)平面的法向量為，則，.由，，得令，得，，即.設(shè)與平面所成角為，∵，∴.∴與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：用向量法解決立體幾何問題的注意點(diǎn)：（1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)要判斷是否具備了兩兩垂直的三條直線，否則要先給出證明；（2）求線面角時(shí)要借助直線的方向向量和平面的法向量夾角余弦值的絕對值求出線面角的正弦值；求二面角時(shí)，要借助兩平面法向量夾角的余弦值來求出二面角的余弦值，但在解題時(shí)要借助于圖形來判斷二面角為銳角還是鈍角．18.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)可得等差數(shù)列的公差為2，等比數(shù)列的公比為2，據(jù)此計(jì)算可得的通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式.(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)中求得的通項(xiàng)公式可得.錯(cuò)位相減結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得.試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，得，，由，，得，，∴.∴的通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，故.則.令，①則，②由②①，得.∴.點(diǎn)睛：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．19.已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓過右焦點(diǎn)的弦為、過原點(diǎn)的弦為，若，求證：為定值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得.結(jié)合離心率計(jì)算公式有.則橢圓的方程為.(Ⅱ)對直線的斜率分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，由弦長公式可得.聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長公式有.計(jì)算可得.據(jù)此可得：為定值.試題解析：（Ⅰ）依題意，原點(diǎn)到直線的距離為，則有.由，得.∴橢圓的方程為.（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求，，則.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，依題意，則直線的方程為，直線的方程為.設(shè)，，，，由得，則，，.由整理得，則..∴.綜合（1）（2），為定值.20.已知函數(shù)，，且曲線與在處有相同的切線.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：在上恒成立；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).【答案】