專題52相交線與垂線（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.2相交線與垂線（分層練習(xí)）單選題1．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┫铝懈鲌D中，與是對頂角的是（

）A．B．C． D．2．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線與相交于點F，平分，若，則度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）如圖，取兩根木條a，b，將它們釘在一起，得到一個相交線的模型，固定木條a，轉(zhuǎn)動木條b，當(dāng)減小時，下列說法正確的是（

）

A．增大 B．增大 C．減小 D．與的和增大4．（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則的鄰補(bǔ)角是（

）A． B． C．和 D．和5．（2022上·山東菏澤·七年級?？茧A段練習(xí)）點P為直線l外一點，點A、B、C為直線l上的三點，，，，那么點P到直線l的距離是（）A．B．小于C．不大于 D．大于，且小于6．（2023下·河北石家莊·七年級?？计谥校┤鐖D，直線、相交于點O，且，則的余角度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，直線被直線所截，若，，則（

）

A． B． C． D．8．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）過點畫的垂線，三角尺的放法正確的是（

）A．

B．

C．

D．

9．（2023下·湖北恩施·七年級?？计谥校┤鐖D，三角形中，，為邊上的任意一點，連接，為線段上的一個動點，過點作點F．，，，則的最小值為（

）

A．6 B． C． D．510．（2022下·福建廈門·七年級?？计谥校┤鐖D，點在上，，垂足為，交于點，則下列說法錯誤的是（

）

A．線段的長度是點到直線的距離 B．線段的長度是點到直線的距離C．線段的長度是點到直線的距離 D．線段的長度是點到直線的距離11．（2023上·河南周口·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點在直線上，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．12．（2022下·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交于點O，若，則（

）

A． B． C． D．13．（2023下·遼寧朝陽·七年級?？计谥校┤襞c相等且互補(bǔ)，與是對頂角，則的一半是（

）A． B． C． D．14．（2023下·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）在同一個平面內(nèi)，是直線外一點，分別是上三點，已知，，若點到的距離是，則（

）A． B． C． D．15．（2023下·湖北省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習(xí)）直角三角形中，，，，，則點到直線上各點的所有線段中，最短的線段長為（

）A． B． C． D．填空題16．（2023上·湖南·七年級期末）直線，垂足為點O，直線經(jīng)過點O，若銳角，則°（用含m的代數(shù)式表示）．17．（2021上·陜西延安·七年級校考期中）如圖，直線a與b相交，，則的度數(shù)為．

18．（2020下·內(nèi)蒙古通遼·七年級校考期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，∠AOC的鄰補(bǔ)角是．若∠AOC＝50°，則∠BOD＝，∠COB＝．

19．（2023下·上海浦東新·七年級上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┲本€，相交于點，，則直線，的夾角是．20．（2023上·江蘇南京·七年級期末）如圖，，垂足為C，若，則點A到的距離為．21．（2022上·重慶沙坪壩·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、相交于點，是直角，平分，，則的度數(shù)為．22．（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）．如圖1，圖中有2條直線相交，則對頂角有對；如圖2，圖中有3條直線相交于一點，則對頂角有對；如圖3圖中有條直線相交于一點，則對頂角有對．23．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為．24．（2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線AB與CD交于點O，OE⊥CD，OF平分∠BOE，若，則∠COF的度數(shù)是．25．（2023下·吉林長春·七年級東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點O．已知，把分成兩個角，且，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)時，則α的度數(shù)是°．26．（2023上·七年級課時練習(xí)）如圖，，垂足為，則下面的結(jié)論正確有．①與互相垂直；②與互相垂直；③點到的垂線段是線段；④線段的長度是點到的距離；⑤線段是點到的距離．27．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是．28．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，直線與直線相交于點O，，垂直于O，平分，則的度數(shù)為°．29．（2023上·山西太原·七年級?？计谀┤鐖D，，在的內(nèi)部，在的內(nèi)部，是的一三等分線，若，則的度數(shù)為．

30．（2023下·全國·七年級期中）如圖，，垂足為O，射線在的內(nèi)部，，若，平分，設(shè)，則°（用含m的代數(shù)式表示）．解答題31．（2023下·江西吉安·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，直線與相交于點．

（1）圖中的余角是_________；（寫一個即可）（2）_________；（寫一個即可）（3）如果，那么根據(jù)________，可得________；（4）如果，求的度數(shù)．32．（2023下·四川樂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角中，，是斜邊上的高，，求：

（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）∵，（已知），又∵（______），∴（______）．（2）∵（______），∴（等式的性質(zhì)）．∵（已知），∴（垂直定義）．∴______（等量代換）．33．（2022下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線、相交于點O，平分．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．34．（2022下·北京海淀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在直線外，點在直線上，連接．選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D．（1）在直線上作點，使，連接；（2）在的延長線上任取一點，連接；（3）在，，中，最短的線段是______________，依據(jù)是______________．35．（2023上·河南商丘·七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知的邊上有一點，過點的直線，作平分．當(dāng)時，回答下列問題：（1）求和的度數(shù)；（2）過點作，請直接寫出的度數(shù)．36．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：直線、相交于點．

（1）如圖1，，求的度數(shù)．（2）如圖2，射線、在直線的上方，且，作平分，求與的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)于，在下方作于，射線在的內(nèi)部，平分，若，，求的度數(shù)．參考答案：1．C【分析】本題考查了對頂角的定義，根據(jù)對頂角的定義判斷即可．有一個公共點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角互為對頂角．解：A、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意；B、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不符合題意；C、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故該選項符合題意；D、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意．故選：C．2．C【分析】本題考查了角平分線的定義及對頂角相等等知識點．先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)對頂角相等即可得出答案．解：∵平分，∴，∴．故選：C．3．A【分析】根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角的定義逐項判斷即可．解：A、和是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時，增加，故選項正確，符合題意；B、和是對頂角，當(dāng)減小時，也減小，故選項錯誤，不符合題意；C、和是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時，增加，故選項錯誤，不符合題意；D、和都與是鄰補(bǔ)角，當(dāng)減小時，和都增加，與的和增大，故選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查的是對頂角和鄰補(bǔ)角的定義，關(guān)鍵掌握對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．4．D【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念解答即可．解：：解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，∠COF的鄰補(bǔ)角是∠DOF和∠EOC．故選：D．【點撥】本題考查了鄰補(bǔ)角的概念，鄰補(bǔ)角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補(bǔ)角有兩個．鄰補(bǔ)角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．5．C【分析】根據(jù)直線外一點到直線的距離即為垂線段的長度和垂線段最短的性質(zhì)進(jìn)行求解．解：因為垂線段最短，所以點P到直線l的距離為不大于．故選：C．【點撥】此題考查了垂線段最短的性質(zhì)，此題所給的線段長度中，最短，可能是垂線段，也可能不是．6．B【分析】因和是鄰補(bǔ)角，且，由鄰補(bǔ)角的定義可得的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等得的度數(shù)，繼而求出余角．解：，又已知，，解得，，∴的余角為，故選B．【點撥】本題考查鄰補(bǔ)角的定義和對頂角的性質(zhì)，以及余角，是需要熟記的內(nèi)容．7．C【分析】根據(jù)對頂角相等求出，進(jìn)而可得的度數(shù)，然后求出即可．解：∵，∴，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查了對頂角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，熟知對頂角相等是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)垂線的定義判斷即可．解：根據(jù)垂線的定義，選項C符合題意．故選：C．【點撥】本題考查了作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．9．B【分析】過作于，交于．則的最小值為，利用三角形等面積法，求出，即為的最小值．解：過作于，交于，則的最小值為．，，，，，即的最小值為：，故選B．

【點撥】本題考查了最短路線問題，正確運(yùn)用三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義判斷即可．解：A.∵，線段的長度是點到直線的距離

，故該選項正確，不符合題意；B.線段的長度不一定是點到直線的距離，故該選項不正確，符合題意；C.∵，線段的長度是點到直線的距離，故該選項正確，不符合題意；

D.∵，線段的長度是點到直線的距離，故該選項正確，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了點到直線的距離和垂線．點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．11．A【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行計算即可．解：∵，∴．故選：A．12．C【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角定義和對頂角性質(zhì)求得和的度數(shù)，然后求和即可．解：∵，∴，∴．故選：C．【點撥】本題主要考查鄰補(bǔ)角定義、對頂角性質(zhì)等知識點，掌握對頂角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．B【分析】根據(jù)互補(bǔ)的兩個角的和等于，以及與互補(bǔ)且相等可求，再根據(jù)對頂角相等求出，進(jìn)一步即可得解解：∵與互補(bǔ)且相等，與是對頂角，的一半是，故選B【點撥】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵14．A【分析】根據(jù)“直線外一點到直線上各點的所有線段中，垂線段最短”進(jìn)行解答即可．解：∵直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，∴點P到直線l的距離，即．故選：A．【點撥】本題主要考查了點到直線的距離，熟知直線外一點到直線上各點的所有線段中，垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．15．C【分析】根據(jù)垂線段最短解決此題．解：如圖，過點B作于點D．∵，∴．∴根據(jù)垂線段最短，點B到直線上各點的所有線段中，最短的線段長為．故選：C．【點撥】本題主要考查垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．16．或【分析】本題主要考查了對頂角的定義和性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．對頂角的定義：有一個公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角就叫做對頂角．根據(jù)題意，利用對頂角的性質(zhì)通過計算解出答案．解：由題意，需討論以下兩種情況：①如圖1∵，∴；∵與是對頂角;∴,∴．②如圖2∵，∴；∵與是對頂角，∴，∴．綜上：或．故答案為：或．17．30【分析】根據(jù)對頂角相等以及，即可求解．解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∴．故答案為：30【點撥】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．18．∠AOD、∠BOC50°130°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角必須是相鄰的兩個角，即有一條公共邊和一個公共頂點的互補(bǔ)的兩個角；對頂角有一個公共頂點，其中一個角的兩條邊是另一個角的兩條邊的反向延長線，對頂角的度數(shù)相等即可得出答案．解：∠AOC的鄰補(bǔ)角是∠BOC，∠AOD；∵∠BOD的對頂角是∠AOC，∠AOC＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵∠COB是∠AOC鄰補(bǔ)角，∴∠COB=180°∠AOC=130°．故答案為：∠AOD、∠BOC，50°，130°【點撥】本題主要考查了鄰補(bǔ)角與對頂角的概念和特點，熟練掌握鄰補(bǔ)角與對頂角的定義是解題的關(guān)鍵．19．/15度【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．解：∵，∴，∴直線，的夾角是．故答案為：．【點撥】此題主要考查了鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．20．4【分析】本題考查點到直線的距離，此題關(guān)鍵是理解點A到BC的距離是從點A向BC作垂線，所得的垂線段．根據(jù)點到直線的距離即可判斷．解：∵，垂足為C．∴點A到的距離，即.故答案為：421．/度【分析】先求解再求解再利用角平分線的定義可得答案.解：，平分，故答案為：【點撥】本題考查的是對頂角相等，鄰補(bǔ)角的含義，角平分線的定義，角的和差關(guān)系，掌握“幾何圖形中角的和差關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵.22．26【分析】由圖1可得，兩條直線相交于一點，形成2對對頂角；圖2三條直線相交于一點，形成6對對頂角；依次可找出規(guī)律，若有條直線相交于一點，則可形成對對頂角．解：如圖1，圖中共有對對頂角；如圖2，圖中共有對對頂角；研究圖1圖2小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，可得：若有條直線相交于一點，則可形成對對頂角；故答案為：2，6，．【點撥】本題考查多條直線相交于一點，所形成的對頂角的個數(shù)的計算規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握，即有條直線相交于一點，則可形成對對頂角．23．/【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，正確運(yùn)用三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．過C作于F，交于E．則的最小值為，利用三角形等面積法求出，即為的最小值．解：過C作于F，交于E，則的最小值為．∵，，，∴，∴CF=，即的最小值為：，故答案為：．24．【分析】本題主要考查垂直定義、角平分線定義以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)，設(shè)一份角為，表示出和，進(jìn)而表示出，再根據(jù)平分表示出，根據(jù)，建立方程求解，從而得到的度數(shù).解：，設(shè)，，，平分，，，，，即，，，.故答案為：.25．/度【分析】先利用對頂角相等得到，再計算出，然后根據(jù)和，得到和都在的同側(cè)，最后計算即可得到答案．解：，，，，，即射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，故答案為：．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對頂角相等，解題關(guān)鍵是掌握對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．26．①④/④①【分析】根據(jù)點到直線的距離和兩條直線互相垂直即可逐項判斷．解：，，①與互相垂直，正確；，②與互相垂直，不正確；③點到的垂線段是線段，而不是，不正確；④線段的長度是點到的距離，正確；⑤線段是點到的距離，不正確，應(yīng)該是線段的長度是點到的距離．①④正確．故答案為：①④．【點撥】本題考查了點到直線的距離和兩直線垂直，解題的關(guān)鍵在于點到直線的距離是一個長度，即垂線段長度，而不是垂線段．27．4.8【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計算求解MP的最小值．解：當(dāng)MP⊥AB時，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB?MP＝AM?BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案為：4.8．【點撥】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的P點位置是解題的關(guān)鍵．28．30或60【分析】當(dāng)在上方時，如圖，求出，根據(jù)垂直的定義得出，求出，根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)角的和差即可求解；當(dāng)在下方時，同理求解．解：當(dāng)在上方時，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；

當(dāng)在下方時，如圖，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；故答案為：30或60．

【點撥】本題考查了垂直的定義、角平分線的定義和角的和差計算，正確分類、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．29．或【分析】先根據(jù)余角的定義可得，再根據(jù)是的一三等分線可得或，據(jù)此分兩種情況解答即可．解：∵，，∴，∵是的一三等分線，∴或，∵，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上，的度數(shù)為110或130．故答案為或．【點撥】本題主要考查了垂直的定義、余角的性質(zhì)、等分線等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．30．2m或【分析】分兩種情況，由角平分線的定義，即可解決問題．解：當(dāng)在內(nèi)時，如圖（1），∵平分，∴，∴，∴；當(dāng)在外時，如圖（2），∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或．故答案為：2m或．【點撥】本題考查角的計算，角平分線定義，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．31．（1）；（2）或；（3）對頂角相等，；（4）【分析】（1）根據(jù)余角的定義、性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)同一個角的余角相等的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)對頂角相等即可求得．解：（1）圖中的余角有，，；（2）∵，，∴．或者根據(jù)（1），的三個余角均相等：；（3）根據(jù)對頂角相等，可得．（4）∵，且，∴，求得：．【點撥】本題考查對頂角、鄰補(bǔ)角，利用余角的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．32．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；等量代換；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；【分析】根據(jù)三角形的外角定理、等量代換、等式的性質(zhì)、垂直定義等進(jìn)行填空即可．解：（1）∵，（已知），又∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和），∴（等量代換）．（2）∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和）